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中学受験の算数周期の個数と合計—完成した組と端の部分を分けて数え上げる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数数の性質・規則性・場合の数

色の帯や数の列が同じ順でくり返すとき、決めた範囲の個数も合計も、一組の長さで割った商と余りから出せます。完成した組と端に残る分を分けて数えるのが周期算です。

くり返す並びで問われる三つのこと

よくあるのは、色の帯を数えていて、最後の途中の組も一組として数えてしまう場面です。赤・青・緑・橙の帯が100個ほど続いていて、赤がいくつあるかを聞かれたとき、頭の中で「一組、二組、……」と区切っていくうちに、最後の半端な部分まで一組に含めてしまう。答えが一つ多くなり、合計を問われた問題では一組分だけ大きくずれます。原因は計算の力ではなく、一組の終わりを見る場所にあります。

この単元で出る問いは、大きく三つに分かれます。一つは、決まった範囲に特定の色や記号が何個あるかという個数の問いです。二つは、その範囲にある数の合計を出す問いです。三つは、範囲が途中から始まるときに、前の部分を引いて差で出す問いです。どれも入口は同じで、一組の長さで割った商を完成した組の数、余りを端の個数として読むところが分かれ目になります。

範囲の端は、問題文に書かれた数え方に従います。1番目から数えるのか0番目から数えるのか、最後の番号を含むのかどうかを、解き始める前に確かめます。何番目が何色かという位置だけを問う問題はここでは扱わず、個数と合計に絞って説明します。

一組・完成した組・端という三つの言葉

用語を三つに決めます。一つ目は一組です。同じ並びがくり返すときの、いちばん短いまとまりを一組と呼びます。赤・青・緑・橙がくり返すなら、一組の長さは4です。赤が二つ続いてから青が二つ続く並びなら、くり返すまとまりは「赤・赤・青・青」で、一組の長さは4になります。同じ色が並んでいるからといって、途中で切ってよいわけではありません。

二つ目は完成した組です。1番から順に区切っていって、ちょうど一組分そろったまとまりを完成した組と呼びます。三つ目は端です。最後に残った、一組より短い部分を端と呼びます。端は0個のこともあれば、一組の長さより1個少ない個数のこともあります。

三つの関係は、割り算の商と余りがそのまま教えてくれます。97番までを4個ずつに区切ると、97 ÷ 4 = 24 あまり 1 です。商の24は「一組が24回とれる」という意味で、余りの1は「24組をとったあとに1個残る」という意味です。この余りは必ず0以上で、一組の長さである4より小さくなります。もし余りが4以上なら、もう一組とれるはずなので、そこで止まることはありません。

割り算は、同じ数を何回引けるかを求める計算でもあります。97から4を引いていくと、24回引いたところで1が残ります。これ以上4を引けないので、そこで止まります。この「引けなくなるまで引く」という見方が、完成した組と端の意味そのものです。商は引けた回数、余りは引けずに残った数に対応します。

言葉	97番までの例	意味
一組	4個	赤・青・緑・橙のまとまり
完成した組	24組（96個）	4 × 24 = 96
端	1個	97番目の赤
全部	97個	96 + 1

図1のように、長い帯は「完成した組の列」と「端」に分けて見ます。この分け方が見えれば、97個を一つずつ数える必要はありません。

図1では、最後に3個だけ残った部分を端として取り分けています。端の箱は一組の箱より小さいので、同じ大きさで並べてはいけないことが見て取れます。

個数を求めるときは、次の形を使います。全体の個数は、一組の長さ × 完成した組の数 + 端の個数です。97番までの例なら、4 × 24 + 1 = 97 となり、全体の個数と一致します。この式は覚えるためのものではなく、帯を分けて見たときの姿をそのまま写したものです。

合計を求めるときは、一組の和を先に出します。全体の合計は、一組の和 × 完成した組の数 + 端の和です。端が0個のときは、端の和も0なので何も足しません。ここで「端がないから一組多い」と考えるのが、次の節で扱う誤りの入口になります。

一組の中に同じ記号が二回出る場合も、考え方は変わりません。一組の長さは4でも、その中のAの個数が2なら、完成した組のAは2 × 組数で数えます。一組の長さと、一組の中の特定の記号の個数は別の数です。この二つを混ぜると、個数の答えが半分になったり二倍になったりします。

