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中1数学 展開図と投影図—面や辺の対応から立体を組み立てて読み戻す｜武蔵野個別指導塾
底面を固定して面を折り上げ、離れた辺の両端が重なる位置を追うとともに、立面図と平面図の高さ・横幅・奥行きを照合します。
よくあるのは、展開図で離れた辺が組み立て後に重なることを見落とす場面です。紙の上で隣り合わない辺でも、面を折り上げれば同じ場所に来ます。反対に、紙の上で接している辺は折り目となり、切り離されていた辺どうしの組とは区別します。
立体を頭の中で一度に回そうとすると、どの面を動かしたか見失いがちです。まず動かさない面を決め、隣の面を順に立てます。辺の両端の点にも名前を付けると、どの点が合わさるかを言葉で追えます。投影図では視線の向きを決め、同じ立体を違う方向から見た形を対応させます。
問題に現れる3つの見方
1つ目は、展開図の切り口を合わせる問題です。底面を固定し、底面に接する面から折り上げます。最後に、まだ接していない辺が同じ長さで、両端がそれぞれ同じ頂点に来るかを確かめます。長さが同じでも、違う位置に来る辺を合わせてはいけません。
2つ目は、正面と真上からの図を組み合わせる問題です。正面からの図には横の広がりと高さが表れ、真上からの図には横の広がりと奥行きが表れます。共通する横の位置をそろえ、両方の条件に合う立体を考えます。一方の図だけでは奥行きや高さが決まらない場合もあります。
3つ目は、平面図形を直線のまわりに回して立体を考える問題です。回転の軸上にある点は動かず、軸から離れた点は円を描きます。どの辺が底面の円を作り、どの辺が側面を作るかを分けると、回転後の形を読み違えにくくなります。
面、辺、頂点を手掛かりにする
角柱は、平行でぴったり重なる2つの多角形を底面に持つ立体です。対応する頂点を結ぶ辺は平行で長さが等しく、側面は平行四辺形です。底面に垂直な側面の辺を持つ直角柱では、側面は長方形になります。角錐は1つの多角形の底面と、底面の辺をそれぞれ底辺とし共通の頂点に集まる三角形の側面からなります。
円柱は平行でぴったり重なる2つの円を底面に持ちます。底面に垂直な母線を持つ円柱の側面を切って広げると長方形です。円錐は円を底面とし、底面の円周上の点と底面の平面の外にある頂点を結んでできる側面を持ちます。頂点から底面の中心への線が底面に垂直な円錐の側面は、切り開くとおうぎ形になります。これらの面積や体積の計算には立ち入りません。
展開図は、立体の表面を切り開き、重ならないように平面へ広げた図です。折り目を共有する面はもとの立体でもその辺で接します。切り開いた辺は、元に戻すと別の切り口と重なります。図1のように、同じ頂点に集まる印を手掛かりにすると、離れていた辺の対応を追えます。
図1の中央の面を底面とし、上下左右の4面を立てます。左の面の上端と上の面の左端は、折る前には離れていますが、折ると同じ辺になります。残る右端の面はふたになり、底面と向かい合います。面の名前と辺の位置を一緒に追うと、辺の対応を途中で確かめられます。
見取図は立体の形を見えるように表す図で、奥行きのある辺を斜めに描くことがあります。紙の上の長さや角度を、そのまま実際の長さや角度と決めてはいけません。投影図は、立体を一定の方向から見た形を平面に表したものです。正面からの立面図と真上からの平面図を組み合わせ、見えない部分を破線で示すこともあります。ここでは向きと外形に注目します。
基本例題：立方体を折り上げる
図2のように同じ大きさの正方形6枚がつながっています。中央を底面にし、周囲を直角に折って立方体を作ります。AとBの辺は重なるでしょうか。また、底面と向かい合う面を記号で答えてください。
図2の中央のOを机に置いたまま、左のLと上のUを立てます。Lの上端Aは、底面の左上の頂点から上へ伸びる辺になります。Uの左端Bも、同じ底面の左上の頂点から上へ伸びます。2辺の長さは正方形の1辺で等しく、上端どうしも同じ高さの同じ位置に来ます。したがってAとBは重なります。
右のRを立てた後、その外側のTを内側へ折ると、Tは底面の上にふたをします。よって、Oと向かい合う面はTです。紙の上ではOとTの間にRがあるため、離れていること自体を根拠に向かい合うと決めるのではなく、Rを介して折る向きを確認します。
