高校数学A 確率の加法定理—重なりを図で確かめて少なくとも一方の確率を求める｜武蔵野個別指導塾

さいころの偶数と3の倍数を例に、共通部分を一度引く理由と排反との違いをたどります。重なりを引いて扱うのが加法定理です。

よくあるのは、定期テスト前に確率の問題を解き、2つの条件に当てはまる結果をそれぞれ数えて足したところで、共通部分を二度数えていることに気づく場面です。例えば、さいころの出た目について「偶数または3の倍数」と言われたら、6は両方の条件に当てはまります。6を2回分にするのか、1回分にするのかで答えが変わります。結果を1つずつ確かめ、なぜ引き算が必要かを説明できるようにしましょう。

どの条件を合わせるのか

確率の加法定理が役立つ出方には、まず「AまたはB」の確率を求める型があります。ここでの「または」は、AとBの両方が起こる結果も含みます。一方だけに限るという意味ではありません。条件の文章を短くAとBに置き換え、両方に入る結果があるか調べます。

次に、2つの事象が同時に起こらない型があります。このときは重なりがないため、それぞれの確率をそのまま足せます。ただし、見た目が異なる条件でも同時に満たせる場合があります。最初から「足すだけ」と決めず、同じ結果が両方に入るかを確かめます。

もう1つは、少なくとも一方が起こる確率から、どちらも起こらない確率を求める型です。少なくとも一方と、どちらも起こらない場合は互いに重ならず、合わせると起こりうる結果全体になります。問題が求める範囲を線や図で示してから、必要な式を選ぶと迷いにくくなります。

和事象と積事象を結果で見る

試行で起こりうる結果の1つ1つを根元事象と呼び、その集まりを全事象と呼びます。ここで扱う有限の例では、それぞれの根元事象が同様に確からしいと確認できるとき、事象の確率は「その事象に含まれる結果の数 / 全結果の数」です。結果の数を数える前に、どの単位で結果を区別するかも決めます。例えば2個のさいころなら、区別した2個の目の組を1つの結果とします。

事象Aまたは事象Bが起こる事象を和事象といい、A∪Bと表します。事象Aと事象Bがともに起こる事象は積事象で、A∩Bと表します。記号の∪は「少なくとも一方」、∩は「両方」に対応します。図1のように、両方の円に属する部分も和事象に含めます。

図1の左の円全体をA、右の円全体をBと見ます。重なりを含めた2つの円の範囲がA∪Bであり、重なりがA∩Bです。四角の円の外は、AもBも起こらない結果を表します。円の面積を測って確率を決める図ではなく、結果がどの条件に属するかを整理する図です。

Aの確率とBの確率を足すと、Aだけの部分とBだけの部分は1回ずつ数えますが、積事象は2回数えます。和事象では各結果を1回ずつ数えればよいので、余分な1回分を引きます。一般の加法定理は次の式です。

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

P(A)はAが起こる確率を表します。式の右辺は確率を足して重なりを引く操作で、引くのは「どちらか片方の部分」ではなく「両方に入る部分」です。重なりが空ならP(A∩B) = 0となり、加法定理はP(A∪B) = P(A) + P(B)になります。

同時に起こらない2つの事象を排反といいます。排反なら積事象は空です。これに対し独立は、一方が起きたかどうかによって他方の確率が変わらない関係を指し、一般にP(A∩B) = P(A) × P(B)で表されます。排反と独立は別の性質です。どちらも確率が0でない排反な事象では、積事象の確率は0ですが、2つの確率の積は0ではありません。したがって、この場合は独立ではありません。

基本例題：1個のさいころの目

1から6までの目が同様に確からしく出るさいころを1回投げます。偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をBとします。偶数または3の倍数の目が出る確率を既約分数で求めてください。

全事象は1、2、3、4、5、6の6通りです。それぞれ同様に確からしいので、各目の確率は1/6です。Aの結果は2、4、6の3通り、Bの結果は3、6の2通りです。6は両方に入ります。