基本例題1　色の帯で個数を数える

赤・青・緑・橙の4色が、この順で同じ間隔でくり返して並んでいます。1番目は赤です。1番から97番まで（両端を含む）の色について、次の問いに答えなさい。

赤は何個ありますか。
青は何個ありますか。
4色の個数の合計が97個になることを確かめなさい。

解き方を順に書きます。まず一組の長さを確かめます。赤・青・緑・橙で4個です。次に、97番までに一組がいくつとれるかを割り算で出します。97 ÷ 4 = 24 あまり 1 です。完成した組は24組で、端が1個残ります。

端の1個が何色かを決めます。端は25組目の1番目で、1組目の1番目と同じ色になります。1組目の1番目は赤なので、端は赤です。余りが1のときは1番目の色、余りが2のときは2番目の色、余りが3のときは3番目の色、余りが0のときは端がありません。

端の色は、帯の最後からたどっても確かめられます。97番目の一つ前は96番目で、96は4で割り切れるので一組の最後、つまり橙です。その次の97番目が赤です。余りから決めた色と、最後からたどった色が一致すれば、端の読み方は正しいといえます。

赤の個数を出します。完成した24組には赤が1個ずつ入っているので24個です。端の1個も赤なので、24 + 1 = 25個になります。青は完成した24組に1個ずつで24個、端は赤なので増えません。緑と橙も同じく24個ずつです。

(3)の確かめをします。25 + 24 + 24 + 24 を計算すると97です。1番から97番までの個数は97個なので、色の内訳の合計と全体の個数が一致します。この確かめは、端の色を間違えたときに気づくための道具にもなります。端を青と数えていたら、青が25個、赤が24個となり、どちらの数も問題の帯と食い違います。

もう一つの確かめ方として、逆向きに組み立てる方法があります。24組の赤青緑橙で96個、それに97番目の赤を1個足して97個。帯の最後の4個が青・緑・橙・赤であることも、図を書いて確かめられます。

図2のように、24組と端1個を別々の箱に書くと、最後の半端が一組ではないことが目で見てわかります。式だけでなく、この箱の絵を毎回書く習慣が、次の誤答を防ぎます。

基本例題2　数の列の合計を出す

2, 5, 3, 8 の4つの数が、この順でくり返し並んでいます。1番目は2です。1番から80番までの数の合計を求めなさい。

一組の長さは4です。80番までに一組がいくつとれるかを出します。80 ÷ 4 = 20 あまり 0 です。完成した組は20組で、端は0個になります。余りが0のときは、端のための足し算はありません。

一組の和を出します。2 + 5 + 3 + 8 = 18 です。足す順を変えて (2 + 8) + (5 + 3) = 10 + 8 = 18 と確かめると、一組の和を読み違えたときに気づけます。

全体の合計は、一組の和 × 完成した組の数です。18 × 20 = 360 になります。端がないので、これで終わりです。

最後の数で確かめます。80番目は20組目の4番目なので8です。79番目は3、78番目は5、77番目は2となり、80番目の8は一組の最後の数と一致します。もし端がある問題なら、この確かめは「端の最後の数」で行います。

この問題のように端が0個のときは、一組の和を組数に掛けるだけで答えが出ます。端がある問題と比べると、足し算が一回少ないだけです。どちらの場合も、一組の長さで割って商と余りを出す入口は同じです。

標準例題1　途中から始まる範囲

2, 5, 3, 8 の4つの数が、この順でくり返し並んでいます。41番から80番までの数の合計を求めなさい。

二つの方法で解き、同じ答えになることを確かめます。まず、終わりまでを出して、始まりの前までを引く方法です。80番までの合計は、前の例題と同じ計算で360です。40番までの合計は、40 ÷ 4 = 10 組なので、18 × 10 = 180 です。したがって41番から80番までは、360 − 180 = 180 になります。

次に、個数を数えてから組数に直す方法です。41番から80番までの個数は、80 − 41 + 1 = 40個です。両端を含むので、引き算に1を足します。40 ÷ 4 = 10 組なので、18 × 10 = 180 です。

二つの方法が同じ180になったので、境目の数え方がずれていないとわかります。40番目は10組目の4番目で8、41番目は11組目の1番目で2です。40番までを引くとき、41番目を引いてしまうと1個分ずれます。引き算の境目は「始まりの番号の一つ前」までです。

