中学受験の算数 相似比と面積比—二方向の拡大を図で追って面積の比を求める｜武蔵野個別指導塾

相似比が3:2の二つの三角形を方眼に写すと、面積の比は9:4に広がります。縦と横が同じ割合で伸びることをマスの数で確かめ、周の長さの比とは別の量として扱う面積比です。

相似な二つの図形を並べて面積を尋ねると、相似比の数字をそのまま面積の比として答えてしまう。よくあるのは、相似比が3:2の二つの三角形で、小さい方の面積が12cm²のときに、大きい方を18cm²と書いてしまう場面です。18は12に1.5を1回かけた数で、縦か横の一方向だけを見た値です。面積は縦と横の両方に広がるので、1.5を2回かけた2.25倍、12×2.25=27cm²が正しい値になります。ここでは、相似比と面積比の間に二乗の関係が生まれる理由を方眼のマスで確かめ、周の長さの比との違い、面積比から相似比へ戻す手順、図の中に隠れた相似を読む手順までを扱います。相似の見つけ方そのものと、合同の証明は範囲に入れません。

問われ方と条件の読み取り

問題文の形は三つに分かれます。一つ目は、相似比と一方の面積が与えられて、もう一方の面積を求める形です。二つ目は、二つの図形の面積比が与えられて、相似比や辺の長さ、周の長さを求める形です。三つ目は、図の中の平行線や共通の角から相似な三角形を自分で見つけ、一部分の面積を求める形です。どの型でも、最初にすることは同じで、相似比がどの辺とどの辺の対応を表しているかを図の上で指さし確認します。

条件を読むときに確かめるのは三つです。相似比の対応が正しいか、面積の単位がそろっているか、問われているのが長さの比なのか面積の比なのか。この三つを済ませてから式を立てます。相似比は対応する辺どうしの比なので、対応を取り違えると、あとの計算がどれだけ正確でも答えは合いません。対応を確かめる順序は、大きさの等しい角を探し、その角をはさむ二辺どうしを比べる、という流れになります。

面積の単位にも気を配ります。相似比は長さの比なので単位を持ちませんが、面積にはcm²のような単位が付きます。相似比から面積比を作るときは単位を考えずに数の比だけを二乗し、実際の面積を求めるときに単位を付け直す、という順序で進めると混ざりません。面積を求める式の途中で単位を書き換えると、どこで何倍したのかが読み取りにくくなります。

もう一つ、問題文の「面積の比」と「面積」は別のものです。比は9対4のように単位のない数の組で、面積は12cm²のように単位の付いた量です。答えを書く前に、問われているのがどちらかを読み返します。比を答える問題で単位を付けてしまう誤りと、面積を答える問題で比だけを書いてしまう誤りは、どちらも答えの形の読み違いから起こります。

三つ目の型では、図に自分で印を足すかどうかが分かれ目になります。平行な二辺があれば、錯角で等しくなる角の組に同じ印を付けます。二つの三角形が一つの角を共有していれば、その角に丸を付けます。印の付いた角が二組そろって初めて、相似の条件が図の上で見える形になります。印を付けずに数字だけを探し始めると、似た形の別の三角形を拾ってしまいます。

相似比と面積比はなぜ二乗になるのか

相似とは、形が同じで、対応する辺の長さの比がどれも等しいことをいいます。この等しい比を相似比と呼びます。相似比が2:3なら、対応する辺はどれも2:3です。一つの辺だけが2:3で、ほかの辺が別の比になる、ということはありません。三角形なら三組の辺、四角形なら四組の辺の比がそろって同じ値になります。

面積が相似比の二乗になる理由は、方眼のマスを数えると見えます。一辺が2マスの正方形は4マス、一辺が3マスの正方形は9マスです。辺の比は2:3ですが、面積の比は4:9になります。辺が1.5倍になると、縦に1.5列、横に1.5行が増えるので、マスの数は1.5×1.5=2.25倍になるからです。マスの総数は縦の個数と横の個数の積で決まるので、倍率が2回かけられます。

