中3数学 平方根と根号の違い—面積から辺を求める場面で正負と値を区別する｜武蔵野個別指導塾

正方形の辺を求める場面で、二乗が同じになる正負の数と、根号が表す値、長さとして採用する値を区別します。

よくあるのは、正方形の面積から辺の長さを求め、計算で出た正負の数をそのまま両方答えるという場面です。二乗して同じ数になるものを探す段階では、正と負の両方に目を向けます。その後、求めたいものが辺の長さだと読み直せば、採用する値を選べます。符号を消す理由まで言葉にすると、式と図がつながります。

平方根は、文部科学省の平成29年告示の中学校学習指導要領解説数学編で、第3学年の学習範囲として示されています。

何を答える問題かを先に読む

平方根の問いには、少なくとも3つの型があります。第1は「ある数の平方根を求める」型です。二乗すると指定された数になる数を、正負を含めて探します。第2は「根号で表された数の値を求める」型です。記号が表す数を読み取るので、勝手に正負を増やしません。第3は「正方形の面積から辺の長さを求める」型です。二乗の式を作った後、長さの条件に合う値を選びます。

同じ数が登場しても、聞かれているものは異なります。「平方根」と「正の平方根」の違い、「√の値」と「x²を満たすx」の違いに印を付けて読みましょう。答えに単位が要るかどうかも、数そのものと長さを分ける手がかりです。

この内容の目標は、符号を暗記して付け外しすることではありません。二乗して元の数になるか、記号がどの値を指すか、場面の条件に合うかを順に説明することです。平方根の計算を複雑にする前に、この3つの問いを分離します。

二乗を戻すときの二つの方向

数を二乗するとは、その数を自分自身に掛けることです。例えば 5² = 25 であり、(-5)² = 25 です。25の平方根とは、二乗すると25になる数を指すので、5と-5の2つです。両方をまとめて ±5 と書くこともできます。±は正と負の2つをまとめて表す記号です。

一方、√25 は正の平方根である5を表します。√25という1つの記号の値は5であり、±5ではありません。負の平方根を表すには、根号の外に負号を付けて -√25 と書きます。25の平方根を根号でまとめるなら ±√25 です。図1のように、平方根という呼び名と、正の値を表す根号の役割を分けます。

図1では、5と-5をそれぞれ二乗すると25になります。矢印を逆にたどるときは両方を候補にしますが、√25という表記はそのうち正の数を指定しています。記号の外の負号が、もう一方を表します。

正の数aについて、√aは二乗するとaになる正の数です。したがって (√a)² = a です。aの平方根は √a と -√a の2つで、絶対値が等しく符号が反対です。たとえば a = 7 なら、7の平方根は √7 と -√7 です。どちらも二乗すると7になり、√7自体は正です。整数に直せない場合でも、根号を使えば正確な値を表せます。

0の場合は様子が違います。0² = 0で、0の符号を反対にしても0のままです。したがって0の平方根は0であり、√0 = 0です。正の数の場合に使った「正と負の2つ」を、そのまま0に当てはめないようにします。0は正でも負でもありません。

次に √(a²) を考えます。a²を作ると、aが正か負かという情報は消えます。根号はその二乗の正の平方根を選ぶので、aが正ならa、aが負なら-a、aが0なら0です。これは0からの距離を表す絶対値と同じで、√(a²) = |a| と表せます。例えば √((-4)²) = √16 = 4 です。元の数が-4だからといって、根号の値も-4とはなりません。

|a|は、aが正または0ならa、負なら-aです。負の数aに負号を付けた-aは正になります。a = -4なら-a = 4です。文字の前の負号を見ただけで、その値が負だと決めないことが、この式を読む鍵です。

