中学受験の算数 循環小数の桁—筆算の余りの繰り返しから遠い桁の数字を求める｜武蔵野個別指導塾

1÷7を筆算すると余りが6回で一巡し、小数第20位は4です。循環が途中から始まる分数でも、余りが最初に現れた位置から先が循環節です。

循環小数の桁を問う問題の形

よくあるのは、1÷7 の筆算を小数第3位まで書いて、そこから先を「同じことの繰り返し」と見たものの、小数第20位の数字を聞かれて手が止まる場面です。筆算を20桁も30桁も書き続けるのは現実的ではありませんが、繰り返しの仕組みをつかめば、小数第20位でも小数第2026位でも、一度作った表の同じ行を読むだけで決まります。

もう一つよくあるのは、5÷28 の商を筆算して、繰り返しが小数第2位から始まっているのに、小数第1位から繰り返しが始まると思い込み、数える位置を一桁ずらしてしまう場面です。数字の並びは正しく写せているのに、位の数え方だけがずれるので、答えは一文字違うものになります。

問われ方は大きく二つに分かれます。一つは、分数を小数に直したときの小数第何位の数字を一文字で答える形です。もう一つは、循環が小数の途中から始まる分数や、繰り返しの長さが長い分数で、遠い位の数字を決める形です。どちらも、余りと商の数字を一対にして表に並べる同じ手順で解けます。

用語と考え方 — 余りと数字を対にする

循環小数とは、ある位から先が同じ数字の並びの繰り返しになる小数です。たとえば 1÷7=0.142857142857… では、142857 の6桁がどこまでも続きます。この繰り返される最小の並びを循環節といい、この例では 142857 が循環節です。

小数第1位からすぐに循環が始まらないこともあります。5÷28=0.17857142857142… では、先頭の 17 が一度しか現れず、そのあとの 857142 が繰り返します。この先頭の 17 のように、循環に入る前の部分を非循環部分と呼びます。非循環部分があると、位の番号と循環節の中の位置がずれるので、数える前に必ず分けておきます。

なぜ繰り返しが必ず起きるのかは、余りを見ると説明できます。割り算の一段は、前の段の余りを10倍して、割る数で割る操作です。商の一桁が小数の次の位になり、新しい余りが次の段へ渡されます。割る数が7なら、余りは0から6までの7通りしかありません。8段目まで進めば、7通りのどれかが必ず二度目に現れます。同じ余りが現れたら、そこから先の計算は前と同じ順序をたどるので、数字の並びも同じように繰り返されます。

つまり、循環の始まりと長さは、余りの表だけで決まります。余りが初めて現れた段と、同じ余りが再び現れた段を探し、その間の段数が循環節の長さです。図1は、1÷7 の余りが一巡する様子を表したものです。

図1のように、余り1から始まり、3、2、6、4、5と移って、また余り1に戻ります。矢印に添えた数字が、その段で決まる小数の位です。余りが一巡すると、数字も 1、4、2、8、5、7 の6桁で一巡します。

同じ余りが現れたあとの段が、前とまったく同じになる理由をもう一度確かめます。割り算の一段で決まるのは、その段の商の一桁と、次の段へ渡す余りだけです。前の余りが同じなら、10倍した数も同じで、割る数も同じなので、商も余りも同じになります。その次の段も同じ繰り返しになるので、数字の列は途中から先までそっくり同じ順で続きます。前の数字が違っていても、余りさえ同じになれば、そこから先は一致するのです。

位の数え方も確認します。小数第1位は小数点のすぐ右の位で、整数部分は数えません。1÷17 の商 0.0588… では、整数部分の0は位の番号に含めず、小数点の右の0が小数第1位です。表の段の番号は、そのまま小数の位の番号になります。1段目の商が小数第1位、2段目が小数第2位という対応です。

短い数でも同じ手順を確かめます。1÷6 は、1段目が 10=1×6+4 で商1、余り4、2段目が 40=6×6+4 で商6、余り4です。2段目のあとの余りが1段目のあとの余りと同じ4なので、循環節は2段目の6の1桁、非循環部分は1段目の1の1桁です。1÷6=0.1666… となり、表の並びと一致します。