答えを元に戻して点検します。Oの上下左右に接する4面は側面となり、Tは底面に接しない上面となります。AとBはそれぞれ別の側面の切り口であり、組み立て後に底面の同じ頂点から上面の同じ頂点へ伸びるので、辺全体が重なります。紙の上で近い辺を機械的に結んだ答えとは、両端の行き先が違います。
標準例題：2方向の図から立体を選ぶ
机に置いた立体の立面図は横8 cm、縦5 cmの長方形、平面図は横8 cm、縦3 cmの長方形です。立体は、底面が机にある直方体か、底面が机にある円柱のどちらかです。2つの図に合うものを選び、縦、横、奥行きをそれぞれcmで答えてください。正面と真上の横方向は同じとします。
直方体なら、正面には横と高さが現れます。したがって横は8 cm、高さは5 cmです。真上には横と奥行きが現れるので、奥行きは3 cmです。円柱は底面が机にあると、真上から見た外形が円になります。与えられた長方形には合いません。答えは直方体で、高さ5 cm、横8 cm、奥行き3 cmです。
この直方体を正面から見ると、奥行きが見えず8 cmと5 cmの長方形です。真上から見ると高さが見えず8 cmと3 cmの長方形です。2方向に戻して条件を満たします。立面図が長方形という条件だけでは、底面を机に置いた円柱も候補になるため、平面図を捨てずに照合する必要があります。
ただし、投影図の外形だけから、候補を限定しないあらゆる立体が一意に決まるとは限りません。見えないくぼみなどがあっても、指定された方向の外形が同じになる場合があります。問題で与えられた候補や、見えない線の情報を合わせて判断します。
発展例題：回転と展開図をつなぐ
縦4 cm、横6 cmの長方形を、縦の1辺を軸として1回転させます。できる立体の名前、高さ、底面の半径を答えてください。さらに側面を軸に平行な1本の線で切って広げた長方形の2辺の長さを、cmを単位としてπを使って表してください。
軸となる縦の辺は回しても動きません。その反対の縦の辺は、軸から6 cm離れたまま円を描き、側面を作ります。横の辺はその両端で円を埋めるように動くため、2つの円が底面になります。できるのは高さ4 cm、底面の半径6 cmの円柱です。
側面の一方の辺は高さと同じ4 cmです。もう一方の辺は底面の円周と重なるので、円周を求めます。
直径 = 6・2
= 12
円周 = 12・π
= 12π側面の展開図は4 cmと12π cmの長方形です。4 cmと6 cmの長方形をそのまま側面とする誤りは、回転前の横の辺が円の半径になることと、広げた側面の端が円周に沿うことを混同しています。
逆に、4 cmと12π cmの長方形を、長さ4 cmの向かい合う辺どうしで丸めると、高さは4 cm、底面の円周は12π cmです。直径は12 cm、半径は6 cmに戻り、回転前の条件に合います。円柱の底面を含む展開図では、この側面の長方形に2つの円も付けます。
誤答をたどって直す
図3の展開図で、左の面の上端と上の面の右端を重なる辺と答えたとします。原因は、上の面の両端が、折った後に底面のどの頂点から伸びるかを見ず、どちらも上の方に見えると判断したことです。図3のように底面の左右の頂点を区別します。
左の面の上端は底面の左上の頂点から伸びます。上の面の右端は底面の右上の頂点から伸びるため、別の辺になります。左の面の上端に重なるのは上の面の左端です。図3で同じ印が付いた位置を折り上げて確かめてください。
別の失敗として、面を立てる前に、切り口の長さが等しいという理由だけで辺を組にすることがあります。立方体では辺の長さがどれも等しいので、それだけでは相手を決められません。底面に近い端の行き先と、反対側の端の行き先の両方が一致するかを調べます。
投影図でも、正面の横幅と真上の奥行きを対応させる誤りが起こります。正面と真上に共通するのは、向きをそろえたときの横の位置です。まず共通する方向を印で結び、残った高さと奥行きを別々に読むと、どこで取り違えたか見つけられます。
自分で確かめる5問
次の問題は、立体の向きと必要な条件を書き出してから取り組んでください。長さは指定された単位で答え、理由を問う問題は対応する面や方向を言葉にします。