図1のように、小さい正方形の中のマスは縦2個・横2個で4個、大きい正方形は縦3個・横3個で9個です。縦の列の数と横の列の数が同じ割合で増えるので、面積は相似比を2回かけた数になります。三角形でも同じで、底辺が相似比の分だけ伸び、高さも同じ比で伸びるため、底辺×高さ÷2の値は相似比の二乗の比になります。台形や平行四辺形でも、底辺と高さが同じ比で伸びるので考え方は変わりません。

ここで大切なのは、相似比という一つの言葉が使えるのは縦も横も同じ割合で伸びるときだけ、という点です。縦を2倍、横を3倍にした長方形は、形が変わるので相似ではありません。面積は2×3=6倍になります。相似比という一つの数でまとめられないときは、縦と横の倍率を別々にかけて面積の倍率を出します。問題文に「相似」とあれば一つの比でまとめ、「縦を何倍、横を何倍」とあれば二つの倍率を掛けます。

成立条件も整理します。相似比a:bの二つの図形では、対応する長さの比がa:b、周の長さの比がa:b、面積の比がa²:b²です。周は長さを1回足したものなので相似比のまま、面積は縦と横の2回分なので二乗になります。この三つを一組で覚えると、面積比だけを相似比と取り違える事故が減ります。周の比と面積比を同じ行に書くときは、どちらが一乗でどちらが二乗かを声に出して確かめます。

面積比から相似比へ戻すときは、平方根の記号は使いません。面積比が25:16なら、5×5=25、4×4=16となる組を探して相似比5:4とします。整数の二乗の並び、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100を頭に置いておくと、面積比を見た瞬間に相似比が読めます。面積比が50:32のように平方数でない比なら、まず比を簡単にして25:16の形に直してから、二乗の組を探します。

二乗の関係は、面積の差を出すときにも役に立ちます。相似比3:2の二つの三角形で、小さい方の面積が12cm²のとき、大きい方の面積は27cm²でした。この二つの面積の差は27-12=15cm²です。面積比の項の差は9-4=5で、1にあたる量は3cm²なので、5×3=15cm²と、差の側からも同じ値が出ます。面積の差を問う問題では、二つの面積をそれぞれ出してから引く方法と、面積比の項の差から先に出す方法の両方が使えます。どちらでも答えは同じになりますが、項の差から出す方法は、一方の面積を先に確かめたい場面でも使えます。

相似な図形の面積を足し引きする場面では、比の項どうしを同じ比の世界の中でなら足したり引いたりできます。相似比3:2の二つの図形の面積比は9:4なので、二つを合わせた面積と小さい方の面積の比は、9+4=13と4で13:4です。小さい方の面積を4とすると大きい方が9、合わせて13になり、合わせた面積は小さい方の13÷4=3.25倍です。この和は比の項どうしの和であって、小さい方の面積に13をかける、という意味ではありません。実際の面積に戻すときは、必ず1にあたる量を通します。

基本例題で確かめる

相似比が3:2の二つの三角形があります。小さい方の面積が12cm²のとき、大きい方の面積を求めなさい。

解き方は次の順に進みます。まず相似比3:2を確かめ、大きい方と小さい方の対応する辺の比が3:2であることを図の上で押さえます。次に面積比を作ります。3×3=9、2×2=4なので、面積比は9:4です。小さい方の面積12cm²が、面積比の4にあたる量になります。4にあたる量が12cm²なので、1にあたる量は12÷4=3cm²です。大きい方は9にあたるので、3×9=27cm²になります。

図2のように、大きい三角形の底辺を3、小さい三角形の底辺を2として並べると、高さも同じ比で3と2になります。底辺だけを見ると1.5倍ですが、高さも1.5倍になっているので、面積は1.5×1.5=2.25倍です。12×2.25を計算しても27になり、面積比から求めた値と一致します。底辺の比だけを面積の倍率に使うと18になり、この18が誤答の正体です。

答えを問題の場面に戻して確かめます。大きい方の面積27cm²に面積比の4/9をかけると、27×4÷9=12cm²で、問題文の小さい方の面積に戻ります。面積比の向きを逆にしていれば、ここで12にならず、間違いに気づけます。検算は答えの数字を問題文の条件に戻す作業なので、式を解き直すのとは別の確認になります。

