中1数学 度数分布表とヒストグラム—階級の境目と幅を確かめ分布の形を読み取る｜武蔵野個別指導塾

階級の境目を以上・未満で振り分け、度数の合計を元の記録と照合します。幅を広げると見えなくなる山や谷にも注目します。

よくあるのは、記録を区間ごとに数えるとき、境目の値を隣り合う二つの階級に入れるという場面です。例えば「10以上15未満」と「15以上20未満」が並ぶ表で、15を両方に数えると、元の記録が増えたように見えてしまいます。15は後の階級に入り、前の階級には入りません。表を作る前に境目の約束を言葉で確かめると、この重複を防げます。

以下の記録は説明のために作ったものです。実際の測定結果ではありません。度数分布表にまとめ、ヒストグラムに表してから、階級の幅を変えると何が見え、何が見えなくなるかを考えます。

要点（結論から）

• 「以上」は境目を含み、「未満」は含みません。
• 度数の合計と元の個数を照合し、境目の振り分けも確かめます。
• 等幅のヒストグラムは、横に階級、縦に度数を取ります。

どんな判断を求められるか

1つ目は、元の記録から表を作る型です。どの範囲からどの幅で区切るかを読み、境目の記録をどちらへ入れるか決めます。各階級の人数や個数を数えたら、合計が元の記録の個数に一致するか確かめます。合計が合わなければ、数え漏れや重複を探します。ただし、1個を二重に数え、別の1個を漏らすと合計は合ってしまうので、合計の確認だけでは十分ではありません。

2つ目は、表からヒストグラムを描く型です。横軸に記録の値の範囲を取り、各階級を底辺とする長方形を隙間なく並べます。等しい幅の階級なら、縦軸に度数を取って高さを比べられます。棒の位置は階級の端に合わせ、棒の高さはその階級の度数に合わせます。

3つ目は、階級幅や分布の形を読み比べる型です。高い棒がある場所を山として捉え、記録がどの範囲に広がるかを見ます。幅を広くすると隣の階級がまとまり、小さな山や谷は見えにくくなります。同じ記録でも区切り方で見え方が変わるため、棒の高さだけを根拠に元の値まで決めることはできません。

境目の約束と表の意味

記録を区切った一つ一つの区間を階級、その階級に入る記録の個数を度数といいます。階級の両端の差が階級の幅です。「10以上15未満」の幅は15 − 10 = 5です。10は含み、15は含みません。次が「15以上20未満」なら、15は次の階級に入り、20はその次へ送られます。

図1のように、境目は前の階級の終点であると同時に、次の階級の始点です。どちらにも含めるのではなく、「以上」の側で受け取ります。図の白い丸はその階級に含まない端、塗った丸は含む端を表しています。

図1の15をたどると、上の区間では白い丸、下の区間では塗った丸です。小数の14.9も10以上15未満に入り、15.0は15以上20未満に入ります。境目の値に単位が付くときも、数の大小と単位をそろえて判断します。

表を作る前には、最小の記録から最大の記録までが階級に収まるか調べます。最後の階級の上端も「未満」なら、その値と等しい記録は含まれません。例えば最後が「20以上25未満」で25の記録がある場合、25以上の階級を追加するか、指定された階級の条件を確認し直します。最初の階級より小さい値についても同じです。

度数0の階級も表に残します。記録がない範囲があることは分布の形を読む手掛かりだからです。ヒストグラムでは、その範囲の棒の高さが0になります。階級値は階級の中央を示す値で、例えば10以上15未満なら (10 + 15) ÷ 2 = 12.5です。ただし、そこに12.5の記録が実際にあるという意味ではありません。

基本例題：記録を表と棒に移す

工作に使うひもを切った長さとして、次の12個の記録を作りました。単位はcmです。階級を5以上10未満、10以上15未満、15以上20未満、20以上25未満とし、度数分布表を作ってヒストグラムに表してください。各度数は個数で答えます。

5、7、9、10、10、12、14、15、17、19、20、23

数えるときは、先に階級の端を確認します。5は最初の階級に入り、10は2番目、15は3番目、20は4番目です。順に並べた記録を左から追い、階級をまたぐたびに区切ると、次の表になります。

数えた対象を元へ戻すと、最初の3個は5、7、9、次の4個は10、10、12、14です。続く3個は15、17、19、最後の2個は20、23です。境目の10を前の階級にも入れると2個余分に数えるので、この振り分けが必要です。