手順は四つです。まず分子を割る数で割った余りを書き、そこから表を作ります。各行に、前の余りを10倍した数、商の一桁、新しい余りを並べます。次に、同じ余りが二度目に現れたら表を止め、その余りが最初に現れた段の次から循環節が始まると決めます。続いて、求めたい位の番号から非循環部分の桁数を引きます。最後に、その数を循環節の長さで割り、あまりが指す位置の数字を読みます。あまりが0のときは、循環節の最後の数字です。

余りが0になった場合だけは、扱いが変わります。1÷8=0.125 のように、そこで割り切れて小数が終わるからです。表を作る途中で余り0が出たら、その先は数字が続くのではなく、小数そのものが終わったと判断します。循環節の長さを数える必要はありません。

基本例題　1÷7 の小数第20位

例題1　1L のジュースを7人で等しく分けます。1人分の量を小数で表したとき、小数第20位の数字を求めなさい。

まず余りの表を作ります。最初の余りは1です。10を7で割ると商1、余り3です。次に30を7で割ると商4、余り2です。これを繰り返します。

6段目の新しい余りが1で、1段目の最初の余りと同じです。したがって循環節は1段目から6段目までの 142857 で、長さは6桁、非循環部分はありません。

小数第20位を決めます。20÷6=3 あまり 2 です。6桁の組が3回続くと18桁なので、19位が組の1番目の1、20位が2番目の4になります。

答え　4

図2は、20を6で割ったあまりが循環節の何番目を指すかを示したものです。

図2のように、あまりの2がそのまま「2番目」に対応します。あまりが0になったときだけは、0番目ではなく6番目、つまり組の最後の数字を読みます。

確かめに、1÷7 の商を20桁まで書き出します。0.14285714285714285714 となり、20番目の数字は4です。6桁の組が3回で18桁、そのあと1、4と進む順序とも一致します。

別の数え方でも同じ答えになることを確かめます。20位は、6桁の組の3回目が終わる18位から2つ先の位です。組の1番目が1、2番目が4なので、20位は4です。組の終わりから逆に数えても、答えは変わりません。

標準例題　循環が途中から始まる 5÷28

例題2　5m のテープを28人で等しく分けます。1人分の長さを小数で表したとき、小数第100位の数字を求めなさい。

割る数が28なので、余りは0から27までの28通りです。表を、同じ余りが二度目に現れるまで書きます。

2段目の新しい余りが24で、8段目の新しい余りも24です。同じ余りが二度目に現れたので、ここで表を止めます。循環節は、その余りが最初に現れた段の次から始まるので、3段目から8段目までの 857142 です。長さは6桁です。

1段目と2段目の数字 1、7 は、循環節に入る前の非循環部分です。だから非循環部分は2桁あります。ここを数え落とすと、位の番号が2だけずれます。

小数第100位を決めます。まず非循環部分の2桁を引いて、100-2=98 です。98÷6=16 あまり 2 なので、循環節の2番目の数字を読みます。857142 の2番目は5です。

答え　5

確かめに、位の番号を組み立て直します。非循環部分が2桁、循環節が6桁で16組そろうと、2+6×16=98桁です。100位はその2桁あとの、循環節の2番目にあたります。5÷28 の筆算の最初の桁は 0.178571… で、先頭2桁と循環節の並びも表と一致します。

この例題の分かれ目は、循環節の長さを数えることではなく、循環が始まる前の桁数を数えることです。同じ余りを探す作業と、非循環部分を切り分ける作業は、別の行として表に残しておくと間違えません。

開始位置の決め方も、言葉にして確かめます。循環節は、同じ余りが最初に現れた段の次の段から始まります。二度目に現れた段を開始位置にすると、同じ6桁をひとつずらして読むことになり、答えが変わります。この表では、余り24が2段目のあとに初めて現れ、8段目のあとに二度目に現れています。最初に現れたのは2段目のあとなので、開始はその次の3段目です。

非循環部分ができる理由も、表の余りで説明できます。最初の余り5と、次の余り22は、表のどこにも二度目が現れません。一方、余り24は二度目が現れました。二度目が現れた余りから先だけが同じ順序をたどるので、その前の2段の数字は循環の列に入りません。位の番号を数えるときは、この2段を先に切り分けておきます。

100位の前後を書き出しても、同じ答えに戻れます。非循環部分が2桁、循環節が6桁で16組そろうと98桁です。99位が循環節の1番目の8、100位が2番目の5になります。

