高校数学A 確率の基本—同様に確からしい結果を決めて分母と分子をそろえる｜武蔵野個別指導塾

2個のさいころの和を順序つきの組に戻し、玉を取り出す場合にも分母と分子の単位をそろえる確率の基本を学びます。

よくあるのは、定期テスト前に2個のさいころの目の和を調べ、2から12までの値は11種類だから、それぞれの確率は11分の1だと考える場面です。和が同じでも、そこに至る目の組の数は異なります。まず何を1つの結果として数えるかを決め、その結果が同じ程度に起こるかを調べましょう。

確率を求めるときは、答えの分数から書き始めるより先に、試行の条件を読むことが大切です。さいころに区別があるか、玉を同時に取るのか順に取るのかによって、数える結果の表し方が変わります。このページでは有限個の結果を数える基本を扱い、複雑な条件のもとで確率を掛ける方法には立ち入りません。

どんな結果を数えるか

出方の1つは、1個のさいころを振り、偶数の目が出る確率を求める型です。目を1から6までの6個に分け、その中から条件に合う目を選びます。各目が同様に確からしいという条件があれば、条件に合う個数を全体の個数で割れます。

もう1つは、2個のさいころの和のように、複数の結果をまとめた値を調べる型です。和の種類を数えただけでは、各値が出る起こりやすさを判断できません。2個の目を区別して組にし、それぞれの和が何組からできるかを調べます。

さらに、袋から玉を選ぶ型もあります。同色の玉が複数ある場合、色だけを結果とすると、色ごとの玉の個数が違えば等確率とは限りません。各玉に区別のための番号を付けると、条件に合う玉を数えやすくなります。問題の設定が均等な選び方を保証しているかを確認してから使います。

標本空間と事象をそろえる

さいころを振る、袋から玉を取るなど、結果が偶然に決まる操作を試行といいます。起こりうる結果を、これ以上分けずに数える単位を根元事象と呼び、その全体を標本空間といいます。条件に合う根元事象を集めたものが事象です。標本空間をどう表すかは、問題の設定と数える目的に合わせて決めます。

例えば赤いさいころと青いさいころを1個ずつ振り、赤の目を先、青の目を後に書きます。(1, 2) は赤が1、青が2という結果です。(2, 1) は色ごとの目が違うので別の結果です。どちらも和は3ですが、同じ和にまとめる前は2つの根元事象として数えます。

図1のように、別々の組が同じ和に対応することがあります。両方のさいころの各目が同様に確からしく、一方の目が他方に影響しないなら、順序つきの36組は同様に確からしい結果です。各組を表の1ますに置けば、条件を満たすますの数と全体のますの数を比べられます。

同様に確からしい根元事象が全部で n 個あり、そのうち事象 A に含まれるものが a 個なら、確率は P(A) = a/n です。分母の n と分子の a は、同じ単位で数えます。分母を目の組で数えているのに分子を和の種類で数えると、同じもの同士の割合にはなりません。

なお、独立とは一方の結果が他方の確率に影響しない関係です。排反とは2つの事象が同時には起こらない関係で、別の意味です。例えば1個のさいころで「1の目」と「2の目」は排反ですが、片方が起きればもう片方は起きないので独立ではありません。袋から玉を取った後に戻すか戻さないかも、次の選択の条件を変えるので読み落とさないようにします。

結果を数える前に、起こらない結果を混ぜていないかも見ます。2個の通常のさいころなら (0, 5) は和が5でも目に0がないため、標本空間の外です。同じように、赤の目を先に書くと決めた後で、途中から青の目を先に書くと、同じ結果を重複して数えるおそれがあります。表す順を先に決めて最後まで守ります。

事象は1個の結果に限りません。和が5という事象には4組が含まれ、和が2という事象には1組が含まれます。どの結果も含まない事象の確率は0、標本空間の全結果を含む事象の確率は1です。数えた分子が分母より大きくなった場合は、重複や数える単位の違いを点検できます。