3 + 4 + 3 + 2 = 12

合計は元の12個と一致します。図2のように横軸を5 cmずつ区切り、各階級の度数を棒の高さにします。左端と右端は階級の境目にそろえ、隣の棒とは境目で接します。

図2では10以上15未満が4個で最も高い棒です。これはその範囲に記録が最も多いという意味で、長さ10 cmのひもが4個あるという意味ではありません。元の記録に戻すと、この階級には異なる長さも入っています。縦の目盛りを1個ずつ数え、4本の棒の高さの合計が12個に戻ることも確認します。

標準例題：同じ記録を違う幅にする

架空の読書の記録として、読んだページ数が次の16回分あったとします。0以上から幅2ページの階級と、0以上から幅4ページの階級の2種類の度数分布表を作ってください。最も度数の大きい階級と、その見え方の違いを答えます。

0、1、2、2、3、4、4、5、6、7、8、8、9、10、10、11

幅2の表では、例えば2は0以上2未満に入らず、2以上4未満に入ります。幅4の表では、幅2の隣り合う2階級を合わせられます。端が一致しているので、境目で重複せず、漏れも生じません。

2 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 = 16
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5
3 + 3 = 6
5 + 5 + 6 = 16

幅2では、度数3の階級が2以上4未満、4以上6未満、8以上10未満、10以上12未満の4つあります。幅4では8以上12未満の6回が最も多くなります。幅2の表では6以上8未満の度数が両隣より小さいことも見えますが、幅4では4以上8未満にまとめられ、その凹みを区別できません。

確認として各広い階級に元の記録を戻します。0以上4未満は0、1、2、2、3の5回、4以上8未満は4、4、5、6、7の5回、8以上12未満は8、8、9、10、10、11の6回です。幅を広くしたから回数が増えたわけではなく、同じ16回のまとめ方が変わっています。幅の違う表の棒の高さを、そのまま同じ範囲の多さとして比べないことも必要です。

発展例題：表から言えることを選ぶ

自作のカードの長さを、幅5 mmの階級で数えたところ、30以上35未満が2枚、35以上40未満が4枚、40以上45未満が3枚、45以上50未満が1枚でした。次の問いに答えてください。合計は整数で、階級を幅10 mmにまとめた度数は枚数で答えます。

1. 記録の合計と、30以上40未満、40以上50未満の度数を求めます。
2. 「長さ40 mmのカードが3枚ある」と断定できるか、理由を添えて答えます。
3. 最大の長さと最小の長さの差を、この表から1つの値に決められるか答えます。

まず元の表の各行を足します。幅10の階級は、それぞれ幅5の隣の2行に対応します。

2 + 4 + 3 + 1 = 10
2 + 4 = 6
3 + 1 = 4
6 + 4 = 10

合計は10枚、30以上40未満は6枚、40以上50未満は4枚です。まとめた後も10枚に戻り、境目の40は後の広い階級に入ります。元の各行を見ても、35以上40未満は40を含まず、40以上45未満は40を含みます。

40以上45未満の3枚は、40 mmちょうどとは限りません。例えば3枚が41、42、44 mmでも、40、40、40 mmでも同じ度数です。したがって問い2は断定できません。どちらの並びもこの階級の条件に戻すと3枚で、表と矛盾しません。

問い3も1つに決められません。最初の2枚を30、31 mm、最後の1枚を49 mmとする場合と、最初の2枚を33、34 mm、最後の1枚を46 mmとする場合を考えます。途中の階級にはそれぞれ必要な枚数を入れれば、元の表は同じです。それでも最大と最小の差は前者が19 mm、後者が13 mmです。表は範囲ごとの数を残す一方、個々の値を失うので、細かな差は元の記録がなければ確定できません。

間違いを見つけて戻す

図3のように、記録15を「10以上15未満」と「15以上20未満」の両方に入れたとします。原因は、2つの階級に15という数字が書かれていることと、両方に15を含むことを混同した点です。15未満は15を含まないので、前の階級の印を取り除き、後の階級に1回数えます。

図3で修正後に残るのは「15以上」の側です。度数の合計が元の記録の個数より1大きければ、二重に数えた可能性があります。ただし、合計が等しくても、別の値の数え漏れと重複が打ち消し合うことがあります。境目の値を元の一覧から拾い、各値に対応する階級を1つずつ指さして確かめます。