式を一行ずつ書くときは、何を求めた行なのかを添えます。「面積比を出す」「1にあたる量を出す」「大きい方の面積を出す」の3行があれば、途中で何をしたかが後から読めます。1にあたる量を先に出す方法は、比の文章題で共通に使える進め方です。面積比9:4の9と4をそのまま面積と取り違えないように、4にあたる量が12cm²だと図に書き込みます。

標準と発展の例題

相似比が5:4の二つの三角形があります。大きい方の3辺は20cm、15cm、10cmで、小さい方の面積は48cm²です。小さい方の周の長さと、大きい方の面積を求めなさい。

周の長さは相似比と同じ一乗の比で進みます。大きい方の周は20+15+10=45cmです。周の比は相似比と同じ5:4なので、小さい方の周は45×4÷5=36cmになります。小さい方の3辺を確かめると、20×4/5=16cm、15×4/5=12cm、10×4/5=8cmで、16+12+8=36cmとなり、周の計算と合います。辺ごとに確かめることで、相似比を一つの辺だけに使った誤りを見つけられます。

面積は二乗の比で進みます。相似比5:4から面積比は25:16です。小さい方の面積48cm²が16にあたるので、1にあたる量は48÷16=3cm²です。大きい方の面積は3×25=75cm²になります。検算として、75×16÷25を計算すると48に戻ります。周の36cmと面積の75cm²は単位が違うので、答えを書くときに取り違えないよう、それぞれcmとcm²を付けます。

相似な二つの図形の面積の比が36:25で、周の長さの差が7cmです。それぞれの周の長さを求めなさい。

面積比から相似比を戻すところが最初の関門です。36は6×6、25は5×5なので、相似比は6:5です。面積比の順序と相似比の順序をそろえるので、面積が大きい方が相似比の6にあたります。周の比も6:5になります。二つの周の差は6-5=1にあたり、これが7cmなので、1にあたる量は7cmです。したがって大きい方の周は6×7=42cm、小さい方の周は5×7=35cmです。検算すると42-35=7cmで、42:35を簡単にすると6:5になり、条件に戻ります。

別の進め方も紹介します。面積比36:25を、対応する辺の比の組を表にして探す方法です。縦に面積比の項を、横に相似比の候補を並べ、二乗して一致する組に印を付けます。36には6、25には5が対応するので、相似比6:5が決まります。面積比の二つの項が、それぞれ同じ数を2回かけた形になっているかを、九九の段と照らし合わせる手順を繰り返すと、暗算の取り違えが減ります。

条件によって考え方が分かれる所も押さえます。周の長さが与えられていれば、相似比をそのまま使って比例配分で進みます。面積が与えられていれば、相似比の二乗を作るか、面積比から相似比を戻すか、どちらかの向きに進みます。どちらの条件が与えられているかを見分けることが、式を選ぶ前の判断になります。

第二の例題で、面積比の項の差を使う別解を確かめます。大きい方と小さい方の面積の比は25:16で、小さい方の面積は48cm²でした。項の差は25-16=9です。1にあたる量は48÷16=3cm²なので、面積の差は9×3=27cm²です。大きい方の面積は48+27=75cm²となり、25×3=75cm²と一致します。面積の差を問われたときは、この順で出すと二つの面積を別々に計算する手間が省けます。

第三の例題では、答えの向きを確かめる作業を入れます。求めた周の42cmと35cmを、面積比の36:25に戻そうとしてはいけません。周は一乗の比なので、42:35を簡単にすると6:5になり、これを二乗した36:25が面積比です。長さの比を二乗して面積比にする向きと、面積比の項を二乗の形に分解して相似比にする向きの、二つの向きを混ぜないことが大切です。

発展として、相似でない拡大も比べます。縦5cm、横4cmの長方形の縦を2倍、横を3倍にすると、10cmと12cmの長方形になり、面積は20cm²から120cm²へ6倍になります。形が変わっているので相似比は使えず、2×3=6という二つの倍率の積で面積の倍率が出ます。相似な拡大では二つの倍率が同じなので、その同じ数を2回かけた値が面積比になる、とまとめられます。

