高校物理 万有引力と人工衛星—中心からの距離を使って速さとエネルギーを結ぶ｜武蔵野個別指導塾

天体の半径と高度から中心距離を定め、円軌道の速さと無限遠へ脱出する条件を式で比べます。

よくあるのは、人工衛星の高度をそのまま軌道半径として式に入れてしまう場面です。地表から測った長さと天体の中心から測った長さは、同じ図に書かれていても始点が違います。ノートに公式がそろっていても、どちらの距離を代入するかを決めなければ答えは出せません。まず中心を描き、半径と高度をつなぐところから始めましょう。

答案で問われる距離と運動

定期テストでは、まず天体の質量と中心からの距離を使って万有引力を表し、その力を円運動の中心向きの合力として速さや周期を求める型が出ます。高度が与えられたときは、天体の半径を足してから使います。衛星の質量が途中で消える理由も、運動方程式の両辺を見れば説明できます。

次に、異なる円軌道の周期や速さを比で比較する型があります。同じ中心天体のまわりなら、周期の2乗は軌道半径の3乗に比例します。比を取る前に同じ中心天体という条件を確認し、距離を高度の比に置き換えないことが必要です。楕円軌道についてはケプラーの法則の意味も問われます。

さらに、無限遠を基準にした位置エネルギーと運動エネルギーの和から、遠くまで到達できるかを判定する型があります。円軌道を保つ速さと脱出に必要な速さは異なります。どちらも同じ距離で考えられますが、立てる条件が違うため、問題文の「円」と「無限遠」を読み分けます。

中心から測ると式がつながる

質量 M の球対称な天体の外に質量 m の物体があり、中心間距離が r のとき、引力の大きさは G Mm/r² です。G は万有引力定数を表す正の記号です。力は互いを引き合い、衛星が受ける力は天体の中心へ向きます。球対称な天体の外では、その質量が中心に集まった場合と同じ式を使えます。ここでは天体の自転や他の天体の影響を無視します。

図1のように、天体の半径を R、地表から衛星までの高度を h とすれば、中心から衛星までの距離は r = R + h です。半径 R は天体の内部にも伸びる長さで、高度 h は地表から外へ測った長さです。図1の中心と地表に印をつけ、自分の式の r がどこからどこまでかを指でたどってみてください。

円軌道では、速度の向きはその位置の円の接線方向で、加速度は中心方向です。引力が中心向きの合力なので、速さを v として G Mm/r² = mv²/r と置きます。向心力という別の力を引力に付け足すのではありません。両辺を m/r で割ると v² = GM/r です。周期 T は一周の距離 2πr を速さで割って T = 2πr/v です。

ケプラーの第1法則は、惑星が太陽を一方の焦点とする楕円を描くという法則です。円は焦点が中心に重なる特別な場合です。第2法則は、太陽と惑星を結ぶ線分が等しい時間に等しい面積を掃くという法則です。楕円では太陽に近い側ほど速く動きます。第3法則は、同じ太陽のまわりでは周期の2乗が楕円の長半径の3乗に比例するという関係です。円では長半径が r です。異なる中心天体を比べる場合、この比例定数まで共通とは限りません。

無限遠で0と決めた位置エネルギーは U = -GMm/r です。有限の距離では負で、遠くへ離れるにつれて0に近づきます。引力に逆らって外へ運ぶにはエネルギーが必要だからです。力学的エネルギー E = mv²/2 − GMm/r は、引力以外の仕事を無視できる運動で一定です。0という値は基準の選び方に関わりますが、同じ基準で初めと終わりを比べれば仕事や速さの結論が得られます。

円軌道の関係から周期の式をもう少し確かめます。v² = GM/r と T = 2πr/v を組み合わせると、T² = 4π²r²/v² = 4π²r³/(GM) です。距離が大きくなると円周が長くなるうえに速さも小さくなるため、周期は一層長くなります。式の右辺の単位も時間の2乗になり、周期の2乗と対応します。楕円の場合は中心距離が運動中に変わるので、その瞬間の距離ではなく軌道の長半径を第3法則に使います。

