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中1数学データの比較と説明—分布の形と代表値を根拠に結論の限界を述べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中1 単元の掘り下げ

同じ平均をもつ2組の記録を、中央値や階級ごとの度数と照らし合わせ、判断できる範囲を言葉にするデータの比較です。

よくあるのは、2組の記録の平均が同じだと知り、分布も同じだと答える場面です。平均は記録の合計を人数や個数で等しく分けた値です。そこに至る記録の並び方は、1通りとは限りません。中心付近に集まった組と、両端に散らばった組でも平均は一致します。

次の記録は、比較の練習のために作った架空の数です。実際に測定した結果ではありません。何が同じで何が違うかを数字で示し、記録からは決められないことも区別していきます。

要点（結論から）

平均は合計を個数で割り、中央値は並べた中央から求めます。
最頻値は最も多い値で、最頻階級とは区別します。
範囲は最大値と最小値の差で、途中の集まり方は表しません。

比べるときに選ぶ手掛かり

出方の1つは、同じ単位の2組について、中心がどのあたりにあるかを尋ねる形です。平均は全ての値を使います。中央値は小さい順に並べた中央を見ます。両方を示すと、極端な値が平均に及ぼす影響も考えられます。ただし、どちらかが大きいというだけで、各記録の大小関係までは決まりません。

もう1つは、広がりや集まり方を問う形です。最大値から最小値を引いた範囲は両端の距離を表します。ヒストグラムは階級ごとの度数を柱で表し、どの区間に多いかを見せます。範囲が等しくても途中の集まり方は異なりますし、同じ階級に入った記録の細かな値は、図だけからは特定できません。

さらに、短い結論を評価する形もあります。「平均が等しいので、どちらも同じように散らばっている」と言われたら、平均の一致と散らばりの一致を分けます。確かめる材料が足りなければ、無理に優劣を決めず、何の情報が必要かを書きます。

数字が表す場所と広がり

平均値は、値の合計をデータの個数で割ったものです。1個の値が大きく変われば合計も変わるため、平均も動きます。中央値は、値を小さい順に並べて中央にある値です。個数が偶数なら、中央の2個の平均を取ります。例えば6個なら3番目と4番目です。順に並べず、書かれた順の真ん中を取ると別の値になることがあります。

最頻値は、最も多く現れる値です。同じ回数で最多の値が複数なら、最頻値も複数あります。全ての値が1回ずつ現れる場合には、特に多く現れる値がなく、最頻値はないと扱います。度数分布表の最も度数の大きい階級は最頻階級と呼び、個々の値についての最頻値とは区別します。

範囲は最大値と最小値の差です。範囲が小さいほど両端の間隔は狭いといえますが、真ん中に何個集まっているかは表しません。図1のように、代表値は中心に関する手掛かりで、範囲と階級ごとの度数は広がりや集まり方を読む手掛かりです。1つの数に全てを背負わせず、質問に合うものを選びます。

図1の各欄は互いに代わりとなる公式ではありません。平均が同じという情報だけでは、範囲の大小も、どの階級に山があるかも決まりません。個々の値を残しておけば、必要になった別の指標も計算できます。

ヒストグラムの階級は、例えば「2以上4未満」のように、下の境界を含み上の境界を含まない区間でそろえます。4は次の「4以上6未満」に入ります。隣の階級に重複させず、全ての度数の合計が元の個数になるかも点検します。幅の等しい階級で比較すると、柱の高さから度数を読み比べられます。

基本例題：平均が同じ2組

工作の部品の長さとして作った次の記録があります。単位はcmです。AとBはそれぞれ6個です。平均値、中央値、最頻値、範囲を求め、分布について言える違いを1つ書いてください。

A：4、5、6、6、7、8 B：2、3、6、6、9、10

まず、平均の分子となる合計を各組で求めます。個数が同じことも確認してから割ります。

Aの合計 = 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 = 36
Aの平均値 = 36 ÷ 6 = 6
Bの合計 = 2 + 3 + 6 + 6 + 9 + 10 = 36
Bの平均値 = 36 ÷ 6 = 6

両組ともすでに小さい順です。6個なので、中央の3番目と4番目の平均を取ります。

Aの中央値 = (6 + 6) ÷ 2 = 6
Bの中央値 = (6 + 6) ÷ 2 = 6

最も多い値は両組とも2回現れる6です。範囲は端の値を使います。

Aの範囲 = 8 - 4 = 4
Bの範囲 = 10 - 2 = 8

平均値、中央値、最頻値はいずれも6 cmですが、範囲はAが4 cm、Bが8 cmです。Bの両端の間隔はAより4 cm広いと説明できます。代表値が3種類とも一致していても、元の値の並びは同一ではありません。

