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中学受験の算数台形の面積比—対角線でできる四つの三角形の関係を整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形を掘り下げる

台形の対角線が交わる点のまわりにできる4つの三角形は、上底と下底の比から面積の比が決まります。左右の三角形が等しくなる理由まで、図の分割でたどれる対角線です。

よくあるのは、台形の対角線を2本引いた図を見て、小学生が「左と右の三角形は同じ形だから、面積も同じ」と話す場面です。向かい合う上の三角形と下の三角形は相似だと見抜けても、左右の三角形まで相似の仲間に入れてしまい、面積の比の表が崩れます。ノートには「相似」の印が4つ並び、どの角とどの角が対応するのかは書かれていません。相似と呼べる三角形と、面積だけが等しい三角形を分けるところから、図の読み直しを始めます。

台形の対角線で問われる3つの型

1つ目は、4つの三角形の面積比を答える型です。上底と下底の比だけが与えられ、対角線の交点のまわりにできた4つの三角形の面積比を求めます。図にセンチメートルの目盛りがなくても、比の表だけで答えが埋まります。

2つ目は、1つの三角形の面積から残りを求める型です。上の三角形が6cm²で、上底と下底の比が1:4、という形で出ます。1つの面積が決まれば比の表の1目盛りが決まり、左右の三角形も、下の三角形も、台形全体の面積も決まります。

3つ目は、等しい面積の理由を説明する型です。左右の三角形の面積が等しいことを、底辺と高さに注目して書かせます。計算の答えより、どの三角形とどの三角形を比べたのかという言葉が問われます。

条件の読み取りでは、上底と下底のどちらが長いか、比の順序、対角線が交わる点の名前、面積の単位を確かめます。図の脚の長さや傾きは面積比に影響しません。よくある読み違いは、「上底:下底 = 2:3」をそのまま「上:下 = 2:3」と面積比にしてしまうことです。ここが最初の分かれ目になります。

答えの形も型ごとに変わります。面積比を聞かれたら「4:6:6:9」のように比で答え、面積を聞かれたら「6cm²」のように単位を付けます。比と面積を同じ答えの欄に混ぜると、採点の前に自分で読み違えます。設問がどちらを求めているかを、答えを書く前に指で確認します。

四つの三角形を相似と等積で分ける

台形は、1組の向かい合う辺が平行な四角形です。平行な2辺を上底と下底、その間の距離を高さと呼びます。台形ABCDでAD ∥ BCとし、ADを上底、BCを下底とします。2本の対角線ACとBDの交点をPとすると、台形は4つの三角形に分かれます。

上の三角形は△APD、下の三角形は△BPC、左の三角形は△APB、右の三角形は△DPCです。図1のように、4つの三角形はどれも対角線の交点Pを頂点に持ちます。

必ず相似になるのは、上の三角形と下の三角形の1組です。AD ∥ BCなので、錯角が等しくなります。∠PAD = ∠PCBであり、∠PDA = ∠PBCです。さらに、対頂角の∠APD = ∠CPBが等しいので、2組の角が等しくなり、△APD ∽ △CPBがいえます。対応する頂点はAとC、DとB、PとPです。

上底ADと下底BCの比をa:bとすると、相似比はa:bです。相似な三角形では、対応する辺の比も、対応する高さの比も相似比と同じになります。したがって、AP:PC = a:b、DP:PB = a:bとなり、台形の高さHは交点Pでa:bに分かれます。上側の高さはaH÷(a+b)、下側の高さはbH÷(a+b)です。

この高さを使うと、上の三角形の面積は、a×(aH÷(a+b))÷2 = a²H÷(2(a+b))となります。下の三角形はb²H÷(2(a+b))です。左の三角形は、△ABDの面積から上の三角形を引いて求めます。△ABDは底辺AD、高さHなので、aH÷2です。そこからa²H÷(2(a+b))を引くと、abH÷(2(a+b))が残ります。右の三角形も同じ計算になり、左右は等しくなります。こうして、上:左:右:下 = a²:ab:ab:b²という比の表ができます。

