中1数学 立体の体積と表面積—高さと母線を区別して必要な面を数え直す｜武蔵野個別指導塾

円錐の高さは体積に、母線は側面積に使い、底面を加えて表面積を求めます。円柱と球の計算も単位を添えて確かめます。

よくあるのは、円錐を切り開いた側面のおうぎ形で、円錐の高さをそのまま半径にしてしまう場面です。頂点から底面に向かう長さという点は同じでも、立体の内側を垂直に下りる高さと、側面に沿って進む母線は別の線です。どちらを使うかが決まらないまま公式に数を入れると、計算が合っていても求めたい量とは違う答えになります。

立体の中に入る量を表す体積と、外側を覆う面の広さを表す表面積を、図と式の両方から結び直しましょう。長さの単位、数える面、元の条件を順に確かめれば、形や問い方が変わっても選んだ式の意味を説明できます。

何を求める問題かを先に仕分ける

立体の計量には、まず次の3つの型があります。どの型でも、式を書く前に問題文が求める対象を短く言い換えることが出発点です。

1. 立体の中の大きさを求める型。底面積と高さから体積を求めます。柱体か錐体かを見て、錐体なら同じ底面積と高さの柱体の1/3にします。
2. 外側を覆う広さを求める型。面の種類と枚数を調べ、底面と側面の面積を足します。ふたのない容器の外側など、表面積とは数える面が異なる問いにも注意します。
3. 量が与えられて長さを逆に求める型。既知の面積や体積を式に入れ、残った長さを求めます。最後に求めた長さを戻し、初めの量が再現されるかを確かめます。

たとえば円錐で体積を求めるときは底面に垂直な高さを使い、側面積を求めるときは母線を使います。表面積は側面積だけではありません。底面を含むかどうかは、問いが立体全体の表面積なのか、側面だけなのかで判断します。

角柱と円柱をまとめて柱体、角錐と円錐をまとめて錐体と呼びます。球では底面と側面に分けず、半径を使う公式を用います。ここで扱う円錐は高さも母線も必要な場合に与えられており、片方からもう片方を計算する必要はありません。

底面、高さ、母線はどこを指すか

図1のように、円錐の底面は円です。底面の中心から円周までが半径、頂点から底面に垂直に下ろした線の長さが高さ、頂点から底面の円周上の点まで側面に沿った線の長さが母線です。図では線の役目を見せるため、高さを破線にしています。

円錐を底面の円と側面に分けて開くと、側面はおうぎ形になります。頂点に集まっていた側の長さは、開いた後も母線の長さなので、おうぎ形の半径は母線です。一方、おうぎ形の弧は、もとの底面の円周と重なっていた部分です。切り開いても弧の長さは底面の円周と等しいままです。

柱体の体積は「底面積・高さ」、錐体の体積は「底面積・高さ・1/3」です。高さは底面と頂点、または平行な2つの底面の間を垂直に測ります。斜めの辺が高さとは限りません。同じ底面積と高さを持つ錐体の体積は柱体の1/3という性質を使うので、錐体では1/3を忘れないようにします。

表面積は立体を包む面積の合計です。円柱なら等しい円の底面が2枚と側面、円錐なら円の底面が1枚と側面を数えます。角柱や角錐でも考え方は同じで、それぞれの面の形と枚数を調べます。隣り合う面の境目である辺には面積がないため、面積の合計を取るときに辺の分を引く必要はありません。

半径をr、高さをh、円錐の母線をlとすると、円の面積はπr²、円周は2πrです。円柱の側面を開いた長方形の縦はh、横は2πrなので、側面積は2πrhです。円錐の側面積はπrlです。理由は、おうぎ形の面積が「半径・弧の長さ・1/2」であり、ここでは半径がl、弧が2πrだからです。

球は半径をrとすると、表面積が4πr²、体積が4πr³/3です。球の公式はこの形を用います。直径が与えられたときは2で割って半径に直してから代入します。面積はcm²、体積はcm³というように、答えの単位も区別します。

基本例題：円錐の2つの長さを使い分ける

底面の半径が3 cm、高さが4 cm、母線が5 cmの円錐があります。体積と表面積をそれぞれ求め、πを残した形で単位を付けて答えてください。

図2のように、3 cmは底面の円の半径、4 cmは底面に垂直な高さ、5 cmは側面を開いたときのおうぎ形の半径です。まず底面積を求めてから、それを体積と表面積の両方に使います。

