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中3数学平方根の簡単化と大小—平方因子を取り出し正の数の比較へ戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

√72の素因数を組にして取り出し、二乗で大小を比べる条件と整数の間にはさむ方法をたどる平方根を簡単化します。

よくあるのは、根号を外せる数の組を見落とす場面です。√72を√(4・18)として2√18までは進めたものの、18にも同じ数の組が残っていて、そこで筆を止めてしまいます。計算の途中が間違っているわけではありません。どこまで整理すればよいかを、根号の中の因数から判断する必要があります。平方根の形を整える方法と、値を近似せずに大小を決める方法を順に考えます。

何を根拠に答えるか

平方根の問題には、まず根号の中にある平方数の因数を外へ出す型があります。たとえば√72なら、72を平方数と残りの数の積に分け、同じ値を保ったまま根号の外の係数を作ります。素因数分解は、取り出し忘れを防ぐための道具です。

次に、形の違う正の数を比べる型があります。根号の中の数だけを見て比べると、外の係数を忘れてしまいます。両方が正であることを確認し、二乗した数を比べれば、元の大小に戻せます。最後に、平方根が隣り合うどの整数の間にあるかを答える型があります。前後の整数の二乗で、根号の中の数を挟みます。

いずれも目標は、見た目を整えることだけではありません。等しい値への変形なのか、大小を決める比較なのかを区別し、答えの根拠を残すことです。この範囲では分母の有理化や近似値の計算には進みません。

同じ因数を2個ずつ組にする

根号を整理する際も、aが正なら√aが表すのはaの平方根のうち正の値だけだと押さえます。つまり、√aを二乗した値はaです。たとえば√9は3であり、-3ではありません。√0は0です。根号の中を積に分けるときは、0以上の数について√(a・b) = √a・√bを使います。右辺は0以上で、二乗するとa・bになるので、この関係が成り立ちます。

図1のように、72を素因数に分けると2が3個、3が2個あります。同じ素因数を2個ずつ組にすると、2の組と3の組が1組ずつでき、2が1個残ります。それぞれの組から2と3が根号の外へ出るので、6√2になります。

図1で組になった2個は、外では1個に変わっています。2個とも外に書くと、値が大きくなりすぎます。逆に、1個だけ残った2は平方数の組を作れないため、根号の中に残します。素因数分解の結果に同じ数の組が残っていなければ、根号内に1より大きい平方数の因数はありません。

平方因子とは、その数を割り切る平方数のことです。72では4も9も36も平方因子です。どの平方因子から始めてもよいのですが、最大の平方因子36を選べば一度に6√2へ進めます。途中で4を選んだ場合も、18の中の9をさらに取り出せば同じ形に着きます。途中の式が違うことと、答えの値が違うことは別です。

一般に、aが0以上、bが0以上なら√(a²b) = a√bです。aが負なら√(a²)は-aであり、aをそのまま外に出すことはできません。例えば√((-3)²・2)は3√2です。根号は0以上の値を表すという条件を、文字を使う場合にも忘れないようにします。

素因数分解が長くなったときは、組を順番に作る方法もあります。例えば180 = 2・2・3・3・5なら、2の組と3の組を先に囲み、残る5を確認します。外の係数は2と3を掛けた6なので、√180 = 6√5です。逆に6√5を二乗すると36・5 = 180になり、正の値という条件も合います。計算の結果を元の数に戻す作業は、途中で因数を落とした場合にも役立ちます。

平方因子は、素数そのものでなくてもかまいません。36は6²であり、180 = 36・5と見つけられれば、素因数をすべて並べなくても同じ形に進めます。ただし、見つけた平方因子が最大かどうか迷う場合は、残った5を素因数まで調べれば終了の判断ができます。平方数を見つける速さより、残りの確認が答えの形を支えます。