左右が等しい理由は、相似を使わなくても説明できます。△ABDと△ACDは、底辺ADが共通で、高さがどちらもADとBCの間の距離です。底辺と高さが同じなので、2つの三角形の面積は等しくなります。どちらからも共通の△APDを引くと、△APBと△DPCが残り、この2つも等しくなります。等積変形の考え方で、左右の面積が等しいことがいえます。

ここで、3つの言葉を分けておきます。上底と下底の比は底辺比、相似な三角形の対応する辺の比は相似比、面積どうしの比は面積比です。底辺比と相似比は同じa:bで表せますが、面積比はa²:b²になります。問題文がどの言葉を使っているかを拾ってから、比の表のどこに数を入れるかを決めます。

比の表は、aとbに具体的な数を入れると使いやすくなります。a=2、b=3なら、上:左:右:下 = 4:6:6:9となり、合計は25です。台形全体の面積は(a+b)²の目盛りで数えられ、この場合は25目盛りになります。上の三角形と下の三角形だけを見ると4:9で、相似比2:3の2乗になっています。左右は6で、上の4とも下の9とも違う目盛りです。

この比の表が成り立つ条件は、ADとBCが平行であることです。平行が崩れると、錯角が等しくならず、相似も等積も使えません。また、左右の三角形は面積が等しいだけで、形が相似とは限りません。相似比を面積比に変えるときは2乗する、という決まりは、相似な上下の1組に使います。図1でも、上と下は相似、左と右は等積、と分けて読み取ります。

4つの三角形の高さは同じではありません。上の三角形と下の三角形は、台形の高さをa:bに分けた高さを持ちます。左右の三角形は、台形の高さそのものではありません。高さをそろえて考えると、面積の合計が台形の面積と合わなくなり、計算の誤りに気づけます。

基本例題　上底4cm・下底6cm・高さ5cmの台形

上底が4cm、下底が6cm、高さが5cmの台形があります。2本の対角線の交点をPとするとき、4つの三角形の面積をそれぞれ求めなさい。

図2のように、上底と下底の比は4:6、つまり2:3です。この比をそのまま面積比にせず、相似比として扱うところが最初の操作になります。

まず、図2の台形全体の面積を求めます。上底と下底をたして2でわり、高さをかけます。(4+6)×5÷2 = 25で、25cm²です。

次に、上底と下底の比を2:3とし、a=2、b=3として比の表を作ります。上:左:右:下 = a²:ab:ab:b² = 4:6:6:9です。比の合計は4+6+6+9 = 25になります。

台形全体の25cm²が、比の25目盛りにあたります。したがって、1目盛りは25÷25 = 1cm²です。上の三角形は4目盛りで4cm²、左の三角形は6目盛りで6cm²、右の三角形も6cm²、下の三角形は9目盛りで9cm²になります。

高さで検算します。上側の高さは2×5÷(2+3) = 2cm、下側の高さは3×5÷(2+3) = 3cmです。上の三角形は4×2÷2 = 4cm²、下の三角形は6×3÷2 = 9cm²となり、比の表と一致します。左右の三角形は、台形全体から上下を引いて、25から4と9を引くと12cm²、これを2つに分けて6cm²ずつです。

別の検算もできます。△ABDは上の三角形と左の三角形を合わせた形で、4+6 = 10cm²です。底辺をADの4cm、高さを5cmとして計算しても、4×5÷2 = 10cm²になります。△ACDも上の三角形と右の三角形を合わせた形で、4+6 = 10cm²です。2つの対角線が作る三角形の面積が、どちらの経路でも合うことを確かめておきます。

答えは、上の三角形が4cm²、左の三角形が6cm²、右の三角形が6cm²、下の三角形が9cm²です。4と6をそのまま面積比にして4:6と答えると、下の三角形が9cm²であることと合いません。相似比2:3の面積比は4:9であることを、答えの形でも確かめます。