円軌道の速さを一行ずつ出す

半径 R、質量 M の球対称な天体の地表から高度 R の円軌道を、質量 m の小さな衛星が回っています。他の力を無視し、天体の中心は静止しているとします。円軌道の速さ v、周期 T、衛星の力学的エネルギー E を G、M、R、m、πを使って求めてください。位置エネルギーは無限遠で0とし、答えは根号と分数を残します。

図2のように、地表から衛星までの R に、中心から地表までの R を足します。したがって軌道半径は r = 2R です。衛星に働く引力の向きは中心向きで、接線方向の速度と直角です。

円運動に必要な中心向きの合力は mv²/(2R) です。その合力を引力が担うので、次のように置きます。

G Mm/(2R)² = mv²/(2R)

左辺の分母を整理すると G Mm/(4R²) です。両辺に 2R/m を掛ければ、

v² = GM/(2R)

となります。速さは負にならないので、v = √(GM/(2R)) です。m が消えたのは、引力と加速度に対応する量の両方に同じ m が含まれるからです。衛星の質量がなくても力そのものが同じという意味ではありません。

一周の距離は 2π × 2R = 4πR です。したがって周期は、

T = 4πR/v = 4πR√(2R/(GM))

です。周期を求めるときも分子は高度ではなく軌道の円周です。v の式に戻して T に掛けると 4πR になり、衛星は一周期で円を一周します。

位置エネルギーは U = -GMm/(2R) です。一方、求めた v² を使うと運動エネルギーは、

K = mv²/2 = GMm/(4R)

です。よって E = K + U = -GMm/(4R) です。負の値は、無限遠で静止する状態を0とする基準では、そこへ行くためにエネルギーを加える必要があることを示します。得られた速さを引力と中心向きの合力に戻すと、どちらも GMm/(4R²) となります。距離を間違えていなければ、この確認で両辺が一致します。

円軌道からの脱出を考える

同じ条件の天体の中心から距離 4R の位置にある質量 m の小物体に、瞬間的に速さ u を与えます。その後は天体の引力以外を無視し、天体と衝突しない向きに動くものとします。無限遠を位置エネルギーの0とし、無限遠まで到達するための最小の速さと、同じ場所の円軌道の速さを G、M、R を用いて根号の形で求めてください。

無限遠では位置エネルギーが0です。最小の境界では無限遠で速さが0に近づくので、初めの力学的エネルギーも0になります。初めの距離が 4R であることから、

mu²/2 − GMm/(4R) = 0

u²/2 = GM/(4R)

u² = GM/(2R)

u = √(GM/(2R))

です。ここで0より小さいエネルギーなら、無限遠では運動エネルギーが負でなければ保存できないため到達できません。0より大きければ、天体と衝突しないという条件のもとで、無限遠でも正の運動エネルギーが残ります。境界の0は無限遠に近づく極限を指します。

一方、距離 4R の円軌道では引力と中心向きの合力を等しくして、v² = GM/(4R) です。円軌道の速さは √(GM/(4R))、脱出の境界はその √2 倍です。前の例題と脱出の数式に似た形が現れても、そこでは距離が 2R、ここでは距離が 4R です。数式の見た目だけで同じ位置の結果と判断しないでください。

分かれ目は、一定の半径で回り続ける条件を求めるのか、無限遠に到達するエネルギーの条件を求めるのかです。速さを円軌道の値から変えれば、一般には元の円軌道のままではありません。エネルギーが十分でも、進む向きによっては天体に衝突するため、衝突を避ける条件も確認します。

間違えた式を図に戻す

高度が R の円軌道に対して「r = R だから v² = GM/R」と書く誤答を考えます。この式は地表からの高度を中心からの距離として扱っています。図3のように R は中心から地表までにもあるので、衛星までの距離は 2R です。修正後は v² = GM/(2R) となり、同じ天体の地表近くより高い軌道で速さが小さくなる関係にも合います。