- 同じ大きさの正方形が横に4枚並び、左から2枚目の上と下にそれぞれ1枚付いています。左から2枚目を底面とすると、その向かいの面は横一列の左から何枚目ですか。折り方も説明してください。
- 底面が机上にある直方体の立面図は横7 cm、高さ9 cmの長方形、平面図は横7 cm、奥行き2 cmの長方形です。直方体の高さ、横、奥行きをcmで答えてください。
- 底面が机上にある直方体と円柱のうち、立面図が長方形であるという条件だけでどちらか決められますか。決められない場合は、2つを見分けるために真上から見る外形を述べてください。
- 横3 cm、縦10 cmの長方形を縦の1辺のまわりに1回転させます。立体の名前、高さ、底面の半径、側面を広げた長方形の2辺の長さをcmで答えてください。円周にはπを使います。
- 正方形の底面を持つ角錐の展開図について、底面と側面の形、それぞれの枚数を答えてください。側面の三角形の底辺が、底面のどこに対応するかも説明してください。
5問の答えと考え方
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左から4枚目です。2枚目を底面にすると、1枚目と3枚目、上下に付いた2枚は底面の周囲の側面です。3枚目を立ててから4枚目を折ると、4枚目がふたになって底面に向かい合います。戻して見ると、底面に接する4面はすべて側面で、4枚目は底面と辺を共有しない上面です。
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高さ9 cm、横7 cm、奥行き2 cmです。正面の縦を高さ、真上の縦を奥行きと読み、両方に共通する横を7 cmとします。得られた直方体を正面から見ると7 cmと9 cm、真上から見ると7 cmと2 cmなので、両方の条件に戻ります。高さと奥行きを交換すると、それぞれの図の縦の長さに合いません。
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決められません。直方体も、底面を机に置いた円柱も、正面の外形は長方形になり得ます。真上から見ると、直方体は長方形、円柱は円です。どちらも机上に底面を置くという条件の下で、正面の形と真上の形を照らし合わせます。正面の外形だけで円柱を除外すると、与えられた条件に合う候補を落としてしまいます。
-
円柱で、高さ10 cm、底面の半径3 cmです。側面の長方形の2辺は10 cmと6π cmです。円周は次のように求めます。
直径 = 3・2
= 6
円周 = 6・π
= 6π側面を丸めると、高さは10 cm、円周は6π cmです。直径は6 cm、半径は3 cmとなり、回転の軸から反対側の辺までの距離に戻ります。回転前の横3 cmを側面の円周と扱うと、底面の半径が元の条件に戻りません。
- 底面は正方形1枚、側面は三角形4枚です。正方形の4辺に、三角形の底辺がそれぞれ対応します。折り上げると、4枚の三角形の底辺と反対側の頂点が1点に集まります。底面に戻して数えると正方形の4辺に1枚ずつ側面が付き、側面の数も4枚です。角柱のように、もう1枚の正方形を上に付ける形ではありません。
迷ったときの手掛かり
- 展開図では固定する面を選び、折り目と切り口を分けます。
- 重なる辺は、長さだけでなく両端の行き先を合わせます。
- 立面図と平面図では共通する横の方向をそろえます。
- 回転では軸からの距離と、動いた点の描く円を追います。
- 答えを折り戻す、または2方向から見直して条件を確かめます。
お子さまが面の名前は言えても辺の対応で迷う場合は、紙に底面の頂点を記し、隣の面を1枚ずつ折って、切り口の両端がどこに来るか話してもらいます。個別指導では、面を立てる順序を説明できるか、途中の折り目で向きを取り違えていないかを確かめます。紙で合わせられた後に図へ戻り、同じ判断を印と言葉で再現します。
投影図で迷う場合は、実物の箱を正面と真上から見て、共通する横の辺を指で示します。見えない奥行きや高さを、片方の図から無理に読み取っていないかも確かめます。折る前と折った後、見る方向を変える前と後を行き来すると、立体の対応が言葉になります。
読んで終わりにするか、ここから変えるか。
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