標準例題と発展例題

標準例題です。上底と下底の比が2:5の台形で、上の三角形の面積が8cm²でした。左右の三角形、下の三角形、台形全体の面積を求めなさい。

比の表は、a=2、b=5として、上:左:右:下 = 4:10:10:25です。比の合計は4+10+10+25 = 49になります。上の三角形の8cm²が4目盛りにあたるので、1目盛りは8÷4 = 2cm²です。

左の三角形は10目盛りで20cm²、右の三角形も20cm²、下の三角形は25目盛りで50cm²です。台形全体は49目盛りで、49×2 = 98cm²になります。検算として、上の三角形と下の三角形の比が8:50 = 4:25であり、相似比2:5の2乗の4:25と一致することを確かめます。左右の20cm²ずつを合わせた40cm²と、上下の58cm²を合わせると98cm²です。

もう一つの確かめ方として、上底を4cm、下底を10cmと置いてみます。比は2:5のままで、上の三角形の面積が8cm²になる高さを逆算すると、上側の高さは2H÷7、上の三角形は4×2H÷7÷2 = 4H÷7です。これが8cm²なのでH = 14cmです。下の三角形は10×10÷2 = 50cm²、左右はそれぞれ(4+10)×14÷2 = 98cm²から8と50を引いた40cm²を2つに分けて20cm²ずつになります。

標準例題の次の問題です。上の三角形の面積が9cm²、下の三角形の面積が25cm²の台形があります。左右の三角形の面積と、台形全体の面積を求めなさい。

この問題は、長さの比が与えられていません。面積の比から相似比を逆算します。9:25は3:5の2乗です。したがって、上底と下底の比は3:5になります。比の表は9:15:15:25で、合計は64です。

上の三角形の9cm²が9目盛りにあたるので、1目盛りは9÷9 = 1cm²です。左の三角形は15目盛りで15cm²、右の三角形も15cm²、下の三角形は25目盛りで25cm²になります。台形全体は64目盛りで、64×1 = 64cm²です。検算として、△ABDは上の三角形と左の三角形を合わせて9+15 = 24cm²、△ACDは上の三角形と右の三角形を合わせて9+15 = 24cm²となり、2つの面積が等しくなります。

長さを決めて確かめることもできます。上底を3cm、下底を5cmとすると、比は3:5です。上の三角形が9cm²になる高さは、上側の高さを3H÷8として3×3H÷8÷2 = 9H÷16 = 9からH = 16cmです。下の三角形は5×10÷2 = 25cm²、台形全体は(3+5)×16÷2 = 64cm²、左右は64から9と25を引いた30cm²を2つに分けて15cm²ずつです。

条件によって考え方が変わるのは、この逆算の場面です。長さの比が与えられていれば、その比を相似比としてそのまま表に入れます。面積だけが与えられているときは、面積の比が平方の形になっているかを見て、平方根にあたる比を探します。4:9なら2:3、9:16なら3:4というように、同じ数を2回かけた形で戻します。

発展例題です。上底と下底の比が1:2の台形があります。対角線の交点Pを通り、上底と下底に平行な直線を引くと、台形の内部に長さ8cmの線分ができました。上底と下底の長さを求めなさい。

この線分は、Pで2つに分かれます。上底側の部分をPQ、下底側の部分をPRとします。上底をa、下底をbとすると、BP:PD = b:aです。△ABDで、Pを通る平行線がABと交わる点をQとすると、PQ:AD = BP:BD = b÷(a+b)なので、PQ = a×b÷(a+b)です。同じように、△BCDでPR = b×a÷(a+b)です。合わせると、PQ+PR = 2ab÷(a+b)になります。

