高校物理 単振り子—小さな振れの条件を押さえて長さと周期の関係を使う｜武蔵野個別指導塾

接線方向の力と最下点の速さをたどり、長さや質量を変えたときの周期を読む単振り子です。

よくあるのは、おもりを重くすれば振り子の周期も長くなると答える場面です。重いおもりには大きな重力が働きますが、同時に運動の変化のしにくさも増えます。どちらも質量に比例するため、小さく振れる単振り子の周期には質量が残りません。公式の文字を消す計算と、おもりに働く力の向きを結びつけて確かめましょう。

要点（結論から）

• 復元力は重力の接線成分で、最下点に向きます。
• 小振幅では a ≒ -(g/L)x、周期は T = 2π√(L/g) です。
• 小振幅の周期は質量によらず、長さの平方根に比例します。

何を比べる問題か

定期テストでは、まず糸の長さや重力加速度を変えたとき、周期が何倍になるかを問う型が出ます。周期は長さに比例するのではなく、その平方根に比例します。比を作るときは、変えない量を先に確認すると迷いにくくなります。

次に、斜めの位置で重力を糸の方向と軌道の接線方向に分け、つり合いの位置へ戻す力を求める型があります。張力は糸の方向なので、接線方向には成分を持ちません。重力のどちらの成分が接線に沿うかを図に描いて判断します。

もう1つは、振れの端から最下点までの高さの差を使い、最下点の速さを求める型です。周期には小振幅近似を使いますが、高さの差を用いるエネルギーの式は、小振幅に限らず糸が張って運動する範囲で成り立ちます。問題の条件に応じて式を選びます。

糸に沿う方向と軌道に沿う方向

軽く伸びない糸の一端を固定し、もう一端に大きさを無視できるおもりを付けます。支点からおもりの中心までの距離を長さ L、質量を m、重力加速度を g とします。空気抵抗や支点の摩擦はないものとします。おもりは鉛直面内を、支点を中心とする半径 L の円弧に沿って動きます。

図1のように、鉛直下向きから右側へ測った角を θ とします。糸が張っている間、張力は糸に沿って支点へ向き、重力 mg は鉛直下向きです。接線方向の正を右向きの振れが増す向きに取ると、重力の接線成分は -mg sinθ です。右へ振れたときこの力は左向きで、最下点へ戻す向きになります。左側では θ が負なので、同じ式は右向きの力を表します。

図1の接線方向は円弧に接する向きです。糸に垂直なので、張力を接線方向の運動方程式に足しません。また、向心力という別の力をおもりに描き加える必要はありません。糸の方向の合力が、円弧に沿う運動に必要な中心向きの加速度を与えます。

角をラジアンで表し、振れが十分小さいとき、sinθ は θ と近似できます。円弧に沿う最下点からの符号付き変位を x とすると、角の定義から x = Lθ です。したがって接線方向の力 F は、近似のもとで次のようになります。

F = -mg sinθ ≒ -mgθ = -(mg/L)x

質量で割れば接線方向の加速度は a ≒ -(g/L)x です。加速度が変位に比例して逆向きになる運動は単振動であり、その角振動数を ω とすると ω² = g/L です。1往復の時間、すなわち周期 T は次の式で表せます。

T = 2π√(L/g)

ここで質量 m は消えます。長さを4倍にすると周期は2倍、重力加速度を4倍にすると周期は半分です。振幅もこの近似式には現れませんが、振幅を大きくしても厳密に同じ周期という意味ではありません。この式を使えるかどうかは、振れが十分小さいという条件で判断します。大きな振れや減衰の厳密な周期はここでは扱いません。

周期の比較で先に固定するもの

周期は、右端から出発するなら右端へ同じ向きの運動を経て戻るまでの時間です。右端から左端までは半周期、右端から最下点までは4分の1周期です。最下点を2回通過する時間を読むときは、往路と復路で速度の向きが反対になることにも注意します。位置が同じというだけでは、運動の状態が一巡したとは限りません。

比の問題では、初めと後の L、g をそれぞれ書き出してから T₂/T₁ = √[(L₂/g₂)/(L₁/g₁)] とします。長さを測る場所は支点から球の中心までであり、糸の見えている部分の長さと常に同じとは限りません。単位の異なる長さが与えられた場合は、両方を m に直してから比を作ります。

