中学受験の算数 おうぎ形の弧と面積—中心角が円全体に占める割合を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

円の一部を切り取った形では、中心角が円全体の何割かを分数でおさえると、弧の長さと面積を同じ割合で出せます。半径と中心角の割合、そして弧が鍵です。

よくあるのは、おうぎ形の弧の長さを問われたお子さまが、弧の線だけを指でなぞって長さを出し、そのすぐ下にある「まわりの長さ」という問いにも同じ数を書いてしまう場面です。弧は円のふちの一部ですが、まわりには中心から出る半径が2本加わります。どちらの問いかを読み分けないまま式を選ぶと、計算は合っているのに答えだけがずれます。ここでは、弧と面積を同じ割合から出し、まわりの長さでは足す線が増えることを、図を指しながら確かめていきます。

おうぎ形の問われ方は3つの型に分かれる

おうぎ形の問題は、見た目がどれも同じでも、問いの形は3つに分かれます。式を立てる前にどの型かを決めると、使う数の取り違えが減ります。問題文を読んだら、まず何を答えるのかに線を引くところから始めます。

1つ目は弧の長さを求める型です。円のふち全体の長さを出し、中心角が円全体の何割かをかけて、その割合の分だけを取ります。「弧の長さを求めなさい」と書かれていたら、この型です。2つ目は面積を求める型です。円の面積を出し、同じ割合の分を取ります。「色の付いた部分の面積を求めなさい」と書かれていても、形がおうぎ形ならこの型になります。3つ目は、まわりの長さか中心角を求める型です。まわりの長さは弧に半径2本を足した長さで、中心角は弧や面積が円全体の何割になっているかを出して360をかけて求めます。

条件の読み取りでは、半径と直径のどちらが書かれているかを最初に確かめます。直径が与えられていたら2で割って半径に直します。円周率は問題文に書かれた数を使い、こちらで別の数に置きかえません。単位は、長さがcm、面積がcm²です。答えに単位を付けるときに迷ったら、その数が線の長さなのか広さなのかへ戻って考えます。

型が決まったら、式に使う数を問題文の横に書き出します。半径、中心角、円周率の3つです。この3つがそろっていない問題は、そのままでは解けません。たとえば中心角だけが書かれていて半径が書かれていない問題では、弧の長さも面積も決まりません。何が足りないかに気づくことも、条件の読み取りのうちです。

円全体を360として割合を読む

おうぎ形は、円の中心から引いた2本の半径と、その間の弧で囲まれた図形です。2本の半径がつくる角を中心角といいます。円全体は360°ですから、中心角が60°のおうぎ形は、円全体の60/360、つまり1/6を切り取った形です。この分数をここでは割合と呼びます。弧の長さも面積も、この割合をかけて求めます。

もとになる長さは円周です。円周は直径×円周率で求めます。半径が6cmなら直径は12cmで、円周率を3.14とすると円周は12×3.14で37.68cmです。この37.68cmのうち、60/360の分だけが弧の長さになりますから、37.68×1/6で6.28cmです。

もとになる面積は円の面積です。円の面積は半径×半径×円周率で求めます。半径6cmなら6×6×3.14で113.04cm²です。この113.04cm²の1/6が、中心角60°のおうぎ形の面積で、113.04×1/6で18.84cm²になります。

なぜ同じ割合をかけるだけでよいのかは、円を中心から等しい角度で切り分けると分かります。中心角が2倍になれば、弧の長さも2倍、面積も2倍になります。中心角を半分にすれば、どちらも半分です。切り分けた形はどれも同じ円からできていて、違うのは切り取る角度だけだからです。図1のように、円全体を6等分した1つ分が中心角60°のおうぎ形で、弧は円周の1/6、面積は円の面積の1/6になります。

中心角と割合の対応は、よく出る角度を覚えておくと速くなります。90°は1/4、180°は1/2、60°は1/6、45°は1/8、120°は1/3、240°は2/3です。どれも中心角を360で割った分数です。角度をそのままかけ算に使うのではなく、必ず360で割ってから使います。

ここで気をつけるのは、割合が同じでも、もとになる量が違うことです。弧は円周という長さの一部で、面積は円の面積という広さの一部です。同じ1/6でも、6.28cmと18.84cm²のように、単位の違う数になります。面積の計算で円周をかけてしまう誤りは、このもとの量の取り違えから起こります。式を書く前に、いま長さを出しているのか広さを出しているのかを自分に問いかけると防げます。

