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中3数学平方根の四則計算—同じ根号をまとめる条件と分配法則を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

根号を簡単にしてから係数を集める計算と、積や商の規則を使う計算を比較し、加法に乗法の規則を使う誤りを見直せます。

よくあるのは、√2と√3を足す場面で、根号の外の係数を足して2√5と書いてしまう場面です。どちらも根号を含むので似て見えますが、√2と√3は異なる数です。文字式で2xと3yを一つの項にまとめられないのと同じように、根号の中を確かめる必要があります。一方、掛け算では根号の中を掛ける規則が使えます。記号の見た目だけで操作を選ばず、今行っているのが和か積かを見分けましょう。

計算の入口で見分ける3つの形

1つ目は、根号を簡単にしてから加減する形です。たとえば√8は2√2と表せるので、√2の項とまとめられます。変形する前の根号の中の数が違っていても、整理後に同じになる場合があります。反対に、整理しても根号の中が異なる項は、それぞれ残します。

2つ目は、根号を含む数の積や商です。積では根号の中を掛け合わせ、商では割る数が0でないことを確かめます。先に根号を簡単にしても、積を作ってから簡単にしても、正しく操作すれば同じ値です。途中の数が大きくなりそうなら、先に平方数を取り出す方法も選べます。

3つ目は、括弧や二乗を含む形です。括弧の外の数を各項に掛け、同じ根号を集めます。二項の二乗は、両端の二乗だけでなく、真ん中の積も必要です。計算の終点は、同じ種類の項をまとめ、根号の中に取り出せる平方数を残さない形です。値を小数で概算する必要はありません。

和と積では何が違うか

正の数aの平方根のうち正の方を√aと表します。√aを2回掛けるとaです。たとえば√3・√3=3で、2√3は√3を2倍した数です。2√3の2は根号の外の係数であり、根号の中の3に2を加える指示ではありません。

図1のように、加減では同じ数を何個分集めるかを考えます。3√2+2√2は、√2が3個分と2個分なので5√2です。これは分配法則で(3+2)√2と書くこともできます。3√2+2√3では、集める対象が異なるため、同じ方法で1つの項にできません。√2と√3の二乗はそれぞれ2と3で、両者は等しくないからです。

図1の右側では、同じ符号の項でも根号が違えば別々に残っています。符号が違う場合も考え方は同じです。5√2-3√2は2√2ですが、5√2-3√3はそのまま2種類の項として扱います。係数の1は省略されるので、√2も1√2と見て数えます。

掛け算には別の規則があります。aとbが0以上なら、√a・√b=√(ab)です。左辺は0以上で、その二乗はabです。右辺も二乗するとabになる0以上の数なので、両辺は等しくなります。たとえば√2・√3=√6です。根号の中の数が違っていても積は作れますが、それは和をまとめられることを意味しません。

同様にaが0以上、bが正なら、√a÷√b=√(a/b)です。割る数が0ではない条件が必要です。√0で割る式は計算できません。これは根号の特別な例外ではなく、0で割れないという除法の条件です。商を表すとき、分母の根号をなくす操作もありますが、ここでは分母が整数になる例で四則の規則を確かめます。

和について√a+√b=√(a+b)とはできません。反例として√1+√4は1+2で3ですが、√(1+4)は√5です。3の二乗は9、√5の二乗は5なので、両者は等しくありません。1例が違えば、すべての数に使える規則ではないと示せます。逆に、数例で成り立っただけでは、一般に成り立つ証明にはなりません。

基本例題：整理してから項を集める

次の式を計算し、根号の中に平方数の因子を残さない形で答えましょう。

√8 + 3√2 - √18

図2のように、最初に8と18から平方数を見つけます。8=4・2、18=9・2です。4と9の平方根はそれぞれ2と3なので、次のように変形できます。

√8 + 3√2 - √18
= 2√2 + 3√2 - 3√2
= (2 + 3 - 3)√2
= 2√2

図2の矢印は、√8を2√2に、√18を3√2に直す対応を表します。最後の引き算では、√18の前にある負号が3√2全体にかかります。係数は2、3、-3です。2+3-3=2と計算すると、2√2が残ります。