基本例題：面積から辺へ戻る

面積が36 cm²の正方形があります。辺の長さを、整数で単位を付けて求めてください。また、辺の長さという条件を外したとき、二乗が36になる数も答えてください。

辺の長さをx cmと置きます。正方形の面積は一辺と同じ長さを掛けて求めるので、次の式になります。

x² = 36
x = 6 または x = -6

2行目では36の平方根を両方挙げました。6² = 36、(-6)² = 36なので、どちらも数としては式を満たします。しかし辺の長さは正ですから、x = -6はこの場面に合いません。求める辺は6 cmです。図2のように、式の候補と図形の答えを別々に置くと、負の候補を捨てた理由が見えます。

図2の正方形に6 cmを戻すと、面積は6 × 6 = 36 cm²です。与えられた面積に戻るので、単位を含めて確かめられました。長さという条件を外した問いへの答えは6と-6です。同じ計算から始まっても、最後に答える範囲が違います。

なお「正方形の辺が-6 cm」とは言えません。負の数を式の候補として書くことと、長さとして認めることを混同しないでください。図形の条件を最初にx > 0と書き、候補を出した後でもう一度見直すと、答案の最後で迷いにくくなります。

標準例題：根号の値と平方根を読み分ける

次の3つを、それぞれ整数で答えてください。(1) 49の平方根、(2) √49の値、(3) √((-7)²)の値です。答える対象の違いを説明し、二乗でも確かめてください。

(1) は二乗が49になる数を探します。7² = 49、(-7)² = 49なので、答えは7と-7です。(2) は正の平方根を表す記号の値ですから、√49 = 7です。ここで±を付けると、1つの数を表す記号に別の数まで混ぜてしまいます。

(3) は括弧の中を先に二乗してから、根号を読みます。

(-7)² = 49
√((-7)²) = √49
√49 = 7

7は0以上で、その二乗は49です。よって根号の値としても条件に合っています。-7を答えると、二乗は49に戻りますが、根号が指定する正の値という条件を満たしません。二乗の検算に加えて、符号の検査が必要です。

逆に、49の平方根として7のみを書けば、7の検算自体は通ります。しかし-7も条件を満たすため、問いに必要な候補を落としています。検算では、書いた値が合うかに加え、反対の符号も候補になるかを考えます。正の数の平方根では、この2方向の検査が役立ちます。

発展例題：文字の符号で分ける

aは数とします。√(a²) = -a が成り立つのは、aがどのような数のときですか。0を含むかどうかも答え、a = -3、a = 2、a = 0を使ってそれぞれ確かめてください。

まず根号の値は √(a²) = |a| です。ここでaの符号によって絶対値を外すと、次のようになります。

a > 0 のとき  |a| = a
a = 0 のとき  |a| = 0
a < 0 のとき  |a| = -a

a > 0なら、左辺はaという正の数、右辺は-aという負の数ですから等しくありません。a < 0なら、左辺も右辺も-aとなり、等しくなります。a = 0なら両辺とも0です。したがって条件は a ≤ 0、つまりaが負または0です。

与えられた数に戻して照合します。a = -3なら左辺は √9 = 3、右辺は -(-3) = 3です。a = 2なら左辺は √4 = 2、右辺は-2なので一致しません。a = 0なら左辺は √0 = 0、右辺も0です。この3つは場合分けの様子を確かめていますが、それだけで一般の結論を証明したことにはなりません。結論の根拠は、正・0・負の各場合に絶対値を外した説明です。

別の見方では、左辺は0以上なので、等しい右辺-aも0以上でなければなりません。よってaは0以下です。逆にaが0以下なら、絶対値の定義から |a| = -a となります。必要な条件を出す向きと、その条件で実際に成り立つ向きの両方を確かめると、答えの範囲が確定します。

答えを直すときに戻る場所

誤答1は「√64 = ±8」です。原因は、64の平方根を尋ねる問いと、√64という数の値を尋ねる問いを取り違えたことです。図3のように、64の平方根なら8と-8、√64なら8と書き分けます。8も-8も二乗は64ですが、根号の前に±がなければ正の値を指します。

図3の右側では、平方根の問いに対して2つの値を並べています。負の平方根を単独で求めるなら -√64 = -8 です。問いの語を線で囲み、答えの個数と符号を照合すると、間違った行を直せます。