上底と下底の比が1:2なので、b = 2aです。2ab÷(a+b)に代入すると、2×a×2a÷(a+2a) = 4a²÷3a = 4a÷3になります。この長さが8cmなので、4a÷3 = 8、a = 6です。下底はb = 2a = 12cmになります。

検算します。上底6cm、下底12cmなら、2×6×12÷(6+12) = 144÷18 = 8cmです。高さを9cmと仮定して面積を確かめても、上側の高さは6×9÷18 = 3cm、下側は12×9÷18 = 6cmです。上の三角形は6×3÷2 = 9cm²、下の三角形は12×6÷2 = 36cm²、左右は全体81cm²から9と36を引いた36cm²を2つに分けて18cm²ずつになり、比の表の1:2:2:4に9をかけた9:18:18:36と一致します。線分の長さは高さに左右されず、8cmのままです。

左右の三角形を相似とみなす誤り

誤答の例です。「左の三角形と右の三角形は面積が同じだから相似で、相似比は1:1。だから左:右 = 1:1で、上:左も2:3だから…」と、相似の印を左右にも付けてしまう答え方があります。この進め方では、比の表の左右の目盛りが合わなくなります。

理由を確かめます。相似の条件は、2組の角がそれぞれ等しいことです。左右の三角形で、与えられた条件だけから等しいといえる角は、Pの対頂角の1組だけです。ほかの角は、上底と下底の長さの組み合わせで変わります。面積が等しいことは、形が同じことを意味しません。合同でも相似でもないのに面積だけが一致する三角形の例が、一般の台形の左右の組です。

直し方の1つ目は、図に書く印の言葉を分けることです。上下の三角形には「相似」、左右の三角形には「等積」と書き込みます。同じ「同じ」という言葉でまとめず、相似と面積の等しいを別の言葉として扱います。

直し方の2つ目は、辺の対応を確かめることです。左の三角形の辺APは対角線ACの一部で、右の三角形の辺DPは対角線BDの一部です。相似なら対応する辺どうしの比が一定になるはずですが、左右の三角形ではその組が作れません。対応する頂点を決められない時点で、相似として扱えません。

別の誤答に、相似比2:3をそのまま面積比2:3と答えるものがあります。相似な図形の面積比は相似比の2乗なので、正しくは4:9です。上の三角形と下の三角形の面積を並べて、4:9になっているかを必ず確かめます。

高さについての誤答もあります。4つの三角形の高さを、台形の高さ5cmでそろえてしまう答え方です。基本例題では、上の三角形の高さは2cm、下の三角形の高さは3cmでした。左右の三角形の高さは、台形の高さとも違います。面積を計算する前に、どの高さを使うのかを図に書き込みます。

図3のように、左右の三角形は面積が同じでも、形が相似とは限りません。図の脚の長さや傾きで判断せず、上底と下底の比だけで面積比が決まることを押さえます。左右対称な台形では左右の三角形が合同になることもありますが、それは脚の長さが等しい特別な場合です。面積が等しいことだけを根拠に、相似としてはいけません。

図3の左右の三角形は、辺の長さも形もそろっていません。条件が足りない問題も見分けます。左右の三角形の面積だけが与えられても、2つはもともと等しいので、上底と下底の比は決まりません。上の三角形か下の三角形の面積、あるいは底辺の比のどれか1つが必要です。図に長さが1つも書かれていないときは、比の表のどこが埋まっているかを数え、1目盛りを決める情報があるかを確かめます。

練習問題

上底が3cm、下底が6cm、高さが4cmの台形があります。2本の対角線の交点のまわりにできる4つの三角形の面積を、それぞれ求めなさい。
上底と下底の比が3:4の台形で、上の三角形の面積が18cm²でした。左右の三角形、下の三角形、台形全体の面積を求めなさい。
上の三角形の面積が8cm²、下の三角形の面積が18cm²の台形があります。左右の三角形の面積と、台形全体の面積を求めなさい。
台形ABCDで、対角線の交点をPとします。△APBと△DPCの面積が等しくなる理由を、底辺と高さに注目して説明しなさい。
台形全体の面積が196cm²で、上底と下底の比が2:5です。4つの三角形の面積を、それぞれ求めなさい。