底面積は次のようになります。

π・3²
= π・9
= 9π cm²

体積には高さ4 cmを使います。錐体なので、底面積と高さの積を3で割ります。

9π・4・1/3
= 36π・1/3
= 12π cm³

次に側面積です。弧の長さは底面の円周なので、2・π・3 = 6π cmです。おうぎ形の半径は母線の5 cmですから、側面積は次の式です。

5・6π・1/2
= 30π・1/2
= 15π cm²

表面積には底面も加えます。

15π + 9π
= 24π cm²

答えは体積12π cm³、表面積24π cm²です。体積に母線の5を入れると、底面に垂直でない長さを高さとして使うことになります。側面に高さの4を入れても、展開した面の半径が変わってしまいます。図に2つの長さを指でたどり、式のどの場所に使ったか対応させてください。

元の条件へ戻して確認します。底面積9π cm²と高さ4 cmの円柱なら体積は36π cm³で、円錐の12π cm³はその1/3です。また底面の円周6π cmは側面のおうぎ形の弧と一致し、その弧と母線5 cmから側面積15π cm²が戻ります。底面を足した24π cm²にも面の数え残しがありません。

標準例題：円柱の側面と底面を数える

底面の直径が8 cm、高さが7 cmの円柱があります。この円柱の体積と表面積を求め、πを残した形で単位を付けて答えてください。

直径をそのまま半径にすると、底面の面積も円周も変わってしまいます。直径の半分を先に求めます。

8 ÷ 2
= 4 cm

底面積と底面の円周は、それぞれ次のとおりです。

π・4²
= 16π cm²

2・π・4
= 8π cm

柱体の体積は底面積に高さを掛けます。円柱には錐体の1/3を掛けません。

16π・7
= 112π cm³

側面を開くと、横が底面の円周8π cm、縦が高さ7 cmの長方形です。その面積に円の底面2枚を加えます。

8π・7
= 56π cm²

56π + 16π・2
= 56π + 32π
= 88π cm²

答えは体積112π cm³、表面積88π cm²です。底面を1枚しか足さないと、もう一方の円が残ります。逆に側面を開いた長方形を2枚と数える必要はありません。円柱を一周する側面は、切り開くと1枚の長方形に対応します。

確かめると、半径4 cmから直径8 cmに戻り、底面の円周は8π cmです。側面の幅8π cmと高さ7 cmから56π cm²、底面2枚から32π cm²となり、合わせて88π cm²です。底面積16π cm²を高さ7 cm分重ねれば、体積も112π cm³に戻ります。

発展例題：体積から高さを逆にたどる

底面の半径が6 cm、母線が10 cmの円錐があります。この円錐の体積は96π cm³です。高さと表面積を求め、高さはcm、表面積はπを残した形でcm²を付けて答えてください。

体積が与えられているので、底面積を出し、体積の式から高さを逆に求めます。母線10 cmを体積の高さに代用するのではなく、表面積を出す段階まで取っておきます。

底面積は次のとおりです。

π・6²
= 36π cm²

高さをh cmとすると、体積の条件から次の等式ができます。

36π・h・1/3 = 96π
12πh = 96π
h = 96π ÷ 12π
h = 8

高さは8 cmです。次に、底面の円周から側面のおうぎ形の弧の長さを出し、母線10 cmをおうぎ形の半径として使います。

2・π・6
= 12π cm

10・12π・1/2
= 60π cm²

底面を加えると、表面積は次のようになります。

60π + 36π
= 96π cm²

答えは高さ8 cm、表面積96π cm²です。面積と体積の係数が偶然同じでも、単位と意味が異なります。数だけを比べて同じ量と考えることはできません。

高さ8 cmを元の条件に戻すと、36π・8・1/3 = 96π cm³となり、与えられた体積に一致します。側面の弧は底面の円周12π cm、半径は与えられた母線10 cmです。この2つから側面積60π cm²が戻るので、底面積36π cm²との和も確認できます。体積から高さを求める部分と、母線から表面積を求める部分を分けるのが判断の分かれ目です。

誤答から、どの長さを間違えたか探す

基本例題の円錐で、側面積を次のように計算したとします。

4・6π・1/2 = 12π cm²

弧の長さ6π cmは底面の円周と一致しています。しかし、掛けた4 cmは円錐の高さです。側面を開いたときの半径ではないので、この式はもとの円錐の側面積を表しません。

図3のように、側面を開いたおうぎ形では、頂点から弧までの半径に母線5 cmを置き直します。修正した式は5・6π・1/2 = 15π cm²です。さらに立体全体の表面積なら、底面積9π cm²を足して24π cm²にします。

別の誤りとして、体積を9π・4 = 36π cm³とする場合があります。これは底面積と高さが同じ円柱の体積です。円錐なら最後に1/3を掛け、12π cm³と直します。どちらも計算の途中に数を入れた理由を言えるかが、誤りを見つける手掛かりです。