始まりが一組の途中になる場合も、同じ引き算で解けます。たとえば43番から80番までなら、42番までを引きます。42 ÷ 4 = 10 あまり 2 なので、42番までは10組と端2個です。端の和は2 + 5 = 7なので、42番までの合計は18 × 10 + 7 = 187です。80番までの360から187を引くと、173になります。

個数を問う問題でも、同じ引き算が使えます。たとえば41番から80番までに2が何個あるかを問われたら、80番までの2の個数から40番までの2の個数を引きます。このときも、引く側の範囲が両端を含むかを確かめてから計算します。

標準例題2　一組に同じ記号が二回出る場合

A, B, A, C の4つの記号が、この順でくり返し並んでいます。1番目はAです。1番から150番までに、Aは何個ありますか。

一組の長さは4です。しかし、一組の中のAの個数は1個ではありません。1番目と3番目にAがあるので、一組にAは2個入っています。ここを取り違えると、答えが大きくずれます。

150番までに一組がいくつとれるかを出します。150 ÷ 4 = 37 あまり 2 です。完成した組は37組で、端が2個残ります。

完成した組の中のAを数えます。一組にAが2個なので、2 × 37 = 74個です。端の2個は、38組目の1番目と2番目なので、A, Bです。端の中のAは1個です。したがってAは、74 + 1 = 75個になります。

全体の個数で確かめます。Bは完成した37組に1個ずつで37個、端の2番目にもBがあるので38個です。Cは37組に1個ずつで37個、端にはCがないので37個です。75 + 38 + 37 = 150 となり、1番から150番までの150個と一致します。記号の内訳の合計が全体の個数になるかを確かめると、一組の中の個数を取り違えた誤りは見つかります。

この問題の分かれ目は、一組の長さと一組の中のAの個数を別々に数えることです。長さ4、Aは2個。二つの数を紙に書いてから掛け算に入ると、混ざりません。

発展例題　一組の中の値が違う場合

A, B, C, D, E の5つの記号が、この順でくり返し並んでいます。1番目はAです。それぞれの値は、Aが3、Bが1、Cが4、Dが1、Eが5です。次の問いに答えなさい。

1番から123番までの値の合計を求めなさい。
46番から123番までの値の合計を求めなさい。

(1)から進めます。一組の長さは5です。123 ÷ 5 = 24 あまり 3 なので、完成した組は24組、端は3個です。端の3個は25組目の1番目から3番目で、A, B, Cです。

一組の和を出します。3 + 1 + 4 + 1 + 5 = 14 です。完成した組の分は、14 × 24 = 336 になります。端の3個の和は、3 + 1 + 4 = 8 です。したがって全体の合計は、336 + 8 = 344 です。

(2)に進みます。46番から123番までの合計は、123番までの合計から45番までの合計を引いて出します。45番までは、45 ÷ 5 = 9 組ちょうどなので、14 × 9 = 126 です。344 − 126 = 218 になります。

端の和を足し忘れると、答えは336になり、8だけ小さくなります。合計の問題では、端の個数だけでなく端の値も足すことを忘れないでください。端の値は、一組の先頭から余りの個数だけ取ります。この問題なら、A, B, C の3個を先頭から取ります。

個数の方法で確かめます。46番から123番までの個数は、123 − 46 + 1 = 78個です。78 ÷ 5 = 15 あまり 3 なので、15組と端3個です。15 × 14 + 8 = 210 + 8 = 218 となり、引き算の答えと一致します。

この問題の分かれ目は二つあります。一つは、一組の和を出してから組数を掛けることです。もう一つは、引く側の45番までを、同じ「一組の和 × 組数」の形で出すことです。45番までがちょうど9組なので端はありませんが、もし44番までなら8組と端4個になり、端の和も足してから引きます。

端の位置も確かめておきます。123番目は24組目の5番目ではなく、25組目の3番目です。24 × 5 = 120 なので、121番目が25組目の1番目、122番目が2番目、123番目が3番目になります。端の3個がA, B, Cであることは、この数え方で決まります。

誤答を直す　最後の半端を一組と数える

1番から97番までの赤・青・緑・橙の帯で、青の個数を25個と答えた例を考えます。計算の途中に書かれた式は、97 ÷ 4 = 24 あまり 1 です。この式自体は正しいのに、答えだけが1個多くなっています。

原因は、余りの1を「もう一組」と読んだことです。24組と1個を、24組と1組、つまり25組と数えてしまいました。25組それぞれに青が1個あると考えたので、25個という答えが出ています。これは割り算の答えを読み違えたのであって、割り算そのものを間違えたわけではありません。だから式を見直すだけでは直らず、余りの意味に戻る必要があります。