中心角だけでは、長さも面積も決まりません。半径が6cmのときの60°と、半径12cmのときの60°では、割合は同じ1/6でも、弧の長さは2倍、面積は4倍になります。半径が2倍になると円周は2倍、円の面積は4倍になるためです。角度と半径の両方がそろって、はじめて弧と面積が決まります。

成立する条件は2つです。1つは、弧も面積も同じ円の一部として考えること。もう1つは、問題文で指定された円周率を最後まで同じ値で使うことです。途中で割って丸めると、答えが少しずつずれます。計算の順は、円周や円の面積を先に出し、そのあとに割合をかけると、途中の数を確かめやすくなります。

まわりの長さは、弧に半径2本を足した長さです。おうぎ形の境界を指でなぞると、弧の部分と、中心から出る2本の直線が続いていることがわかります。半径6cm、中心角60°なら、6.28に6と6をたして18.28cmです。弧の長さを問われているのか、まわりの長さを問われているのかで、答える数が変わります。

中心角を逆に求める問題では、弧が円周の何割かを出します。半径8cmで弧が12.56cmなら、円周は16×3.14で50.24cm、12.56÷50.24で1/4ですから、中心角は360×1/4で90°です。面積から求めるときも同じで、おうぎ形の面積が円の面積の何割かを見れば、中心角が出ます。弧と面積のどちらからでも、割合を経由すれば角度へ戻れることが、この単元の中心です。

弧から求め、面積へ進む基本例題

例題1です。半径6cm、中心角60°のおうぎ形があります。円周率を3.14として、次の3つを求めなさい。(1) 弧の長さ (2) 面積 (3) まわりの長さ

まず直径を出します。半径6cmの2倍で12cmです。次に円周を出します。12×3.14で37.68cmです。割合は60/360を約分して1/6です。

弧の長さは、円周に割合をかけます。37.68×1/6で6.28cmです。37.68を6で割ると6.28になり、6.28×6で37.68に戻るので、割り算の結果を確かめられます。

面積は、円の面積を先に出します。6×6×3.14で113.04cm²です。この1/6がおうぎ形の面積ですから、113.04×1/6で18.84cm²です。18.84×6で113.04に戻ります。

まわりの長さは、弧に半径2本を足します。6.28に6と6をたして18.28cmです。ここで弧の長さ6.28cmをそのまま書いてしまうと、半径2本の12cmが抜けます。おうぎ形のまわりは、曲がった部分とまっすぐな部分の合計です。

答えは、(1) 6.28cm (2) 18.84cm² (3) 18.28cmです。3つの答えを並べると、6.28という同じ数が弧とまわりの中に現れます。まわりは弧より長くなる、と覚えるのではなく、弧に半径2本を足したから長くなる、と理由を付けておくと、数が変わっても同じ手順で進めます。

図2には、半径6cm、中心角60°のおうぎ形に、弧の長さと面積を書き入れました。図の弧の部分と、中心から出る2本の直線を見比べると、まわりの長さがどの線の合計かが確かめられます。

計算の書き方も決めておきます。1行目に直径、2行目に円周、3行目に割合、4行目に弧、5行目に円の面積、6行目に面積、7行目にまわりの長さ、という順です。この順番を守ると、どの数が何を表しているかを忘れません。式を1行ずつ書くのは、見直すときにどこで間違えたかを見つけるためでもあります。

中心角から面積を出し、弧から中心角へ戻る例題

例題2です。半径10cm、中心角144°のおうぎ形があります。円周率を3.14として、弧の長さ、面積、まわりの長さを求めなさい。

直径は20cm、円周は20×3.14で62.8cmです。割合は144/360を約分して2/5です。弧の長さは62.8×2/5で25.12cmです。面積は、円の面積100×3.14で314cm²の2/5ですから、314×2/5で125.6cm²です。まわりの長さは25.12に半径2本の20cmをたして45.12cmです。

検算では、割合へ戻します。25.12÷62.8は2/5で、360×2/5は144°です。面積でも125.6÷314が2/5になります。弧と面積のどちらから計算しても同じ割合になることを、答えを出したあとに確かめておきます。

例題3です。半径8cmのおうぎ形の弧の長さが12.56cmです。円周率を3.14として、中心角と面積を求めなさい。

この問題は、中心角が書かれていません。弧から逆にたどります。円周は16×3.14で50.24cmです。弧が円周の何割かを出すと、12.56÷50.24で1/4です。中心角は360×1/4で90°になります。面積は、円の面積8×8×3.14で200.96cm²の1/4ですから、200.96×1/4で50.24cm²です。