元の式への戻し方も見ます。√8=2√2は、どちらも正で、二乗が8であることから確かめられます。√18=3√2も、どちらも正で二乗が18です。したがって元の3項は2√2+3√2-3√2となり、答えの2√2と一致します。二乗が同じでも符号が反対の数はあり得るので、正であることも確かめています。

もし最初の形だけを見て、8、2、18が違うからどの項もまとめられないと判断すると、整理後の共通点を見落とします。逆に8+2-18を根号の中で計算する操作もできません。加減と根号の簡単化は別々の操作です。平方数を取り出す行と、係数を集める行を分けて書けば、どこで規則を使ったか追いやすくなります。

標準例題：乗除を終えてから加減する

次の式を計算し、答えを整数と根号を含む項の和または差で表しましょう。

√12・√6 - √75÷√3

掛け算と割り算を先に行います。割る数√3は正なので、0で割ることにはなりません。それぞれを計算してから引き算に戻ります。

√12・√6 - √75÷√3
= √72 - √25
= √(36・2) - 5
= 6√2 - 5

√72は√36・√2なので6√2です。√25は正の平方根で5です。6√2と5は異なる種類の項なので、それ以上はまとめません。途中で√72-√25を√47とすることは、和の場合と同じ理由でできません。

別の順序でも確かめられます。√12=2√3、√75=5√3と先に直せば、積は2√3・√6=2√18=6√2です。商は5√3÷√3=5です。元の式の積と商を別々に再現すると、差は6√2-5となり、最初の方法と一致します。√72も6√2も正で二乗が72、√25も5も正で二乗が25です。

式の区切りを見失う場合は、積と商をそれぞれ囲んでから計算します。たとえば最初の引き算より先に√6-√75を処理すると、元の演算順序が変わります。括弧がないときは乗除を先に、同じ優先順位の乗除は左から順に計算するという通常の規則を、根号のある式にも使います。

発展例題：括弧の中身と符号を追う

次の式を計算し、整数と根号を含む項の和で表しましょう。

(√3 + 2)² - (√3 - 1)(√3 + 1)

まず二乗を同じ括弧同士の積と見ます。2つの項のそれぞれを相手の2つの項に掛けるため、積は4つできます。後半は和と差の積です。外側の引き算が後半全体にかかることにも注意します。

(√3 + 2)² - (√3 - 1)(√3 + 1)
= (3 + 2√3 + 2√3 + 4) - (3 + √3 - √3 - 1)
= (7 + 4√3) - 2
= 5 + 4√3

前半の真ん中には2√3が2回現れます。後半では+√3と-√3が打ち消し合います。括弧の外の負号は、括弧を外すときに中の各項の符号を反転させます。この例では後半を先に2と計算したため、最後は2を引くだけです。

別解は公式を使う方法です。(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)(a+b)=a²-b²に、それぞれa=√3、b=2または1を入れます。前半は3+4√3+4、後半は3-1です。元の2つの括弧の値をそれぞれ7+4√3と2に戻して差を取ると、5+4√3になります。公式で計算する場合も、どの数がaとbに当たるか書くと、2abの係数を確認できます。

分かれ目は、括弧の形と括弧の外にある符号です。和の二乗には真ん中の項が必要です。一方、同じ2数の和と差の積では、真ん中の項が反対符号で消えます。2つの形を似ているからと同じ式にすると誤ります。分配法則で4つの積を書けば、公式を忘れても理由から戻れます。

誤答をほどく：足し算を積の規則にしない

図3のように、√2+√3を√5とする誤答を考えます。原因は、積の規則で根号の中を掛けることと、和で根号の中を足すことを混同した点です。正しくは√2と√3を別の項として残します。これらは正で、二乗が2と3なので同じ数ではありません。

図3の誤答を正確に検査するには、両方を二乗します。元の和の二乗は2+2√6+3、つまり5+2√6です。誤答の√5の二乗は5です。√6は正なので、二乗の結果は一致しません。近似値を使わなくても、等しくないことが示せます。