解答と解き方

上底と下底の比は3:6 = 1:2なので、a=1、b=2として比の表は1:2:2:4、合計は9です。台形全体の面積は(3+6)×4÷2 = 18cm²です。18÷9 = 2なので、1目盛りは2cm²です。上は2cm²、左は4cm²、右は4cm²、下は8cm²になります。検算として、2+8 = 10cm²、4+4 = 8cm²、合計18cm²です。
比の表は、a=3、b=4として9:12:12:16、合計は49です。上の三角形の18cm²が9目盛りにあたるので、1目盛りは18÷9 = 2cm²です。左は24cm²、右は24cm²、下は32cm²、台形全体は49×2 = 98cm²になります。検算として、上と下の比18:32 = 9:16であり、相似比3:4の2乗と一致します。左右の48cm²と上下の50cm²を合わせて98cm²です。
8:18 = 4:9なので、上底と下底の比は2:3です。比の表は4:6:6:9、合計は25です。8cm²が4目盛りなので、1目盛りは2cm²です。左は12cm²、右は12cm²、全体は25×2 = 50cm²になります。検算として、△ABDは上と左で8+12 = 20cm²、△ACDは上と右で8+12 = 20cm²となり、等しくなります。
△ABDと△ACDは、底辺ADが共通で、高さがどちらもADとBCの間の距離なので、面積が等しくなります。この2つから共通の△APDを引くと、△APBと△DPCが残ります。等しい面積から同じ面積を引いた残りなので、△APBと△DPCの面積は等しくなります。相似を使わず、等積変形の言葉で説明できるところが要点です。
比の表は、a=2、b=5として4:10:10:25、合計は49です。台形全体の196cm²が49目盛りにあたるので、1目盛りは196÷49 = 4cm²です。上は16cm²、左は40cm²、右は40cm²、下は100cm²になります。検算として、16+100 = 116cm²、40+40 = 80cm²、合計196cm²です。

覚えておくこと

台形の対角線の交点でできる4つの三角形は、上:左:右:下 = a²:ab:ab:b²。
必ず相似なのは上下の1組。左右は面積が等しいだけで、相似とは限らない。
左右が等しいのは、△ABDと△ACDが等積で、共通の△APDを引いても等しいから。
相似比を面積比に変えるときは2乗する。2:3なら4:9。
4つの三角形の高さはそろわない。交点は台形の高さをa:bに分ける。

つまずきの見分け方

図に「相似」の印を4つ書いていたら、まず上下の1組だけに絞ります。印を書いた理由を聞くと、対頂角が等しいことを左右の相似の根拠にしていることが多く、2組目の角を探せていないとわかります。面積の比を答えるときに2:3と書いたら、相似比と面積比のどちらを聞かれているかを確かめさせます。比の表を紙に書き、a²とabの目盛りを指で押さえると、2乗の抜けが戻ります。

高さの誤りは、式の形に出ます。4つの三角形の面積をすべて台形の高さで計算していると、合計が台形の面積と合いません。図に交点の高さを書き込ませ、上側と下側で違うことを目で確かめます。個別指導では、どの三角形とどの三角形が相似か、どの2つが等積かを、図を指さしながら言わせます。言葉と図が一致すれば、比の表は自分で組み立てられます。

仕上げに、4つの面積をたして台形の面積の公式と比べる作業を一度させます。合わなければ、相似比の2乗か高さの選び方のどちらかがずれています。どこでずれたかを、比の表の目盛りと図の高さに戻って探させると、同じ誤りが繰り返されません。

台形の対角線を見たら、相似になる上下の1組と、等積になる左右の1組を、図の上で順に指さす。この順番が身につけば、面積比の計算は、目盛りを数える作業に変わります。