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中1数学 相対度数と累積度数—分母と足し上げる範囲をそろえて割合を比べる｜武蔵野個別指導塾
総数の異なる二組を、ある値未満の割合で比べます。境目と丸める前の値に注目し、割合を比べる手掛かりは相対度数と累積度数です。
よくあるのは、総数が違う二組の記録を見て、ある階級の度数が大きい組ほど、その階級に入る割合も大きいと考える場面です。例えば片方で6人、もう片方で8人なら、人数は後者の方が多いものの、それぞれの総人数が違えば割合の順序は決まりません。まず何人中の何人かを確かめる必要があります。
ここで使う記録は説明のために作ったものです。ある値未満という条件の範囲をそろえ、度数を足してから、それぞれの総数で割ります。人数の大小と割合の大小を区別し、計算した数が表の何を表すかまで戻って確かめましょう。
要点（結論から）
- 相対度数は、その階級の度数をその集団の総度数で割ります。
- 累積度数は最初から指定された階級までを足します。
- 累積相対度数は累積度数を総度数で割ります。
比較の問いを読み分ける
度数は、ある階級に入る資料の個数です。例えば20人中6人と40人中8人を比べると、度数は8人の方が大きいです。しかし割合は6/20と8/40なので、前者は3/10、後者は1/5です。前者の割合が大きいことは、3/10と2/10を比べればわかります。人数が多いという事実と割合が大きいという判断は別々に記録します。
問題の形には、まず1つの階級の相対度数を求めるものがあります。次に、境目より小さい値の個数を累積度数として読み取るものがあります。さらに、累積度数を総数で割り、二組の累積相対度数を比べるものがあります。いずれも階級の範囲と総数を見てから計算する点は共通です。
「10以上20未満」は10を含み、20を含みません。20は次の「20以上30未満」に入ります。「30未満」の個数は、30より小さい階級を最初から足します。30以上の階級は加えません。境界を含むかどうかは、割り算より前に決める条件です。
度数を割合と積み重ねに直す
相対度数は、各階級の度数をその集団の総度数で割った数です。総度数は表の度数を全部足した値で、同じ人の数え漏れや重複がないかを確かめる出発点になります。総度数が0なら割り算ができず、相対度数は定められません。表の数字だけでなく、何を1個として数えているかも確認します。
累積度数は、最初の階級から、指定された階級までの度数を順に足したものです。途中の階級で止めれば、そこまでに入った個数が得られます。最後まで足した累積度数は総度数に一致します。図1のように、各階級の度数を左から積み重ねると、どこまで足した数かが見えます。
図1では度数が順に2、3、5です。累積度数は2、2 + 3 = 5、2 + 3 + 5 = 10となります。最後の10は総度数です。累積相対度数は、この累積度数を総度数で割った数です。2/10、5/10、10/10と表せ、最後は1になります。
相対度数を先に求めて順に足しても、丸めていなければ同じ結果になります。各階級の分母が同じ総度数だからです。ただし小数に丸めた値を足すと、途中で生じた誤差も積み重なります。比較や最終確認には元の度数と総度数を使い、指定された桁への丸めは最後に行います。
累積度数は前の累積度数以上になり、度数が0の階級では増えません。累積相対度数も0から1の範囲にあり、最後は1です。途中の値が前より減った場合や、最後が総数を超えた場合は、範囲の重複や計算を見直します。これらは確認の手掛かりですが、条件に合う階級を選んだことまで自動的に保証するものではありません。
基本例題：2組の同じ境目を比べる
自作の記録として、A組20人、B組30人の読書時間を次の表にまとめました。時間は分で、各人を1回ずつ数えています。20分未満の人数と累積相対度数をそれぞれ求め、割合の大きい組を答えてください。割合は分数で表します。
| 時間 | A組の度数 | B組の度数 |
|---|---|---|
| 0分以上10分未満 | 4人 | 3人 |
| 10分以上20分未満 | 6人 | 9人 |
| 20分以上30分未満 | 5人 | 12人 |
| 30分以上40分未満 | 5人 | 6人 |
| 合計 | 20人 | 30人 |
図2のように、20分未満では上から2つの階級を足します。20分ちょうどの人は3行目に入るため、この問いには加えません。