基本と標準：形を整えて比べる

ここでは2題の問題を先に示します。どちらも根号を使った正確な形で答え、比較では不等号と理由を書いてください。

基本例題。√108を、根号の中に1より大きい平方数の因数がない形に直します。

標準例題。5√2と3√6の大小を比べます。

基本例題の解き方

108を素因数分解し、同じ素因数を組にします。途中の変形は次のとおりです。

108 = 2・2・3・3・3
√108 = √(2・2・3・3・3)
     = √(36・3)
     = √36・√3
     = 6√3

図2のように、2の組から2、3の組から3が外へ出て、その積が6になります。残った3には1より大きい平方数の因数がないので、これ以上は取り出せません。

図2の最後の形を二乗すると、(6√3)² = 36・3 = 108です。6√3は正なので、二乗が108になる正の数という元の条件にも戻ります。単に二乗が108になるだけでは負の数も候補に入るため、正であることまで確かめます。

別の入り口として108 = 4・27から始めてもかまいません。√108 = 2√27、さらに27 = 9・3なので2√27 = 2・3√3 = 6√3です。最初に見つけた平方因子が最大でなくても、残った数を調べ直せば答えに届きます。

標準例題の解き方

5√2と3√6はどちらも正です。正の数どうしでは、大きい数の二乗が大きくなります。実際、正の数p、qについてp > qなら、p² − q² = (p − q)(p + q) > 0です。逆に二乗を比べてp² > q²なら、pがq以下だと矛盾するのでp > qです。

(5√2)² = 25・2
          = 50
(3√6)² = 9・6
          = 54
50 < 54
5√2 < 3√6

答えは5√2 < 3√6です。根号の中は2と6ですが、外の5と3も値に関わるため、2 < 6という情報だけでは結論を出せません。二乗すると係数と根号の中の数の両方を整数として比較できます。

別の見方では、5√2 = √50、3√6 = √54と根号の中に係数を入れます。いずれも正なので、二乗して元の数になることからこの変形が成り立ちます。50 < 54より√50 < √54です。どちらの方法でも、最初の2つの数が正であることが大小を戻す橋渡しになります。

発展：整数にはさみ、負の数にも注意する

発展例題。A = √175、B = 5√6とします。Aを簡単な根号の形に直し、AとBの大小を不等号で示してください。また、Aをはさむ隣り合う2つの整数を求め、-Aと-14の大小も不等号で示してください。答えは近似値を使わず、判断の理由を記します。

まず175を素因数に分けます。5が2個あるため、25を平方因子として取り出せます。

175 = 5・5・7
A = √(25・7)
  = 5√7
A² = 175
B² = 25・6
   = 150

AもBも正で、175 > 150です。よってA > B、つまり5√7 > 5√6です。同じ正の係数5が両方についているので、7 > 6から√7 > √6としても同じ結論になります。比較後に、それぞれの二乗を元の175と150に戻して照合すると、係数を二乗し忘れた行を見つけやすくなります。

整数の間にはさむには、175に近い平方数を探します。13² = 169、14² = 196なので、169 < 175 < 196です。13、A、14はすべて正であるため、二乗の大小を元に戻して13 < A < 14となります。求める隣り合う整数は13と14です。

さらにA < 14の両辺に-1をかけると、不等号の向きが逆になり、-A > -14です。負の数どうしについて二乗が小さい方が元の数では大きい、という点もこの結果に合います。正の数の比較と負の数の比較を同じ向きで処理すると、ここで誤ります。

境目が平方数そのものの場合は別です。例えば√196は14に等しく、13 < √196 < 14とは書けません。厳密な不等号で挟む前に、根号の中が端の整数の二乗と等しくないかを確認します。0を含む比較でも、√0 = 0として、正ではなく0以上という条件で順序を扱います。

誤答から戻る場所

図3のように、√72を2√18で終えた答案は途中まで正しいものの、簡単化が未完了です。原因は、最初に4を見つけた後、根号の中に9という平方因子が残っていることを調べなかった点です。18 = 9・2に戻せば、2√18 = 2・3√2 = 6√2と直せます。