修正します。余りの1は端の1個であり、一組の長さである4より小さい数です。4個そろっていないので、25組目は存在しません。完成した組は24組で、青はその中に1個ずつ、24個です。端は赤なので、青は増えません。答えは24個になります。

同じ誤りが起きる別の場合も比べます。96番までなら、96 ÷ 4 = 24 あまり 0 で、端はありません。このとき「24組と0個」を25組と数えると、合計が一組分だけ大きくなります。余りが0のときは、端のための足し算をしないことが大切です。

101番までなら、101 ÷ 4 = 25 あまり 1 です。完成した組は25組、端は1個です。赤は25 + 1 = 26個、青は25個になります。99番までなら、99 ÷ 4 = 24 あまり 3 で、端は赤・青・緑の3個です。青は24 + 1 = 25個になります。端の個数が変わると、どの色が端に入るかも変わります。

一組の長さを取り違える誤りもあります。赤・青・緑・橙の4色なのに、最初の3色だけを見て3で割ると、97 ÷ 3 = 32 あまり 1 となります。この場合は端の色がたまたま赤で正解と同じですが、組の数が32組になるので、青の個数は32個となり、正しい24個から8個もずれます。一組の長さは、帯を最初から最後まで見て、同じ並びがくり返すいちばん短いまとまりで決めます。4色が順に続くなら、長さは4です。

図3のように、完成した組と端を別の箱に書き、端の箱には「一組ではない」と印を付けておくと、余りを一組と読む誤りは起きにくくなります。箱の大きさを一組の長さと比べることも、確かめになります。

練習問題

白・桃・黄・緑・水の5色が、この順でくり返し並んでいます。1番目は白です。1番から143番までに、白と水はそれぞれ何個ありますか。
4, 1, 7, 2, 9 の5つの数が、この順でくり返し並んでいます。1番から160番までの数の合計を求めなさい。
●, ▲, ■ の3つの記号が、この順でくり返し並んでいます。1番目は●です。21番から110番までに、●は何個ありますか。
3, 6, 1, 2 の4つの数が、この順でくり返し並んでいます。25番から80番までの数の合計を求めなさい。
7, 2, 9, 4, 6 の5つの数が、この順でくり返し並んでいます。1番から128番までのうち、偶数の数の合計を求めなさい。

答えと解き方

一組の長さは5です。143 ÷ 5 = 28 あまり 3 なので、完成した組は28組、端は3個です。端の3個は白・桃・黄です。白は28 + 1 = 29個、水は完成した28組に1個ずつで28個です。確かめとして、29 + 29 + 29 + 28 + 28 を計算すると143になり、全体の個数と一致します。
一組の長さは5です。一組の和は 4 + 1 + 7 + 2 + 9 = 23 です。160 ÷ 5 = 32 あまり 0 なので、完成した組は32組、端はありません。23 × 32 = 736 になります。160番目は32組目の5番目で9です。
まず110番までを出します。110 ÷ 3 = 36 あまり 2 なので、36組と端2個です。端は●と▲なので、●は36 + 1 = 37個です。次に20番までを出します。20 ÷ 3 = 6 あまり 2 なので、6組と端2個です。端は●と▲なので、●は6 + 1 = 7個です。したがって21番から110番までは、37 − 7 = 30個になります。個数で確かめると、21番から110番までは90個で、90 ÷ 3 = 30組ちょうどなので、30個です。
一組の長さは4で、一組の和は 3 + 6 + 1 + 2 = 12 です。80番までは80 ÷ 4 = 20組で、12 × 20 = 240 です。24番までは24 ÷ 4 = 6組で、12 × 6 = 72 です。25番から80番までは、240 − 72 = 168 になります。個数で確かめると、80 − 25 + 1 = 56個で、56 ÷ 4 = 14組、12 × 14 = 168 です。
一組の長さは5で、一組の和は 7 + 2 + 9 + 4 + 6 = 28 です。ただし、足すのは偶数だけなので、一組の中の偶数である2, 4, 6の和12を使います。128 ÷ 5 = 25 あまり 3 なので、完成した組は25組、端は3個です。端の3個は7, 2, 9で、このうち偶数は2だけです。12 × 25 + 2 = 300 + 2 = 302 になります。