よくある誤答と直し方

一つ目の誤答は、相似比をそのまま面積比にすることです。相似比3:2、小さい方の面積12cm²の問題で、大きい方を18cm²と答える型です。12に1.5を1回かけた数で、縦か横の一方向だけを数えています。直し方は、面積比の行を必ず作ることです。3×3=9、2×2=4で面積比9:4、12÷4×9=27cm²。面積比を作る行を省かなければ、この誤りは起きません。

二つ目の誤答は、面積比と相似比を逆向きに読むことです。面積比9:4を見て、相似比を9:4と答える型です。9と4はそれぞれ3と2の二乗なので、相似比は3:2です。直し方は、面積比の二つの項を、同じ数を2回かけた形に分解することです。9=3×3、4=2×2と書き換える手順を毎回入れます。

三つ目の誤答は、図の見た目で判断することです。大きい三角形が小さい三角形の2倍くらいに見えるので、面積も2倍と答える型です。面積は長さの比ではなく、縦と横の二方向の積で決まります。直し方は、対応する辺の長さを図から読み取り、相似比を確定してから面積比を作る順序に戻ることです。見た目の倍率は長さの倍率であって、面積の倍率ではありません。

図3のように、相似比3:2の二つの長方形を並べると、縦も横も1.5倍です。小さい長方形が6cmと4cmで面積24cm²、大きい長方形が9cmと6cmで面積54cm²になります。24:54を簡単にすると4:9で、相似比3:2の二乗と一致します。縦の1.5倍と横の1.5倍を別々に矢印で追うと、面積が1.5×1.5=2.25倍になることが目で確かめられます。

四つ目の誤答は、周の長さの比まで二乗してしまうことです。相似比3:2の二つの図形で、周の長さの比を9:4と答える型です。周は長さを足したものなので、相似比と同じ3:2です。直し方は、面積比と周の比を一枚の表にまとめ、面積の行にだけ二乗の印を付けることです。長さ、周、面積の順に並べ、二乗が付くのは面積の行だけだと指で確認します。

条件が足りない場面も点検します。相似比だけが与えられて、どちらの面積も与えられていないときは、面積の値そのものは決まりません。決まるのは面積の比までです。「面積を求めなさい」と問われているのに比しか出せないと感じたら、問題文に面積の値が本当にないかを読み返します。相似比と一つの面積がそろって初めて、もう一方の面積が決まります。

図の縮尺と相似比を取り違える場面にも触れます。地図の縮尺は長さの比であって、地図の上の面積を実際の面積に直すときは縮尺を二乗します。縮尺が1/500の図面で、図の上の面積が4cm²なら、実際の面積は4×500×500=1000000cm²です。縮尺の数字を1回だけかけて4×500=2000cm²とすると、面積を長さの比で扱った誤りになります。縮尺の問題でも、面積に移る瞬間に二乗が入ります。

練習問題

1. 相似比が2:5の二つの三角形があります。小さい方の面積が8cm²のとき、大きい方の面積を求めなさい。

2. 相似比が4:3の二つの四角形があります。大きい方の面積が144cm²のとき、小さい方の面積を求めなさい。

3. 相似な二つの図形の面積の比が49:36です。相似比と、周の長さの比を求めなさい。

4. 相似比が5:3の二つの三角形があります。周の長さの差が8cmのとき、それぞれの周の長さと、面積の比を求めなさい。

5. 縦7cm、横2cmの長方形があります。(1) 縦を2倍、横を4倍にした長方形の面積は、もとの長方形の面積の何倍ですか。(2) もとの長方形と相似で、面積が36倍の長方形は、辺の長さがもとの何倍ですか。

練習問題の答えと解き方

1の答えは50cm²です。相似比2:5から面積比4:25を作ります。小さい方の8cm²が4にあたるので、1にあたる量は8÷4=2cm²です。大きい方は25にあたるので、2×25=50cm²になります。検算は50×4÷25=8cm²で、問題文の小さい方の面積に戻ります。