別の見方もできます。中心角90°は円のちょうど1/4ですから、面積も円の面積の1/4になると、割合から直接言えます。弧の長さと面積のどちらも、同じ1/4をかけているだけです。この問題では、弧の長さと面積の数がどちらも12.56と50.24で、円周と円の面積の1/4になっています。数を並べてみると、同じ割合が使われていることが見えます。

例題4です。半径6cmの円を、中心角120°、90°、150°の3つのおうぎ形に分けます。円周率を3.14として、3つの弧の長さの合計と、3つの面積の合計を求めなさい。

3つの中心角をたすと、120に90、150を加えて360°です。円全体をちょうど分けているので、3つの弧をつなげると円周そのものになります。弧の合計は37.68cmです。面積も同じで、3つを合わせると円の面積そのものになり、113.04cm²です。

それぞれを計算して足す方法でも確かめられます。120°の弧は37.68×1/3で12.56cm、90°の弧は37.68×1/4で9.42cm、150°の弧は37.68×5/12で15.7cmです。合計は12.56に9.42、15.7をたして37.68cmです。面積も、37.68cm²、28.26cm²、47.1cm²をたすと113.04cm²になります。

この例題の分かれ目は、3つを別々に計算するか、合計が円全体になると見るかです。中心角の合計が360°になっていることに気づけば、弧も面積も円全体の値で答えられます。気づかなければ、3回計算して足すことになります。どちらも正しい求め方ですが、先に角度の合計を見るほうが、計算の回数は少なくなります。ただし、途中の1つ分を問われたときは、それぞれの割合で計算する必要があります。

条件によって考え方が変わるのは、この点です。中心角の合計が360°になる分け方では、合計を円全体として扱えます。合計が360°にならない分け方、たとえば重なりがある図や、円の一部だけを切り取った図では、円全体の値は使えません。問題文の図が円を分けているのか、一部を切り取っているのかを、最初に見極めます。

弧に半径を足し忘れる誤答を直す

誤答の1つ目は、まわりの長さを問われて、弧の長さと同じ数を書いてしまうものです。半径6cm、中心角60°のおうぎ形で、弧が6.28cmのとき、まわりの長さも6.28cmと答えるお子さまがいます。理由は、目に入る曲がった線だけをなぞって、境界の直線を数えていないことです。直し方は、おうぎ形の境界を鉛筆で一周なぞり、弧、半径、半径の3本に印を付けることです。6.28に6と6をたして18.28cmになります。図3のように、弧の外側を通る2本の直線を指で示すと、足りない線が目で見えます。

誤答の2つ目は、面積を求めるときに円周をかけてしまうものです。半径6cm、中心角60°で、37.68×1/6を面積の式にしてしまうと、出てくる6.28は長さであって広さではありません。理由は、円周と円の面積のどちらを先に出すかを決めずに式を書き始めていることです。直し方は、面積の式は必ず半径×半径×3.14から書き出すと決めることです。弧の式は直径×3.14×割合から始めます。書き出しの形を分けておけば、途中で入れかわりません。

誤答の3つ目は、中心角をそのままかけ算に使うものです。60°なら37.68×60と書いてしまう形です。理由は、割合を出す前に角度をかけていることです。直し方は、式の中に必ず中心角÷360を分数の形で書くことです。60/360と書いてから約分すれば1/6です。角度と割合は別の数だと、式の上で見えるようにしておきます。

誤答の4つ目は、見た目で割合を決めてしまうものです。図が直角に見えるから1/4、半分に見えるから1/2と判断すると、中心角が93°や100°のときにずれます。直し方は、数字を読むことです。図に直角の印があるか、角度の数が書かれているかを確かめます。角度が書かれていない問題では、弧や面積から割合を逆に求めるしかありません。

不足している条件にも目を向けます。半径が書かれていない問題は、中心角だけでは弧も面積も決まりません。弧の長さだけが与えられて半径がない場合も同じです。解けないのではなく、条件が足りないと気づくことが答えになります。問題文を読んで、半径、中心角、円周率のうち、どれが欠けているかを指差しで確かめます。