別の誤りとして、ヒストグラムの高い棒の中央の値が最も多い記録だと決めることがあります。中央は階級値であって、実際の記録とは限りません。修正するときは「どの値が多いか」ではなく、「どの範囲の記録が多いか」と言い換えます。棒を離して描いた場合も、横軸が連続した階級を表すと確認し、共通の境目で接するよう描き直します。

練習：表の外へ戻して確かめる

次の記録はすべて練習用に作ったものです。度数は整数で、単位も添えて答えてください。

1. 架空の積み木の高さは、単位をcmとして2、3、4、4、5、6、7、8です。2以上4未満、4以上6未満、6以上8未満、8以上10未満の度数を順に求めます。
2. 自作の折り紙の幅が、単位をmmとして12、14、15、15、18、19、20、24、25、27です。10以上15未満から幅5 mmで30未満までの表を作り、最も度数の大きい階級を答えます。
3. 架空の歩数を表す小さな数の記録が、0以上3未満に2個、3以上6未満に0個、6以上9未満に4個、9以上12未満に2個あります。0以上6未満と6以上12未満にまとめた度数を求め、空の階級を元の表に残す理由を述べます。
4. 自作の紙片の重さを、1以上3未満が3枚、3以上5未満が2枚、5以上7未満が4枚とまとめました。2 gの紙片が3枚あると断定できるか、理由とともに答えます。階級の単位はgです。
5. 架空の箱の長さが、単位をcmとして6、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18です。6以上から幅3 cmの表と幅6 cmの表を作り、幅を広げると見えなくなる階級の違いを1つ述べます。

練習の答えと考え方

1. 順に2個、3個、2個、1個です。2と3、4と4と5、6と7、8に分けます。境目の4、6、8はそれぞれ後の階級です。

2 + 3 + 2 + 1 = 8

元の8個に戻り、各記録は表のいずれか1行に入ります。8を6以上8未満に含めると、指定された「未満」に反します。

2. 10以上15未満が2枚、15以上20未満が4枚、20以上25未満が2枚、25以上30未満が2枚です。最も多い階級は15以上20未満です。15は2枚とも2行目、25は最後の行に入ります。

2 + 4 + 2 + 2 = 10

元の10枚に戻ります。4枚の中身は15、15、18、19なので、15 mmが4枚あるとは言えません。

3. 0以上6未満は2個、6以上12未満は6個です。

2 + 0 = 2
4 + 2 = 6
2 + 6 = 8

元の表の合計も2 + 0 + 4 + 2 = 8個です。3以上6未満の0を省くと、そこに記録がないことや階級が連続していることを読み取りにくくなります。0を残せば、記録のない範囲も確かめられます。

4. 断定できません。1以上3未満の3枚は、例えば1 g、1 g、2 gでも条件に合います。3枚が2 gの場合もあり、どちらも表の最初の行へ戻すと3枚です。範囲内の値の内訳は度数から決まりません。

5. 幅3 cmでは6以上9未満が2個、9以上12未満が3個、12以上15未満が3個、15以上18未満が3個、18以上21未満が1個です。幅6 cmでは6以上12未満が5個、12以上18未満が6個、18以上24未満が1個です。

2 + 3 + 3 + 3 + 1 = 12
2 + 3 = 5
3 + 3 = 6
5 + 6 + 1 = 12

幅6の最初の階級は、幅3の最初の2階級をまとめたものです。元の記録でも6、8、9、10、11の5個と数えられます。幅を広げると、6以上9未満が2個で9以上12未満が3個という違いは、広い階級の度数5からは区別できません。18は18以上の階級に入り、12個の記録が表に収まります。

要点と見直しの場所

• 「以上」は境目を含み、「未満」は含みません。
• 度数の合計と元の個数を照合し、境目の振り分けも確かめます。
• 等幅のヒストグラムは、横に階級、縦に度数を取ります。
• 幅を変えると山や谷の見え方が変わり、細かな内訳は失われます。

表の合計が違うときは、まず元の記録の個数を数え直し、次に階級の外へ出た値と境目の値を探します。合計は合うのに説明がずれるときは、同じ値の重複と別の値の漏れを対にして点検します。表が合っていて図が違う場合は、横軸の端と縦軸の目盛りを別々に見直します。

個別指導で確かめるなら、お子さまに境目の1個を指して「なぜこちらの階級か」を説明してもらい、続いて2階級をまとめた数を元の記録に戻してもらいます。計算が合っていても、棒の中央を実際の値と見ていないかを聞くと、表が残す情報と失う情報の区別が見えてきます。階級の約束を守ると、分布の形を根拠のある言葉で読めます。