発展例題　周期が16桁になる 1÷17

例題3　1÷17 の商を小数で表したとき、小数第100位の数字を求めなさい。

割る数が17なので、余りは0から16までの17通りです。循環節の長さは、表を作るまでわかりません。1段ずつ進めます。

16段目の新しい余りが1で、1段目の最初の余りと同じです。したがって循環節は1段目から16段目までの 0588235294117647 で、長さは16桁です。小数第1位が0であることにも注意します。0も循環節の1桁として数えます。

小数第100位を決めます。100÷16=6 あまり 4 です。16桁の組が6回で96桁、そのあと4桁進むので、循環節の4番目の数字を読みます。0588235294117647 の4番目は8です。

答え　8

確かめに、96桁のあとの4桁を書き出します。97位が0、98位が5、99位が8、100位が8です。1÷17 の商は 0.05882352941176470588… と続くので、この並びとも一致します。

16段の表は長く見えますが、実際に書く量は多くありません。余りの列だけを先にたどり、同じ余りが戻った段を見つけてから、商の列を書き足す方法でも同じ表になります。途中で余り0が出ないことも確かめておきます。余り0が出ればそこで小数が終わるので、循環の表はそこで打ち切ります。この例では最後まで0が現れず、16段目で余り1に戻りました。

この例題の分かれ目は、循環節の長さを先に決めようとしないことです。長さは表を作るまでわかりませんが、表を作れば必ず決まります。先に長さを知ろうとして分母の形から決め打ちすると、根拠のない数字で割り算をすることになります。

誤答の実例と直し方

3÷14 の商について、小数第100位の数字を求める問題を考えます。3÷14=0.214285714285… で、先頭の2が一度だけ現れ、そのあと 142857 が繰り返します。

1段目の新しい余りが2で、7段目の新しい余りも2です。循環節は2段目から7段目までの 142857 で、長さ6桁、非循環部分は1段目の2の1桁です。

正しい計算は、100-1=99、99÷6=16 あまり 3 です。142857 の3番目は2なので、答えは2です。

よくある誤答は、100÷6=16 あまり 4 として、142857 の4番目を読んで8と答えるものです。原因は、循環節が小数第2位から始まることを見落とし、小数第1位を循環節の1番目として数えたことです。位の番号を1つずらしたため、あまり4が指す位置もずれました。

直し方は、位の番号を割る前に、循環節の前に何桁あるかを書き出すことです。この問題では「先頭に2が1桁」と書き、100から1を引きます。図3は、先頭の1桁と循環節を分けて示したものです。

図3のように、循環節の開始位置を先に決めてから位の番号を数えると、ずれは起きません。

同じ原因で違う数になる例も確かめます。7÷12=0.58333… は、先頭の 58 が非循環部分で2桁、そのあと3が1桁で繰り返します。小数第100位は、100が2より大きいので、循環節の3です。もし 583 を3桁の循環節とみなして 100÷3=33 あまり 1 とすると、1番目の5と答えてしまいます。非循環部分を先に切り分けていれば、この誤りは起きません。

もう一つの誤りは、あまり0を組の1番目と読むことです。4÷7 の小数第48位を考えると、48÷6=8 あまり 0 です。あまり0は組の最後の6番目にあたるので、571428 の6番目、8が答えです。ここを1番目と読むと5になり、1つずれます。あまり0は「0番目」ではなく「最後」と覚えるのではなく、48位が8回目の組の終わりであることを、位の番号から確かめるのが確実です。

ずれが起きるのは、位の番号が循環節の中の位置と、そのままでは対応しないからです。小数第1位が循環節の1番目になるのは、非循環部分が0桁のときだけです。非循環部分が1桁あれば、小数第2位が循環節の1番目になります。答案には、非循環部分の桁数と循環節の長さを並べて書き、位の番号から引いた数を丸で囲むと、ずれを見つけやすくなります。

練習問題

次の5問は、どれも商を小数で表したときの、指定した位の数字を問うものです。答えは数字一文字で、単位は付けません。

解く順序は、どの問題でも同じです。まず余りの表を書き、同じ余りが戻る段を探します。次に、循環節の前に何桁あるかを数えます。最後に、位の番号からその桁数を引き、循環節の長さで割ります。順序を入れ替えて、先に位の番号を割ってしまうと、非循環部分の桁数を忘れて答えがずれます。