図2のように、幅2 cmの階級に記録を整理すると、各組の集まり方も比べられます。左端を含み右端を含まないため、長さ6は「6以上8未満」に入ります。図2では各柱の高さがその階級の個数を表します。

0以上2未満から幅2 cmで並べると、Aの度数は順に0、0、2、3、1、0、Bは0、2、0、2、1、1です。どちらも合計は6個です。Aは6以上8未満に3個あり、Bは同じ階級に2個あります。10 cmは10以上12未満に入ります。幅を変えると柱の形は変わるため、比較するときは同じ境界と幅を使います。

元の記録へ戻って確かめると、Aは6 cmからの差が順に-2、-1、0、0、1、2 cmで、その和は0です。Bも-4、-3、0、0、3、4 cmで和は0です。どちらも合計が6 cmを6個分集めた36 cmに戻ります。差の大きさは違っても、正負がつり合えば平均は同じになります。

標準例題：中心がずれる理由

読書に使うしおりの長さとして作った2組の記録があります。単位はmmで、各組5個です。平均値と中央値を求め、平均値の差の理由を元の記録に触れて説明してください。

C：4、5、5、6、20 D：6、7、8、9、10

Cの合計から平均を求めます。

4 + 5 + 5 + 6 + 20 = 40
40 ÷ 5 = 8

Dについても同じ操作をします。

6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40
40 ÷ 5 = 8

平均値の差は0 mmです。一方、5個の中央値は小さい順の3番目なので、Cは5 mm、Dは8 mmです。Cには他の4個より大きい20 mmがあり、合計を押し上げています。平均が等しいことは、中央の値が等しいという意味ではありません。

確かめとして各組の合計は8 mmを5個分にした40 mmと一致します。Cで20 mmを他の値と同じように扱わず除いてしまうと、与えられた5個の平均ではなくなるので注意します。大きい値を除いた別の集団を調べるなら、除いた理由と個数を明示し、元の5個の結果とは別に報告します。

この例ではCの範囲は20 − 4 = 16 mm、Dの範囲は10 − 6 = 4 mmです。Cの端の間隔は広いですが、これだけで測定の間違いだとは判断できません。数が大きいという事実と、その原因についての推測は分けて書きます。

発展例題：階級の表から言えること

同じ幅の階級を使った、作成した2組の記録があります。単位は点で、EとFは各10個です。各階級の度数を比べ、どちらが「6点以上の割合」が高いかを分数で答えてください。また、表だけでは平均値を正確に決められない理由を述べてください。

階級	Eの度数	Fの度数
0以上3未満	1	2
3以上6未満	4	1
6以上9未満	3	4
9以上12未満	2	3

6点以上は後ろの2階級です。上端は12未満で、表には10個全てが入っています。

Eの6点以上の個数 = 3 + 2 = 5
Eの割合 = 5/10 = 1/2
Fの6点以上の個数 = 4 + 3 = 7
Fの割合 = 7/10

1/2 = 5/10なので、Fの方が高く、差は2/10 = 1/5です。表の度数を全部足すとEは1 + 4 + 3 + 2 = 10、Fは2 + 1 + 4 + 3 = 10で、分母の10に戻ります。度数の差だけを見る方法もこの例では同じ比較になりますが、総数が異なる場合は割合に直す必要があります。

表は各値が区間のどこにあるかを示していません。例えばEの最初の階級の1個は0点でも2点でも表の度数は同じです。他の値を変えずにこの1個を0点から2点に変えると合計が2点増え、平均も変わります。したがって、この表だけから正確な平均は決められません。階級の真ん中の値を使った計算は概算であり、元の値から求めた平均そのものと区別します。

誤答を手掛かりに読み直す

基本例題で「AとBの平均は6 cmなので、分布の形も同じ」と答えたとします。結論が間違う原因は、平均が表す合計のつり合いと、各値の位置を同じ情報だと考えることです。図3のように、同じ6からの差を比べると、和が0になる並べ方が違います。

Aでは6から2 cm離れた値が両端にあり、Bでは4 cm離れた値が両端にあります。図3の差を足すとどちらも0ですが、範囲は4 cmと8 cmです。修正するなら「平均は同じ6 cmだが、Bの範囲はAより4 cm広い」と、共通点と違いを別々に書きます。範囲は両端の差なので、この一文から各階級の度数まで同じか違うかを言い切ることはできません。