図3は、弧だけを答えた図と、半径2本を足したまわりの長さを並べたものです。曲がった線の長さと、図形のまわりの長さが別のものであることが、1枚で見比べられます。

練習問題

次の5問を解きます。円周率は、どの問題も3.14とします。

1. 半径5cm、中心角72°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
2. 半径3cm、中心角240°のおうぎ形の弧の長さ、面積、まわりの長さを求めなさい。
3. 半径7cmのおうぎ形の弧の長さが21.98cmです。中心角と面積を求めなさい。
4. 半径9cm、中心角120°のおうぎ形のまわりの長さと面積を求めなさい。
5. 半径10cmの円を、中心角108°と252°の2つのおうぎ形に分けます。2つの弧の長さの合計と、2つの面積の合計を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 直径は10cm、円周は10×3.14で31.4cmです。割合は72/360を約分して1/5です。弧の長さは31.4×1/5で6.28cmです。面積は、円の面積5×5×3.14で78.5cm²の1/5ですから、78.5×1/5で15.7cm²です。検算は、6.28×5で31.4、15.7×5で78.5になり、どちらも円全体の値に戻ります。

2. 直径は6cm、円周は6×3.14で18.84cmです。割合は240/360を約分して2/3です。弧の長さは18.84×2/3で12.56cmです。面積は、円の面積3×3×3.14で28.26cm²の2/3ですから、28.26×2/3で18.84cm²です。まわりの長さは、弧に半径2本の6cmをたして12.56に6をたして18.56cmです。弧の長さと面積が同じ18.84という数になるのは、半径3cmで中心角240°のとき、円の面積と円周がたまたま同じ数になるためです。数が同じでも、単位はcmとcm²で違うことに注意します。

3. 円周は14×3.14で43.96cmです。弧が円周の何割かは、21.98÷43.96で1/2です。中心角は360×1/2で180°です。面積は、円の面積7×7×3.14で153.86cm²の1/2ですから、153.86×1/2で76.93cm²です。中心角180°のおうぎ形は半円で、まわりの長さは弧に直径14cmをたした35.98cmになります。

4. 直径は18cm、円周は18×3.14で56.52cmです。割合は120/360を約分して1/3です。弧の長さは56.52×1/3で18.84cmです。まわりの長さは、弧に半径2本の18cmをたして18.84に18をたして36.84cmです。面積は、円の面積9×9×3.14で254.34cm²の1/3ですから、254.34×1/3で84.78cm²です。まわりの長さと面積の両方を問われたときは、弧を先に出して、まわりは弧に半径2本をたす、面積は円の面積から出す、と順を分けます。

5. 円周は20×3.14で62.8cm、円の面積は10×10×3.14で314cm²です。2つの中心角をたすと108に252を加えて360°ですから、2つの弧を合わせると円周そのもの、2つの面積を合わせると円の面積そのものになります。弧の合計は62.8cm、面積の合計は314cm²です。1つずつ確かめるなら、108°の弧は62.8×3/10で18.84cm、252°の弧は62.8×7/10で43.96cmで、合計は62.8cmです。面積も、314×3/10の94.2cm²と、314×7/10の219.8cm²をたすと314cm²になります。2つに分けても、合わせれば元の円に戻ることを、答えの側から確かめておきます。

覚えておくこと

• 弧の長さは、円周に中心角÷360の割合をかけて求める。
• 面積は、半径×半径×3.14で出した円の面積に、同じ割合をかける。
• まわりの長さは、弧に半径2本をたした長さになる。
• 中心角は、弧が円周の何割か、面積が円の面積の何割かから、360をかけて戻す。
• 中心角だけでは決まらない。半径と中心角の両方が要る。

つまずきの見分け方と、確かめる言葉

つまずきの見分け方は3つあります。1つは、弧とまわりの長さの区別が付いていない場合です。「まわりの長さを求めて」と言ったときに、すぐ弧の式に戻るなら、境界の直線を数えていません。おうぎ形の絵を指でなぞらせ、曲がる所とまっすぐな所を声に出して数えてもらいます。2つは、円周と円の面積を取り違えている場合です。面積を問われて直径×3.14と書き始めたら、もとの量が長さになっています。いま広さを出していると一言添えて、半径×半径の式に戻します。3つは、割合を出す前に角度をかけている場合です。式に60や144がそのまま残っていたら、360で割る操作が抜けています。式の横に÷360を書かせてから計算します。

個別指導で確かめるのは、次の3つです。図の中で弧を指せるか、半径2本を指せるか、中心角を指せるか。この3つが指せれば、式の部品はそろっています。次に、円周と円の面積を声に出して区別できるか。最後に、出した答えを円全体の値にかけ戻して、元の数になるかを自分で確かめられるか。答えの検算まで自分の手でできれば、数が変わっても同じ手順で進められます。弧と面積を同じ割合で読み、まわりでは半径を足す。この3つを書き分けられることが、おうぎ形の計算を迷わず進める力になります。