図2のように、2と4はAだけ、3はBだけ、6は共通部分に置きます。1と5はどちらにも入りません。結果の位置を1つずつ確かめると、求める目は2、3、4、6の4通りです。

式でも同じ結果を出します。分母を全事象の6通りにそろえ、それぞれの確率を書きます。

P(A) = 3/6 = 1/2

P(B) = 2/6 = 1/3

P(A∩B) = 1/6

AとBを足すと6を2回数えるため、1/6を引きます。加法定理に代入すると、途中式は次のようになります。

P(A∪B) = 1/2 + 1/3 − 1/6

= 3/6 + 2/6 − 1/6

= 4/6

= 2/3

答えは2/3です。元の場面に戻ると、6通りのうち条件を満たす目は4通りなので、2/3 × 6 = 4通りと一致します。確率だけを見て計算を終えるのではなく、6が1回だけ入ったことも確認します。

ここで「偶数または奇数」に条件を変えると、同じ目が偶数と奇数の両方になることはないので排反です。偶数3通りと奇数3通りを足して6通りとなり、和事象は全事象です。元の問題では6が共通にあるため、この足し方をそのまま使えません。

2枚を戻さずに取り出すとき

1から8までの番号を1つずつ書いた8枚のカードから、同時に2枚を取り出します。各2枚の組は同様に確からしいものとします。取り出した中に1がある事象をC、2がある事象をDとします。1または2の少なくとも一方を含む確率を既約分数で求めてください。

取り出した順序を区別しない2枚の組を根元事象とします。全体は8枚から2枚を選ぶので、8 × 7 / 2 = 28通りです。Cは1と残り7枚のうち1枚を組み合わせるため7通りです。Dも同様に7通りです。CとDの両方を満たす組は、1と2の組の1通りだけです。

したがって、共通部分を引いて次のように求めます。

P(C∪D) = 7/28 + 7/28 − 1/28

= 13/28

答えは13/28です。元のカードに戻して数えると、1を含む7組に、1を含まず2を含む6組を加えた13組です。28組中13組なので、式の結果と一致します。共通の1組を引く理由を、実際の組で説明できます。

別の確かめ方として、1も2も含まない組を考えます。残る6枚から2枚を選ぶ組は6 × 5 / 2 = 15通りです。求める組は28 − 15 = 13通りなので、やはり13/28です。どちらも含まない事象は、少なくとも一方を含む事象の余事象です。

もしカードを1枚取り出して戻してからもう1枚取り出すなら、同じ番号が2回出ることもあります。順序つきの結果は8 × 8 = 64通りとなり、元の28通りとは標本の作り方が変わります。その条件では1を少なくとも1回出す結果は15通り、2についても15通りで、両方出る結果は順序を区別して2通りです。確率は(15 + 15 − 2)/64 = 7/16です。戻さない元の問題にこの分母を使わないよう、取り出し方を最初に確認します。

順序つきで確かめることもできます。元の8枚から戻さずに2回取り出し、1回目と2回目を区別すると、全体は8 × 7 = 56通りです。1を含む順序つきの結果は、1が1回目に出る7通りと2回目に出る7通りで14通りです。2についても14通りで、両方を含むのは「1、2」と「2、1」の2通りです。よって(14 + 14 − 2)/56 = 26/56 = 13/28となります。

同時に取り出す組を2通りの順序で表したため、分子も分母も2倍になっています。順序を区別しない28通りの分母に対して、順序つきの14通りを分子に置いてはいけません。数える対象をそろえることが、加法定理の計算を確率につなぐ条件です。

誤答を図に戻して直す

基本例題で「偶数は3/6、3の倍数は2/6だから、答えは5/6」とする誤答を考えます。これはそれぞれの条件を数えるところまでは合っていますが、6を偶数として1回、3の倍数としてもう1回数えています。1回の試行で出た6は1つの結果なので、和事象では1回だけ数えます。

図3のように、足した5回分から重複した6の1回分を引くと4回分になります。全体6通りに対して4通りなので、4/6 = 2/3です。足し算で得た5/6という値が1以下でも、それだけでは正しいと判断できません。どの結果を何回数えたかまで戻すことが必要です。