2の答えは81cm²です。相似比4:3から面積比16:9を作ります。大きい方の144cm²が16にあたるので、1にあたる量は144÷16=9cm²です。小さい方は9にあたるので、9×9=81cm²になります。検算は81×16÷9=144cm²で、大きい方の面積に戻ります。面積比の順序を4:3のまま使うと、小さい方の面積が大きくなってしまうので、16が大きい方、9が小さい方であることを確かめてから計算します。

3の答えは相似比7:6、周の長さの比7:6です。49=7×7、36=6×6なので、面積比の二つの項を二乗の形に分解すると相似比7:6が決まります。周の長さの比は相似比と同じ一乗の比なので、そのまま7:6です。面積比と周の比を並べて書くときは、二乗が付くのが面積だけであることを見直します。

4の答えは、大きい方の周が20cm、小さい方の周が12cm、面積の比が25:9です。周の長さの比は相似比と同じ5:3です。二つの周の差は5-3=2にあたり、これが8cmなので、1にあたる量は8÷2=4cmです。大きい方は5×4=20cm、小さい方は3×4=12cmになります。検算は20-12=8cmで、20:12を簡単にすると5:3です。面積の比は相似比を二乗して25:9になります。周の20cmと12cmに単位を付け、面積の比には単位を付けません。

5の答えは、(1)が8倍、(2)が6倍です。(1) もとの長方形の面積は7×2=14cm²です。縦を2倍にすると14cm、横を4倍にすると8cmになり、面積は14×8=112cm²です。112÷14=8なので8倍になります。縦の2倍と横の4倍をかけた2×4=8と同じ値です。この長方形は形が変わるので相似ではありません。(2) 相似な拡大では面積の倍率が辺の倍率の二乗になります。面積が36倍なので、6×6=36となる6倍が辺の倍率です。縦7cmは42cm、横2cmは12cmになり、面積は42×12=504cm²で、もとの14cm²の36倍になっています。

覚えておくこと

• 相似比a:bの図形では、面積比はa²:b²になる。
• 周の長さの比は相似比のままで、二乗しない。
• 縦と横の倍率が違うときは相似ではなく、面積の倍率は二つの倍率の積になる。
• 面積比から相似比を戻すときは、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100の二乗の組を探す。
• 答えは面積比の向きを戻して、問題文の面積に一致するか確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

相似比をそのまま面積比にする誤りは、計算の途中ではなく最初の一歩で起きます。ノートに「面積比」と書いた行の隣に、相似比の数字がそのまま残っていたら、その時点で手を止めます。図の上で縦と横を指でなぞり、それぞれが何倍になったかを言わせてから、二つの倍率をかけます。言葉で「縦も横も同じだけ伸びる」と言えれば、二乗の意味が入っています。

面積比から相似比へ戻す場面では、二乗の表を書かせます。1、4、9、16、25、36、49、64、81、100を並べ、面積比の二つの項がどこに出てくるかを探させます。49と36なら7と6、25と16なら5と4というように、項と根の対応を指で追えるかを見ます。ここで止まるお子さまは、面積比と相似比の向きだけでなく、二乗の計算そのものにつまずいていることがあります。

図の中に隠れた相似を読む問題では、等しい角に印を付けられているかを見ます。平行線の錯角、共通の角、折り返しで重なる角のどれに印が付いているかを確認し、印の付いた角をはさむ二辺の比を書かせます。印が一つも付いていないときは、相似を探す前に角の対応を探す段階に戻ります。式が立てられないのか、相似が見つからないのかで、声のかけ方が変わります。

答えの検算では、求めた面積に面積比の逆の向きをかけて、問題文の面積に戻るかを確かめます。戻らないときは、面積比の順序か、1にあたる量の割り算のどちらかが違っています。周の長さを答える問題では、求めた周の差と比を問題文と照合します。面積が2倍ではなく4倍になる理由を、マスの数で言い直せるかどうか。その一言が出れば、相似な図形の面積を自分で取りに行けます。