誤答2は「√((-9)²) = -9」です。原因は、二乗と根号を機械的に打ち消したことです。(-9)² = 81、√81 = 9と順に戻せば、正の値になります。一般にも √(a²) = a と言えるのはaが0以上の場合です。aが負の場合には反例があるため、文字の符号を確認せずにaへ直せません。

誤答3は、正方形の面積が正である問題で、二乗の式の解を負も含めて辺の長さにすることです。原因は、式が表す数の候補と、場面で許される長さを分けなかったことです。修正するときは、式の候補を消して終わらず、「長さは正」と書いて採用の理由を残します。辺に戻して掛け算し、元の面積も確認します。

誤答4は「0の平方根は0と-0の2つ」です。0と-0は同じ数なので、異なる2つの答えではありません。正の数の場合と同じ書き方を続ける前に、二乗する数そのものが異なるかを調べます。0の平方根は0です。

練習：問いごとに答えを分ける

次の5問は、指定された形で答えてください。長さには単位を付けます。まず5問を解き、その後に解答を読んでください。

1. 81の平方根を整数で求めてください。
2. √121と-√121の値を、それぞれ整数で求めてください。
3. 面積が20 cm²の正方形の辺の長さを、根号を使った正確な値で求めてください。
4. b = -6のとき、√(b²)とbの値をそれぞれ整数で求め、等しいか答えてください。
5. cが数のとき、√(c²) = c となるcの範囲を、0を含むか明示して答えてください。

解答と照合

1. 答えは9と-9です。9² = 81、(-9)² = 81なので両方が平方根です。正の数の平方根を求める問いですから、正と負の候補を両方書きます。元の条件である二乗が81になることに、それぞれ戻しています。

2. 答えは √121 = 11、-√121 = -11です。11² = 121で、11は正なので√121の値に合います。その前に負号を付けた数が-11です。(-11)²も121ですが、負号は根号の外にあることを答案で区別します。

3. 答えは √20 cmです。辺をx cmとすると x² = 20、x = √20 または x = -√20です。辺の長さは正なので √20 を選びます。√20は正であり、(√20)² = 20ですから、正方形に戻した面積は20 cm²です。近似値にせず、指定された正確な形で表せています。

4. 答えは √(b²) = 6、b = -6で、等しくありません。b² = (-6)² = 36、√36 = 6です。6² = 36で根号の値は正なので条件を満たします。bをそのまま答える問いと、bを二乗した数の正の平方根を求める問いを分けます。

5. 答えは c ≥ 0、すなわち正の数または0です。√(c²) = |c|なので、cが正または0なら |c| = cです。cが負なら |c| = -cで、正の数と負の数は等しくありません。0については両辺が0になり、範囲に含みます。この場合分けで、正・0・負のいずれにも戻して条件を照合できます。

手元に残す要点

• 正の数の平方根は正と負の2つ、0の平方根は0です。
• √aはaが正ならその正の平方根、aが0なら0です。
• √(a²) = |a|であり、aの符号を見て絶対値を外します。
• 長さは正という条件に戻し、辺の二乗で面積を確かめます。

答案のどこを見るか

お子さまが正負を迷ったときは、最初に問題文の「平方根」「√の値」「辺の長さ」のどれを答えるのか尋ねます。次に二乗して元の数へ戻る行を見て、最後に符号や単位の条件を読み直します。値は合っていても問いに必要な負の候補を落としていれば、候補を挙げる行へ戻ります。

個別指導で確かめるなら、√(a²)をaと書いた行でaの符号を質問します。負の数を1つ代入して違いが見えたら、正・0・負の場合を自分の言葉で分けてもらいます。面積の問題では、式の解の行と辺として選ぶ行を指さし、その間にある「長さは正」という条件を説明できるかを見ます。二乗の結果と根号の指定、場面の条件がそろえば、答えの符号を理由付きで選べます。