基本例題：和が5になる組

赤と青の区別できる2個のさいころを同時に1回振ります。それぞれの目は1から6まで同様に確からしく、一方の目は他方に影響しません。目の和が5になる確率を既約分数で求めてください。

まず赤の目は6通り、どの赤の目に対しても青の目は6通りです。赤、青の順に記した組を根元事象とすると、全体は次の個数です。

6 × 6 = 36通り

図2のように、和が5になる組を赤の目の小さい順に並べます。赤が1なら青は4、赤が2なら青は3というように、2つの目の合計が5となるように決めます。

(1, 4)、(2, 3)、(3, 2)、(4, 1) の4通りです。赤が5または6のときは、青の目が0以下になる必要があり、さいころの目として使えません。したがって、表の外にもう1組あるという心配はなく、条件に合う組は4通りです。

求める確率は、次のようになります。

4/36 = 1/9

答えは 1/9 です。4組を元の条件に戻すと、どの組も各目が1から6で、和が5です。また赤の目の候補1から6を順番に調べたので、漏れもありません。分母は36組、分子はその中の4組であり、どちらも同じ目の組を単位にしています。

和を先に求めて2から12までの11種類を並べる方法では、値の候補はわかります。しかし、候補が11種類あることと、それぞれが同様に確からしいことは別です。和が2になる組は (1, 1) の1組、和が5になる組は4組です。1種類ずつという数え方では、この違いが消えてしまいます。

少し難しい例題：同時に取る2個

袋に赤玉3個と白玉4個が入っています。各玉に区別のため番号を付け、7個から2個を同時に選びます。どの2個の組も同様に確からしいとします。取り出した2個が同じ色になる確率を既約分数で求めてください。

同時に取るため、取った順序は区別しません。全体は7個から2個を選ぶ組の数で、7 × 6 / 2 = 21通りです。7 × 6 とすると、同じ2個を選ぶ順序を2通りずつ数えるので2で割ります。

同じ色になるのは赤2個または白2個です。赤2個の組は 3 × 2 / 2 = 3通り、白2個の組は 4 × 3 / 2 = 6通りです。赤2個と白2個は同時には起こらないので、条件に合う組は 3 + 6 = 9通りです。よって確率は 9/21 = 3/7 です。

答えを場面に戻すと、赤玉3個から作る組は3通り、白玉4個から作る組は6通りです。異なる色の組は 3 × 4 = 12通りなので、9通りと合わせて21通りとなり、全体に戻ります。赤、白という色の組だけを「赤赤、赤白、白白」の3種類とする場合、それぞれの実際の玉の組数が異なるため、3種類が等確率だとはいえません。

もし同じ袋から1個ずつ順に、戻さずに2個を取る設定なら、番号を付けた玉の順序つきの結果は 7 × 6 = 42通りです。同じ色の結果は赤が 3 × 2 = 6通り、白が 4 × 3 = 12通りで、18/42 = 3/7 になります。同時に取る組をそれぞれ2つの順序に分けたので、比は変わりません。一方、1個目を戻してから取る設定では同じ玉を2回取る結果も可能になり、全体は49通りです。条件の違いを無視して同じ分母を使うことはできません。

誤答を結果に戻して直す

基本例題で「和は2から12まで11種類なので、和が5の確率は 1/11」と答える誤りを考えます。図3のように、和2には1組、和5には4組が対応します。和の値を結果の名前として使うこと自体はできますが、それらを等確率とみなして 1/11 とする根拠はありません。

修正するときは、赤と青の目の組を表のますに戻します。36組が等確率である理由を設定から確認し、和が5の4組を印で選びます。分母を36組に変えたら、分子も4組と数え直し、4/36 = 1/9 とします。誤った 1/11 を無理に約分し直すのではなく、どの結果を1個と数えたかまで戻ることが必要です。

逆に、同様に確からしいという条件がないさいころでは、36組を等確率と決められません。結果の種類と条件に合う組を列挙できても、それだけでは確率を個数の比で決められません。問題に書かれた情報を点検し、足りない条件を勝手に補わないことも確率の読み方です。