図3では途中の18を再点検しています。2√18と6√2は両方とも正で、二乗はどちらも72です。したがって途中の式は誤りではなく、指定された形まで進んでいないのです。答案を見直すときは、等号が正しいかと、最終形の条件を満たすかを別々に確認します。

別の誤答は、√(9 + 16)を√9 + √16として3 + 4 = 7とするものです。実際には9 + 16 = 25なので√(9 + 16) = 5です。平方根の積の規則を、和にも使えると取り違えています。積に分ける前に、記号が足し算ではなく掛け算かを見ます。

大小では「二乗が大きい方が元も大きい」と条件なしに書く誤りがあります。-5 < -3ですが、二乗すると25 > 9です。正の数どうしという条件を外すと、二乗は順序を保ちません。符号を先に調べ、正と負なら正の方が大きい、両方負なら絶対値を正の数として比べて向きを逆にする、と分けます。

練習：5つの判断を答案にする

次の問題はすべて正確な根号、整数、不等号で答えてください。各問題で途中の理由も書きます。近似値は使いません。

√200を、根号の中に1より大きい平方数の因数がない形に直します。
√432を同じ条件の形に直し、残った根号の中に平方因子がない理由を素因数から述べます。
4√7と3√13の大小を、不等号と二乗の計算で示します。
√270をはさむ隣り合う2つの整数を求め、不等号で表します。
-2√11と-7の大小を不等号で示し、二乗を使うときの符号の扱いを説明します。

解答と確かめ

200 = 2・2・2・5・5 = 100・2です。したがって√200 = 10√2です。残った2には1より大きい平方数の因数がありません。10√2は正で、二乗は100・2 = 200となり、元の√200の条件を満たします。
432 = 2・2・2・2・3・3・3 = 144・3です。よって√432 = 12√3です。組にできた2が2組、3が1組あり、残る素因数は3が1個だけです。12√3は正で、二乗は144・3 = 432となります。
両方とも正です。(4√7)² = 16・7 = 112、(3√13)² = 9・13 = 117です。112 < 117なので、4√7 < 3√13です。二乗した値をそれぞれ元の係数と根号の中の数に戻すと、16・7と9・13に対応しています。
16² = 256、17² = 289で、256 < 270 < 289です。16と17と√270は正なので、16 < √270 < 17です。両端を二乗すると256と289に戻り、その間に270があります。
まず正の数2√11と7を比べます。(2√11)² = 4・11 = 44、7² = 49なので2√11 < 7です。両方に-1をかけて向きを逆にすると、-2√11 > -7です。元の負の2数の二乗は44と49で、絶対値が小さい方が0に近く、大きいという結果に合います。

覚えておくこと

素因数を2個ずつ組にして、各組から1個を根号の外へ出します。
根号の中に1より大きい平方数の因数が残っていないか確かめます。
正の数どうしは二乗して大小を比べ、元の数の順序に戻せます。
整数の間に挟むときは、両端の二乗と等しい場合を区別します。
負の数どうしは絶対値の大小と元の大小の向きが逆です。

答案のどこを見直すか

お子さまが根号の外に出す数を迷ったときは、素因数を並べた行に戻り、同じ数を2個ずつ囲めるかを見ます。外に出した係数を二乗し、残った数を掛けて元の根号内に戻るかを確かめると、組を1個書き忘れた箇所を探せます。計算が合っていても、残りに同じ素因数の組があれば、簡単化は続きます。

大小で答えが逆になったときは、二乗の行だけでなく、その前に書いた符号の条件を見ます。個別指導で確かめるなら、正の2数と負の2数をそれぞれ比べ、二乗の結果から元の不等号へ戻す理由を本人の言葉で説明してもらいます。根号の中の数、外の係数、符号を別々に点検すると、どの判断で順序が変わったかが見えてきます。