もう1つの誤りは、位置エネルギーを正の GMm/r と置くことです。無限遠を0とするなら、有限の位置では負です。外へ移すときに U が増え、0に近づくかを確かめます。また、円軌道の運動エネルギーは正でも、その2倍の大きさの負の位置エネルギーと足すので、全体は負になります。

周期の比で T が r に比例するとする答案も見直します。速さ自体が半径によって変わるので、円周の比だけでは周期の比を決められません。T² = 4π²r³/(GM) を書き、同じ M の場合に比例定数が共通になることを確認してから比を取ります。楕円なら r の代わりに長半径を用います。

自分で解く4問

いずれも中心天体は球対称で静止し、ほかの天体の影響と抵抗を無視します。天体の外では万有引力の式を使い、G は正の定数とします。答えは指定された形で表してください。

1. 半径 a、質量 M の天体の地表から高度 2a の円軌道を、質量 m の衛星が回ります。中心距離と速さを a、G、M を使って表し、速さは根号を残してください。
2. 同じ天体のまわりの2つの円軌道の半径が b と 4b です。外側の周期は内側の何倍ですか。正の整数で答えてください。
3. 中心距離 d の位置にある質量 m の物体を、天体と衝突しない向きに打ち出します。中心天体の質量を M とし、無限遠を位置エネルギーの0とします。無限遠に到達する最小の速さを G、M、d で表し、根号を残してください。
4. 計算用の条件として GM = 72 m³/s² とする天体の中心から 8 m の円軌道を、質量 2 kg の衛星が回ります。速さを整数の m/s、力学的エネルギーを整数の J で求めてください。天体の半径は 8 m より小さく、位置エネルギーは無限遠で0とします。

答えと途中の確認

1. 中心から地表までが a、地表から衛星までが 2a なので中心距離は 3a です。引力と円運動の合力から G Mm/(3a)² = mv²/(3a) となり、v² = GM/(3a) です。よって速さは √(GM/(3a)) です。これを合力に戻すと mv²/(3a) = GMm/(9a²) で、距離 3a における引力と一致します。

2. T² = 4π²r³/(GM) をそれぞれに使うと、周期の2乗の比は 4³ = 64 です。周期は正ですから外側は内側の 8 倍です。内側の8倍の時間で外側を一周すると、円周は4倍なので速さは内側の1/2になります。これは v² が半径に反比例する結果とも合います。

3. 無限遠で速さが0に近づく境界でエネルギー保存を使います。mu²/2 − GMm/d = 0 より u² = 2GM/d、答えは √(2GM/d) です。戻して計算すると初めの運動エネルギー GMm/d と位置エネルギー -GMm/d の和は0です。これ未満では無限遠で必要な運動エネルギーが負になるため到達できません。

4. v² = GM/r = 72/8 = 9 m²/s² なので、速さは 3 m/s です。K = 2 × 3²/2 = 9 J、U = -72 × 2/8 = -18 J ですから E = -9 J です。向心加速度は 9/8 m/s²、必要な合力は 2 × 9/8 = 9/4 N です。引力も 72 × 2/8² = 9/4 N となり、元の円軌道の条件に戻して一致します。与えた GM は計算用の値で、実在の天体の測定値ではありません。

最後に残す式

中心距離は天体の半径と高度の和です。
円軌道では引力を中心向きの合力と置きます。
同じ中心天体では周期の2乗と長半径の3乗が比例します。
無限遠を0とした位置エネルギーは負です。
脱出の境界は無限遠で速さが0に近づく条件で決まります。

答案のどこを見直すか

答えの係数が合わないときは、最初の図に中心、地表、衛星を書き、距離の始点を確かめます。比の問題で指数が合わないときは、周期の式に入る速さも半径によって変わると説明できるか見ます。符号が合わないときは、無限遠から有限の位置へ移ると位置エネルギーが増えるのか減るのかを言葉にします。

個別指導で確かめるなら、完成した公式の暗唱より、本人が描いた矢印と式の各項がどの物体の何を表すかをたどります。途中式が正しくても、脱出の問題で衝突を避ける条件を見落としていないかを問い直せます。中心距離とエネルギーの基準を明示すれば、衛星の運動を同じ図から検討できます。