側面積15π cm²をそのまま表面積とする誤りもあります。式の中に底面の円周が現れていても、それは側面の弧の長さを表すための数です。底面の円の面積を足したことにはならないので、円の面積9π cm²を別に加えます。

自分で解く5問

次の問題は、すべて長さをcm、面積をcm²、体積をcm³で扱います。円周率はπとし、πを含む答えはπを残してください。先に5問を考え、その後に解答を見てください。

1. 底面の半径が2 cm、高さが9 cmの円柱の体積を求めてください。
2. 底面積が18 cm²、高さが5 cmの三角錐の体積を求めてください。
3. 半径が3 cmの球の表面積と体積を求めてください。
4. 底面の半径が5 cm、高さが12 cm、母線が13 cmの円錐で、側面積と表面積を求めてください。ある人は側面積を12・10π・1/2と計算しました。その誤りも説明してください。
5. 底面の直径が6 cm、高さが4 cmの円柱から、底面の半径と高さが同じ円錐を1個取り除きます。残った部分の体積を求めてください。ある人は円柱の体積から円錐の体積の2倍を引きました。その方法が条件に合うかも答えてください。

5問の答えと確かめ

1. 円柱の体積

底面積に高さを掛けます。

π・2²
= 4π cm²

4π・9
= 36π cm³

答えは36π cm³です。底面積4π cm²に9 cmの高さを掛けると36π cm³に戻ります。底面の半径を直径と読み違えず、与えられた2 cmをそのまま半径に使っています。

2. 三角錐の体積

底面積がすでに与えられているため、三角形の辺を探す必要はありません。錐体の体積は底面積と高さの積の1/3です。

18・5・1/3
= 90・1/3
= 30 cm³

答えは30 cm³です。底面積18 cm²、高さ5 cmの柱体は90 cm³で、その1/3が30 cm³です。答えを3倍すると90 cm³に戻り、条件に対応します。

3. 球の表面積と体積

半径3 cmを球の公式に代入します。

4・π・3²
= 4・9π
= 36π cm²

4・π・3³・1/3
= 4・27π・1/3
= 36π cm³

答えは表面積36π cm²、体積36π cm³です。表面積は半径の2乗、体積は3乗を使います。半径を2倍して直径6 cmになる球について、与えられた半径3 cmを使っていることも確認できます。係数が同じでも単位は別です。

4. 円錐の面積と誤り

底面の円周は2・π・5 = 10π cmです。側面のおうぎ形の半径には母線13 cmを使います。

13・10π・1/2
= 65π cm²

π・5²
= 25π cm²

65π + 25π
= 90π cm²

側面積は65π cm²、表面積は90π cm²です。誤った式では高さ12 cmをおうぎ形の半径にしています。半径を母線13 cmに直し、底面を足す前の側面積から求め直します。底面半径5 cmを円周に戻すと弧は10π cmで、母線との組合せも問題文に一致します。

5. 円柱から円錐を取り除く

直径6 cmから半径は3 cmです。円柱と円錐は底面積と高さが等しいので、それぞれの体積を計算してから引きます。

6 ÷ 2
= 3 cm

π・3²
= 9π cm²

9π・4
= 36π cm³

36π・1/3
= 12π cm³

36π - 12π
= 24π cm³

残った部分は24π cm³です。取り除く円錐は1個なので、円錐2個分を引く方法は条件に合いません。残りの24π cm³に取り除いた12π cm³を足すと、もとの円柱の36π cm³に戻ります。体積が負になっていないことも確かめられます。

面と長さを取り違えないための要点

• 体積には底面に垂直な高さを使い、錐体なら柱体の1/3にします。
• 円錐の側面のおうぎ形の半径は母線、弧は底面の円周です。
• 表面積は求める立体の外側にある面を数えて足します。
• 直径は半分にして半径へ直し、面積と体積の単位を分けます。

途中のどこで迷ったかを見分ける

お子さまが式の形は覚えていても、図のどの線が高さか指せないなら、数値を隠した円錐に垂直な線と側面に沿う線を描き分けるところから始めます。線は指せるのに表面積を間違えるなら、底面と側面を別々に色分けし、何枚足すかを言葉にしてから計算します。

個別に確認する場面では、答えの数だけでなく「この数はどの面や線を表すか」「求めた値を条件に戻すと何になるか」を尋ねます。逆算で得た高さが元の体積を再現するか、取り除いた部分を足すと元の体積になるかを確かめると、式の組み立て違いにも気づけます。高さと母線の行き先を決めれば、円錐の式は図に戻せます。