1. 4÷7 の商の小数第50位の数字を求めなさい。
2. 11÷12 の商の小数第100位の数字を求めなさい。
3. 7÷11 の商の小数第99位の数字を求めなさい。
4. 9÷28 の商の小数第100位の数字を求めなさい。
5. 1÷13 の商の小数第2026位の数字を求めなさい。

答えと解き方

1. 4÷7=0.571428571428… です。余りの表は、4から始めて 40、50、10、30、20、60 と進み、6段目で余り4に戻ります。循環節は 571428 の6桁で、非循環部分はありません。50÷6=8 あまり 2 なので、2番目の7が答えです。答え　7

2. 11÷12=0.91666… です。1段目は 110=9×12+2、2段目は 20=1×12+8、3段目は 80=6×12+8 です。2段目のあとの余りと3段目のあとの余りがどちらも8なので、循環節は3段目の6だけで、長さ1桁、非循環部分は 91 の2桁です。100位は非循環部分のあとにあるので、そのまま6です。答え　3

3. 7÷11=0.636363… です。1段目は 70=6×11+4、2段目は 40=3×11+7 で、余り7が最初の余りに戻ります。循環節は 63 の2桁です。99÷2=49 あまり 1 なので、1番目の6が答えです。答え　6

4. 9÷28=0.321428571428… です。1段目は 90=3×28+6、2段目は 60=2×28+4、3段目は 40=1×28+12、4段目は 120=4×28+8、5段目は 80=2×28+24、6段目は 240=8×28+16、7段目は 160=5×28+20、8段目は 200=7×28+4 です。余り4が2段目のあとと8段目のあとに続くので、循環節は3段目から8段目までの 142857、非循環部分は 32 の2桁です。100-2=98、98÷6=16 あまり 2 なので、2番目の4が答えです。答え　4

5. 1÷13=0.076923076923… です。余りは 1、10、9、12、3、4 と移り、6段目で1に戻ります。循環節は 076923 の6桁です。2026÷6=337 あまり 4 なので、4番目の9が答えです。答え　9

覚えておくこと

• 割り算の一段は、余りを10倍して割る操作。余りの種類は割る数より少ない。
• 同じ余りが二度目に現れたら、その先の数字は前と同じ順に繰り返す。
• 循環節の前に何桁あるかを数え、位の番号からその桁数を引く。
• 位の番号を循環節の長さで割ったあまりが、読む位置を示す。あまり0は最後の数字。
• 余り0で割り切れたら、循環はせず、そこで小数が終わる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

同じ余りを探すところで止まるお子さまは、余りの列を横に見比べるだけで見つけられます。表の余りの欄に印を付けさせ、「前と同じ数はどこか」を指で示させると、自分の目で循環の始まりを決められます。

位の番号をそのまま割ってしまうお子さまは、循環節の前に何桁あるかを言えるかどうかを確かめます。「先頭に何桁あるか」を先に書かせ、それから引き算をさせると、ずれが消えます。

あまり0を1番目と読むお子さまには、組の最後の数字にあたる位を、小さい数で確かめさせます。たとえば 1÷7 の6位、12位、18位は、どれも組の最後の7です。

表の「前の余りを10倍」を飛ばしてしまうお子さまは、各行の10倍の数を声に出させます。10倍を書かずに商だけを書くと、余りがずれ、循環の位置もずれます。

整数部分を1桁目と数えてしまうお子さまには、小数点の位置を指させ、そのすぐ右が小数第1位だと確認させます。1÷17 のように整数部分が0のときは、その0を数えず、小数点の右の0から数えます。声に出して「整数は数えない」と言ってから数え始めると、同じ間違いが減ります。

循環節を写すときに桁が抜けるお子さまは、余りの表の商の列を指でたどりながら、数字の列を書き写させます。表の行と数字の列を交互に見比べると、抜けた桁が見つかります。写した数字を表へ戻して、同じ余りの段で同じ数字になっているかを確かめる方法も使えます。

答えが出たら、位の番号の前後を書き出して確かめます。100位なら99位と100位、20位なら19位と20位を、循環節の並びに戻して書くだけです。計算をやり直すより速く、一桁のずれにも気づけます。

個別指導では、表を最後まで書き切らせてから、循環節の開始位置と長さを言葉で説明させます。説明が「なんとなく」で止まったら、余りの表のどの行を見たのかを指させる場面に戻します。遠い位の数字は、記憶ではなく、余りの表の同じ行を見つける作業で決まります。