まずA組の人数と割合を求めます。
4 + 6 = 10
10/20 = 1/2次にB組も同じ範囲を足し、B組自身の総数で割ります。
3 + 9 = 12
12/30 = 2/51/2 = 5/10、2/5 = 4/10なので、20分未満の割合はA組の方が大きいです。人数はB組の12人がA組の10人より多いですが、総数が違うため人数の順序と割合の順序は逆になりました。
検算では、各組の度数の合計がそれぞれ20人、30人に戻ることを確かめます。また20分未満と20分以上を合わせると、A組は10 + 5 + 5 = 20人、B組は12 + 12 + 6 = 30人です。求めた割合に総数を掛けると、A組は20・1/2 = 10人、B組は30・2/5 = 12人となり、元の条件に戻ります。
もし「20分以上30分未満の相対度数」を問われたら、累積せず3行目だけを使います。A組は5/20、B組は12/30です。問いの範囲を確認せずにいつも上から足すと、別の量に答えてしまいます。
標準例題：累積から階級の度数へ戻す
自作の工作記録で、部品の長さを4つの階級に分けたところ、累積度数は順に3個、8個、14個、20個でした。総数は20個です。2番目と4番目の階級の度数を整数で求め、3番目の階級までの累積相対度数を分数で答えてください。
累積度数は前までの分を含みます。そのため、2番目の階級だけの個数は、2番目までの8個から1番目までの3個を引きます。4番目も同様に、最後までの20個から3番目までの14個を引きます。
8 - 3 = 5
20 - 14 = 6
14/20 = 7/10答えは2番目が5個、4番目が6個、3番目までの累積相対度数が7/10です。元に戻すため、3番目の度数も14 − 8 = 6個とします。階級の度数は順に3、5、6、6個なので、順に足すと3、8、14、20個です。最後は総数20個に戻り、14/20に20を掛ければ14個にも戻ります。
累積度数8を2番目の度数とすると、最初の3個をもう一度数えることになります。逆に、階級の度数が必要なときは隣の累積度数の差を取ります。最初の階級だけは、前に加えた階級がないので累積度数そのものが度数です。
発展例題：丸める時点と比較の限界
自作の観察記録で、C組とD組はそれぞれ12個と15個の種を分類しました。3つの階級の度数は、C組が順に4個、4個、4個、D組が順に5個、4個、6個です。最初の2階級までの累積相対度数を正確な分数で求め、大小を答えてください。さらにC組の各相対度数を小数第2位まで四捨五入し、その3つの和を求めてください。
比較の範囲は最初の2階級です。それぞれを足してから、それぞれの総数で割ります。
4 + 4 = 8
8/12 = 2/3
5 + 4 = 9
9/15 = 3/5
2/3 = 10/15
3/5 = 9/15したがって累積相対度数はC組が2/3、D組が3/5で、C組の方が大きいです。各組の最後の累積度数は4 + 4 + 4 = 12個、5 + 4 + 6 = 15個で、総数と一致します。2/3に12を掛けると8個、3/5に15を掛けると9個になり、指定範囲の個数にも戻ります。
C組の各相対度数は正確にはいずれも1/3です。小数第3位を四捨五入して小数第2位まで表すと、それぞれ0.33です。
0.33 + 0.33 + 0.33 = 0.99表示された値の和は0.99ですが、丸める前の和は1/3 + 1/3 + 1/3 = 1です。0.01の差は表示の丸めによって生じます。表の数値を直ちに誤りと決めず、元の度数から計算し直します。一方、元の度数の合計が総数と合わなければ、丸めでは説明できないため集計を見直します。
階級別の表から、階級の内部にある個々の値は復元できません。境目が階級の途中にある場合、その境目未満の正確な個数は、この表だけでは決まりません。元の記録を調べるか、その境目で分け直した表が必要です。範囲が一致しないまま、近い階級までの割合を答えにしないことが大切です。
誤答をたどって修正する
基本例題で「20分未満はA組10人、B組12人だからB組の割合が大きい」と答えた場合を考えます。人数の計算は合っていますが、人数を総数で割る段階が抜けています。図3のように10/20と12/30を作り、それぞれの組を分母に置き直します。
修正後は1/2と2/5を同じ分母にそろえ、A組の割合が大きいと判断します。A組とB組の人数を合計した50を両方の分母にすると、各組の中での割合ではなく、2組を合わせた全体の中での人数の割合になります。分母をそろえる操作と、比べる対象の総数を取り違えないでください。