反対に、重なりがない場合にも何かを引かなければならないと思い込むのは別の誤りです。排反なら共通部分は0なので、式に0を代入すれば足し算だけが残ります。また、共通部分を無条件にP(A) × P(B)とするのも危険です。積を使えるのは独立と確かめられる場合です。排反か、独立か、あるいはどちらでもないかは、条件から判断します。

練習：問題をまとめて解く

次の4問は、答えをそれぞれ既約分数で求めてください。どの結果を1つと数えるかを決め、重なりを記してから計算します。

1. 1から10までの番号を1つずつ書いた10枚の札から、1枚を同様に確からしく選びます。選んだ番号が4の倍数または5の倍数である確率を求めてください。
2. 赤3個、青2個、白1個の区別できる玉が入った袋から、1個を同様に確からしく取り出します。赤または青の玉である確率を求めてください。
3. 1から7までの番号を1つずつ書いた7枚のカードから、同時に2枚を同様に確からしく選びます。1を含むか、7を含むか、またはその両方を含む確率を求めてください。
4. 区別できる2枚の硬貨を同時に投げます。それぞれ表と裏は同様に確からしく、2枚の結果の組も同様に確からしいものとします。少なくとも1枚が表になる確率と、2枚とも裏になる確率を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 4の倍数は4、8の2通り、5の倍数は5、10の2通りです。1から10までに両方の倍数はありません。2つの事象は排反なので、(2 + 2)/10 = 2/5です。元の札で条件を満たす4、5、8、10を数えると4枚で、10 × 2/5 = 4枚と一致します。10は5の倍数ですが4の倍数ではない点にも注意します。

2. 赤と青を同時に取り出すことは、1個を取り出すこの試行ではありません。2つの事象は排反なので、3/6 + 2/6 = 5/6です。袋に戻って数えると、赤と青は合わせて5個、条件を満たさない白は1個です。5/6 × 6 = 5個となり、全6個とも照合できます。

3. 全体は7 × 6 / 2 = 21組です。1を含む組は6組、7を含む組も6組で、両方を含む組は1と7の1組です。したがって(6 + 6 − 1)/21 = 11/21です。元のカードでは、1を含む6組と、1を含まず7を含む5組が合わせて11組です。1も7も含まない組は5 × 4 / 2 = 10組なので、11 + 10 = 21組となります。

4. 2枚を区別して、表表、表裏、裏表、裏裏の4通りを考えます。少なくとも1枚が表なのは最初の3通りで3/4、2枚とも裏なのは残る1通りで1/4です。加法定理なら、1枚目が表となる2通りと2枚目が表となる2通りから、共通の表表1通りを引き、(2 + 2 − 1)/4 = 3/4です。元の4通りで表を含む組と含まない組を分けると、3 + 1 = 4通りです。

覚えておきたいこと

• 「または」は両方が起こる場合も含みます。
• A∪Bは少なくとも一方、A∩Bは両方です。
• P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)です。
• 排反なら共通部分の確率は0です。独立とは別に調べます。
• 数えた結果を元の条件に戻して、重なりと全体を確認します。

途中式のどこで止まったか

式を書けても、何を引くか説明できないときは、まず1つの結果がAとBのどちらに入るかを尋ねてみます。基本例題なら6を指し、偶数と3の倍数の両方に入る理由を言葉にしてから、2回数えたうち1回分を引く式に戻ります。記号だけを覚えるより、結果の所属を確かめるほうが誤りの場所を見つけやすくなります。

分母が合わないときは、順序を区別したか、取り出したものを戻したかを見直します。個別指導で確かめるなら、本人に全事象を1つ具体的に挙げてもらい、その数え方が分子にも使われているかを途中式と照らします。答えが出た後も、条件に合う結果と合わない結果を合わせて全体に戻るか、本人の言葉で説明できれば、重なりの扱いが定着しているかを確かめられます。