別の失敗は、√8+√2を異なる根号だからとそのまま終えることです。これは元の値を変えてはいませんが、指定された簡単な形に整理しきれていません。√8=2√2に直すと、和は3√2です。同じ根号かどうかは、整理後に判断します。見た目が違うから一生まとめられない、と決めるのも早すぎます。

括弧の失敗には、(√5+1)²=5+1とする例があります。実際には√5と1の積が2回あるので6+2√5です。根号がなくても(a+b)²には2abが生じますから、まず分配法則に戻り、4つの積を並べてみます。また、割り算で分母が0の場合は、式の変形を続ける前に計算できないと判断します。どの誤りも、元の演算と条件を見直すところから修正できます。

練習：まず5問を通して考える

いずれも近似せず、根号の中に平方数の因子を残さない形で答えてください。根号を含む項と整数があれば、それぞれの和または差で表します。

√27 + 2√3 − √12 を計算してください。
√10・√15 + √48÷√3 を計算してください。
2(√5 + 3) − √5(√5 − 1) を計算してください。
(√2 + 3)² − (√2 − 3)² を計算してください。
√7 + √11 を√18とする考えが正しくないことを、両辺を二乗して説明してください。元の和を簡単にできるかも答えてください。

練習の答えと確かめ

答えは3√3です。√27=3√3、√12=2√3なので、3√3+2√3-2√3=3√3です。3√3と√27は正で二乗が27、2√3と√12は正で二乗が12です。元の3項へ戻すと、加えた2√3と引いた2√3が消え、答えと一致します。
答えは5√6+4です。積は√150=√(25・6)=5√6、商は√16=4です。割る数√3は正です。積を元の因子で確かめると、√10・√15と5√6はともに正で二乗が150です。商については4・√3=√48なので、割る前の数へ戻ります。2つを足しても、整数と√6の項は別に残ります。
答えは3√5+1です。分配法則で2√5+6-(5-√5)とし、括弧の前の負号を各項に適用すると2√5+6-5+√5です。√5の係数を足して、3√5+1となります。元の前半は2√5+6、後半は5-√5です。後半を引いて2√5+6-5+√5に戻るため、符号を含めて一致します。
答えは12√2です。前の二乗は2+6√2+9=11+6√2、後ろの二乗は2-6√2+9=11-6√2です。差を取ると11+6√2-11+6√2=12√2です。元の2つの二乗を別々に復元して引くと、定数が消え、根号の項が2つ分残ります。後ろの括弧の負号を落とすと0になってしまうので、差全体にかかることを確かめます。
元の和の二乗は7+2√77+11=18+2√77です。√18の二乗は18で、√77は正なので一致しません。したがって元の和と√18は等しくありません。7と11には1以外の平方数の因子がなく、根号の中も異なるので、和は√7+√11のままです。元の2項をそれぞれ二乗すると7と11に戻り、項を残す判断とも合います。

手元に残す要点

根号の中の平方数を取り出してから、同じ根号の係数を加減します。
積と商の根号の規則は、0以上や割る数が0でない条件を確かめて使います。
根号の和を、根号の中の和に置き換える規則はありません。
括弧は分配法則に戻り、二乗の真ん中の項と外側の負号を追います。
正の根号の変形は、正負と二乗の両方を確かめます。

答案のどの行に戻るか

お子さまが答えを出せなかったとき、最終行だけでは原因を区別しにくいものです。√8と√2を別々のまま残したなら、平方数を取り出す行に戻ります。√2と√3を一つにまとめたなら、加減する直前の項を指し、それぞれが何を何個分表すかを確認します。括弧を外した後に符号が変わったなら、外側の負号を各項に配った行を見直します。

個別指導で確かめる際も、答えの形を直すだけでなく、本人に「この行は和か積か」「割る数は0でないか」と尋ねると、使った規則を言葉にできます。正しくできた式では、元の各項や各括弧へ戻して一致を確かめます。間違えた式では、初めて等号が成り立たなくなった行を見つけ、その直前から書き直します。計算の種類を見分けることが、根号を含む式の確かな出発点です。