練習：問題を読んでから結果を決める

次の各問では、指定された結果が同様に確からしいとします。確率は既約分数で答えてください。

1. 1から8までの番号を1つずつ書いた8枚のカードから1枚を選びます。選んだ番号が3の倍数である確率を求めてください。各カードは同様に選ばれます。
2. 緑玉2個と黄玉3個の入った袋から1個を選びます。各玉は同様に選ばれます。緑玉を選ぶ確率を求めてください。
3. 区別できる2個の四面体のさいころを1回ずつ振ります。各さいころの目は1から4で同様に確からしく、互いの目は影響しません。目の和が6となる確率を求めてください。
4. 1から5までの番号を1つずつ書いた5枚の札から、2枚を同時に選びます。どの2枚の組も同様に確からしいとします。2枚の番号の和が偶数となる確率を求めてください。

答えと解き方

1. 全体は番号で区別した8枚です。3の倍数は3と6の2枚なので、確率は 2/8 = 1/4 です。3と6を元の1から8までの番号と照合すると、どちらも範囲内で3の倍数です。次の9は範囲外なので数えません。
2. 全体は5個、条件に合う緑玉は2個です。確率は 2/5 です。残りの黄玉3個と合わせると 2 + 3 = 5個となり、袋の中の個数に戻ります。緑と黄の2色という種類数を分母にして 1/2 とするのは、個々の玉が同様に選ばれる条件に合いません。
3. 先のさいころの目、後のさいころの目の順で表すと、全体は 4 × 4 = 16組です。和が6の組は (2, 4)、(3, 3)、(4, 2) の3組なので、確率は 3/16 です。各組の和は6で、先の目が1なら後は5となって使えません。先の目を1から4まで調べたため、条件に合う組を漏らしていません。
4. 全体は 5 × 4 / 2 = 10組です。和が偶数になるのは奇数同士か偶数同士です。奇数は1、3、5の3枚なので2枚を選ぶ組は3通り、偶数は2、4の2枚なので1通りです。確率は (3 + 1)/10 = 2/5 です。実際に (1, 3)、(1, 5)、(3, 5)、(2, 4) はいずれも元の札から異なる2枚を選び、和が偶数です。奇数と偶数を1枚ずつ選んだ残り6組の和は奇数なので、これで全体の10組に戻ります。

要点

同様に確からしい根元事象を決め、全体を数えます。 条件に合う結果を同じ単位で数え、全体の個数で割ります。 まとめた値の種類が等確率とは限らず、元の結果へ戻して調べます。

問題文が「少なくとも」や「ちょうど」と指定している場合は、その言葉が結果を選ぶ条件になります。例えば2個の目のうち少なくとも1個が1なら、両方が1の組も含めます。ちょうど1個が1なら、両方が1の組は含めません。まず具体的な組を1つずつ条件に当てはめ、境界となる結果を選ぶかどうかを判断します。

数え終わった後は、条件に合う結果と合わない結果を合わせると全体に戻るかを調べる方法もあります。合計が合ってもそれだけで重複と漏れがない証明にはなりませんが、ずれが見つかれば数え直す手がかりになります。結果を列挙するときは各結果が条件に合うことに加え、候補を順序よく調べたことも確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

分母が和の種類数になっていたら、1つの和に何組の目が対応するかを書き出してもらいます。分子と分母の単位が違っていたら、各数が表の何ますに当たるかを指で示してもらうと、数え直す場所が見つかります。答えが合っていても、同様に確からしい理由が設定のどこにあるかを説明できるか確認します。

個別指導で確かめる箇所は、玉を同時に選ぶ場合の2で割る操作です。同じ2個を逆順に選んでも同じ組になることを、番号を使って説明してもらいます。戻す場合と戻さない場合に何が変わるかも言葉にすると、別の問題で結果の集め方を選べます。確率の分数は、数えた結果と元の場面を結び直して意味を持ちます。