同じ長さで異なる質量を比べるときも、糸の質量を無視できることや球の大きさを無視できることを確認します。実際の装置で摩擦などが効くと、ここで置いた条件とは異なります。問題文に与えられた理想化の範囲で結論を述べることが、公式の適用条件を明らかにする第一歩です。

基本例題：周期と最下点の速さ

長さ 1.0 m の軽く伸びない糸に、質量 0.20 kg の小球を付けます。鉛直面内で十分小さい角度だけ右へ引き、静かに放します。放した位置は最下点より 0.020 m 高いとします。空気抵抗と支点の摩擦を無視し、計算条件として g = 10 m/s² とします。周期を π と根号を残して秒で、最下点の速さを小数で m/s 単位で求めてください。

図2のように、位置エネルギーの基準を最下点に取ります。小球は放した瞬間に静止しているので、初めの運動エネルギーは0です。張力は運動の方向に垂直で仕事をせず、重力による位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存されます。

最初に周期を計算します。長さと重力加速度を式に代入すると、

T = 2π√(1.0/10) = 2π/√10 s

です。質量は周期の式にないため、0.20 kg を代入する場所はありません。放す位置の高さは速さを求めるために使い、周期の式には入れません。

次に最下点の速さを v とします。放した位置と最下点の力学的エネルギーを等しくすると、

0.20 × 10 × 0.020 = (1/2) × 0.20 × v²

0.040 = 0.10v²

v² = 0.40

v = √0.40 = 約 0.63 m/s

となります。最後の小数は小数第2位まで示しました。速さは負にならないので正の根を選びます。逆に v² = 0.40 をエネルギーの式へ戻すと、最下点の運動エネルギーは 0.040 J となり、初めの位置エネルギーと一致します。最下点では張力は mg + mv²/L で正なので、糸が張る条件も満たします。

高さと角度が与えられる場合には、幾何から高さの差を求められます。放す位置の角度を θ₀ とすると、支点から球までの鉛直方向の距離は L cosθ₀ です。最下点では L ですから、最下点からの高さは L − L cosθ₀ = L(1 − cosθ₀) です。cosθ₀ は鉛直方向への長さの割合です。糸の長さそのものを高さの差にしないよう、2つの位置を同じ支点から測ります。

速さの計算で高さの差が負になった場合は、基準と引く順序を見直します。静かに放した球が抵抗なく低い位置へ移るなら、減った位置エネルギーが運動エネルギーになります。逆向きに最下点から上がる場合も、同じエネルギーの式で速さが減ることを確認できます。

条件が変わるときの分かれ目

長さ 0.80 m の軽く伸びない糸に小球を付け、十分小さな角度から静かに放します。空気抵抗と支点の摩擦を無視し、g = 10 m/s² とします。別の場所で同じ振り子の長さを 1.8 m にし、重力加速度を 2.5 m/s² として、十分小さな角度から静かに放します。後の周期は前の周期の何倍でしょうか。比を分数で答えてください。

それぞれの周期を T₁、T₂ とすると、共通の 2π は比で消えます。長さと重力加速度の両方が変化するため、長さの比だけで判断しません。

T₂/T₁ = √[(1.8/2.5)/(0.80/10)]

= √(0.72/0.08) = √9 = 3

答えは3倍です。元の場面に戻すと、後の L/g は前の9倍であり、周期の二乗は9倍、周期は正なので3倍です。2つとも小振幅という条件があるため、この比較に周期の式を使えます。

もし後の振れが十分小さいと保証されなければ、上の式だけで周期の比を決められません。一方、放した高さと最下点の高さが与えられ、抵抗が無視できて糸が張っているなら、高さの差から最下点の速さを求めることはできます。周期と速さを同じ近似条件で一括して扱わず、それぞれの根拠を選びましょう。

誤答を力の向きから直す

「質量を2倍にすると重力も2倍だから、周期も2倍」とする答えを考えます。図3のように重力の接線成分は2倍になりますが、同じ変位での加速度は力を質量で割るので変わりません。長さ、重力加速度、小さな振れの条件をそろえれば周期は同じです。力が大きいという途中の観察は正しくても、それだけで周期の変化を結論できない点が原因です。