別の誤りは、ヒストグラムの最も高い柱から、その階級内の値の最頻値まで決めることです。柱が示すのは区間内の個数です。例えばある階級に3個あっても、3個が同じ値とは限りません。正確な最頻値を求めるには元の記録が必要です。

また、中央値を出す前に順番を整理しない誤りもあります。記録順の中央を選んでしまったら、小さい順に並べ直し、奇数個なら中央の1個、偶数個なら中央の2個を確認します。並べ替えで合計や個数は変わらないので、平均の計算結果は変わりません。

練習：数字と説明を結びつける

次の記録は全て練習用に作ったものです。答えには求める単位を付け、分数は約分してください。5問を先に解いてから解答を読みます。

紙片5枚の長さが3、4、4、7、7 cmです。平均値、中央値、最頻値、範囲をそれぞれcmで求めてください。
作った記録Gは1、2、5、5、9、14、Hは3、5、5、6、7、10です。単位は個です。各組の中央値を求め、範囲を比べてください。
幅2の階級「0以上2未満」「2以上4未満」「4以上6未満」で、組Jの度数は順に2、3、5、組Kは順に6、6、8です。4以上の割合をそれぞれ分数で表し、比べてください。
値が2、2、4、4、8の組で、8を3に変えます。変更前後の平均値と中央値を求め、変化を説明してください。単位は点です。
ある組の度数分布表で、10以上20未満の階級に4個あることがわかっています。この情報だけで、その階級にある4個の平均値を正確に決められますか。理由を、条件に合う2通りの記録を示して説明してください。単位はcmです。

練習の答えと解き方

合計は3 + 4 + 4 + 7 + 7 = 25 cm、個数は5枚です。平均値は25 ÷ 5 = 5 cmです。中央の3番目は4 cmなので中央値は4 cmです。4と7がそれぞれ2回で最多のため、最頻値は4 cmと7 cmです。範囲は7 − 3 = 4 cmです。平均5 cmを5枚分にすると25 cmとなり、元の合計と合います。
Gは中央の2個が5と5なので、中央値は(5 + 5) ÷ 2 = 5個です。Hは5と6なので、中央値は(5 + 6) ÷ 2 = 11/2個です。Gの範囲は14 − 1 = 13個、Hは10 − 3 = 7個です。端の間隔はGが6個分広いといえます。中央値は記録の真ん中の2個の平均なので、個数を扱っていても分数になることがあります。元の各組に6個の記録があり、3番目と4番目を使ったことを確かめます。
Jの総数は2 + 3 + 5 = 10、Kは6 + 6 + 8 = 20です。Jの割合は5/10 = 1/2、Kは8/20 = 2/5です。1/2 = 5/10、2/5 = 4/10よりJの割合が高いです。Kの4以上の度数8はJの5より大きいものの、総数が違います。各割合に総数を掛けると、Jは5、Kは8となり、元の階級の度数に戻ります。
変更前の合計は2 + 2 + 4 + 4 + 8 = 20点、平均値は20 ÷ 5 = 4点です。変更後は2、2、3、4、4と並べられ、合計は15点、平均値は15 ÷ 5 = 3点です。中央値は変更前が4点、変更後が3点です。8点を3点に変えると合計が5点減るので、5個の平均は1点下がります。各平均に5を掛ければ、それぞれ20点と15点に戻ります。
正確には決められません。例えば10、10、10、10 cmと、19、19、19、19 cmは、どちらも4個全てが10以上20未満に入ります。前者の平均は40 ÷ 4 = 10 cm、後者は76 ÷ 4 = 19 cmです。同じ階級と度数に戻るのに平均は異なります。したがって階級と度数だけでは個々の長さの合計を決められません。

要点と見直しの入口

平均は合計を個数で割り、中央値は並べた中央から求めます。
最頻値は最も多い値で、最頻階級とは区別します。
範囲は最大値と最小値の差で、途中の集まり方は表しません。
同じ幅の階級で度数を比べ、総数も確認します。
表や図で失われた細かな値は、決められないと書きます。

お子さまが平均の一致から分布の一致を結論したら、2組の最小値と最大値を指して、平均に戻す合計と範囲の違いを別々に説明できるか見ます。中央値がずれる場合は、並べ替えと中央の位置を一緒に確認します。個別指導では、計算を急ぐ前に、何を比べたいか、どの情報がその結論を支えるかを口にしてもらうと、つまずいた箇所を見分けやすくなります。数の根拠と結論の範囲が対応すると、データの比較はより確かな説明になります。