もう一つの誤りは、20分未満に20分以上30分未満の行まで足すことです。原因は「20分未満」の境目を、20を含む行の終わりと読み違えることです。各行の左端と右端を見て、20分ちょうどはどちらに入るかを先に決めます。20分未満は最初の2行で終わり、3行目は含みません。
累積相対度数を求める際、前の累積度数と今回の度数を足すところで、前の累積度数に加えて前の各度数まで重ねて足す間違いもあります。累積値には前の階級の度数が含まれています。例えば累積が4、次の度数が6なら新しい累積は4 + 6 = 10です。最初の4を再度加える必要はありません。
練習：範囲と分母を選ぶ
次の記録はすべて練習用に作ったものです。各問題の資料は重複なく分類されています。指定された形で答えてください。
- ある集団24人のうち、条件に合う人が9人いました。相対度数を既約分数で求めてください。
- 4階級の度数が順に2、7、0、3個です。各階級までの累積度数を順に整数で求めてください。
- E組16人のうち境目未満は6人、F組24人のうち同じ境目未満は8人です。各累積相対度数を既約分数で求め、どちらが大きいか答えてください。
- 総数18個の表で、累積度数が順に5、11、18個です。各階級の度数を整数で求め、元の累積度数へ戻して確かめてください。
- 0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満の3階級の度数が順に3、4、5個です。20未満の累積相対度数を既約分数で求めてください。また15未満の正確な個数がこの表から決まるか、理由を答えてください。
練習の答えと確かめ
- 条件に合う人数を総数で割ります。
9/24 = 3/8
24・3/8 = 9答えは3/8です。総数24人に掛け戻すと9人で、条件に合う人数へ戻ります。9/15は条件に合わない15人を分母にしているため、求める割合ではありません。
- 最初から順に足します。
2 = 2
2 + 7 = 9
9 + 0 = 9
9 + 3 = 12答えは2、9、9、12個です。3番目の度数が0なので、累積は増えません。度数の合計も2 + 7 + 0 + 3 = 12個で、最後の累積度数と一致します。
- それぞれの総数を分母にします。
6/16 = 3/8
8/24 = 1/3
3/8 = 9/24
1/3 = 8/24E組の3/8の方がF組の1/3より大きいです。16・3/8 = 6人、24・1/3 = 8人と戻るため、分子がそれぞれの境目未満の人数に対応しています。8人の方が多いことと、E組の割合が大きいことは両立します。
- 隣り合う累積度数の差を取ります。
5 = 5
11 - 5 = 6
18 - 11 = 7度数は順に5、6、7個です。5、5 + 6 = 11、11 + 7 = 18と足し戻せば、与えられた累積度数に一致します。度数の合計18個も総数と一致します。
- 20未満には最初の2階級が入ります。
3 + 4 = 7
3 + 4 + 5 = 12
7/12 = 7/12
12・7/12 = 7答えは7/12です。15は2番目の階級の途中にあるので、15未満の正確な個数は表からは決まりません。2番目の4個がすべて15未満なら合計7個、すべて15以上なら合計3個です。どちらも元の度数表には合い、異なる個数になるためです。
要点と、止まった場所の見分け方
- 相対度数は、その階級の度数をその集団の総度数で割ります。
- 累積度数は最初から指定された階級までを足します。
- 累積相対度数は累積度数を総度数で割ります。
- 最後の累積度数は総数、丸める前の累積相対度数は1です。
- 比べる前に境目と分母を確かめ、丸めは最後に行います。
お子さまが人数を正しく足せても割合の大小を逆に答える場合は、分母に何人を置いたかを尋ねると、集計と比較のどちらで止まったかを見分けられます。表の境目を指しながら、ちょうどその値の記録がどの行に入るかを言葉にしてもらうと、範囲の読み違いも見えます。
個別指導で確かめるときは、まず本人が選んだ行に印を付け、次に分子と分母が何を数えているかを説明してもらいます。答えを総数に掛け戻し、選んだ範囲の人数に戻るかまで確かめれば、計算と条件の両方を点検できます。境目と総数を押さえることで、人数の表は比較できる割合の表に変わります。
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