別の誤りは、重力の糸に沿う成分 mg cosθ をそのまま復元力とすることです。最下点では θ = 0 なので、この成分は mg ですが、接線方向の重力は0です。最下点で復元力が0になるかを確かめれば、成分の取り違えに気づけます。図3の比較でも、加速度に使うのは接線方向の力です。

さらに、長さを9倍にしたとき周期を9倍とする誤りもあります。T² が L に比例することを経由すれば、周期は3倍と判断できます。平方根を取った後の答えを二乗して、元の長さの比に戻るか確認してください。

手を動かして確かめる

次の問題ではいずれも糸は軽く伸びず、球は十分小さく、鉛直面内を動きます。空気抵抗と支点の摩擦を無視し、指定のない量は変わらないものとします。周期の問題では十分小さく振れるものとします。

1. 長さ 0.45 m の振り子の糸を 1.80 m に替えます。周期は元の何倍ですか。整数で答えてください。
2. 長さ 0.25 m、質量 0.30 kg の球を小さく振らせます。計算条件を g = 4.0 m/s² として、周期を π を残した秒で求めてください。
3. 長さ 2.0 m の振り子を最下点より 0.050 m 高い位置から静かに放します。計算条件を g = 5.0 m/s² として、最下点の速さを根号を残して m/s 単位で求めてください。糸は運動中張っているものとします。
4. 長さ L の振り子の球が鉛直下向きから右へ角 θ だけ振れています。接線方向の正を右への振れが増す向きとし、質量を M、重力加速度を g とします。接線方向の重力成分を符号付きで表し、θ が十分小さいときの加速度を弧に沿う変位 x で表してください。

答えと道筋

1. 周期の比は √(1.80/0.45) = √4 = 2 です。答えは2倍です。逆に周期比の二乗は4で、糸の長さの比 1.80/0.45 に戻ります。長くなると周期も長くなるという向きにも合います。

2. T = 2π√(0.25/4.0) = 2π√(1/16) = π/2 s です。得られた T/(2π) を二乗すると 1/16 s² で、条件の L/g = 0.25/4.0 s² に一致します。質量は計算に入らず、長さは支点から球の中心までの値です。

3. 最下点を位置エネルギーの基準にすると、質量を m、速さを v として m × 5.0 × 0.050 = (1/2)mv² です。質量を消し、v² = 2 × 5.0 × 0.050 = 1/2 より、v = √2/2 m/s です。この速さを戻すと、単位質量あたりの運動エネルギーは (1/2) × (1/2) = 0.25 J/kg で、初めの位置エネルギー 5.0 × 0.050 = 0.25 J/kg と一致します。最下点で張力は正です。

4. 接線方向の重力成分は -Mg sinθ です。右側では正方向と逆に働くため負号が付きます。小さい θ では sinθ ≒ θ、x = Lθ なので、加速度は a ≒ -gθ = -(g/L)x です。右側の正の x で加速度は負となり、最下点へ向きます。x = 0 に戻せば接線方向の加速度は0になり、図の力の向きとも整合します。

要点を残す

• 復元力は重力の接線成分で、最下点に向きます。
• 小振幅では a ≒ -(g/L)x、周期は T = 2π√(L/g) です。
• 小振幅の周期は質量によらず、長さの平方根に比例します。
• 最下点の速さは高さの差とエネルギー保存から求めます。

自分の答案を点検する

周期の比を間違えたら、最初に L/g の比と、その平方根を別々に書けているか見ます。質量を入れた式が残る場合は、接線方向の力を質量で割る行まで戻ると原因を探せます。速さの問題なら、基準の高さ、静かに放すという初速度、求めた速さを戻したエネルギーを順に照合します。

個別指導で確かめるときも、答えの数値だけでなく、球に描いた力、角度の位置、近似を使う条件を本人の答案上でたどります。周期の式を使えない条件と、エネルギーから速さを出せる条件を言葉で区別できれば、式を選ぶ根拠が残ります。振り子の一往復を、力と高さの両方から読める答案にしましょう。