高校数学A 余事象—少なくとも一つの条件を反対側から数えて求める｜武蔵野個別指導塾

玉を戻さず選ぶ例で「少なくとも一つ」を「どれもない」に言い換え、数え落としを防ぐ余事象を学びます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が「少なくとも一つ」と書かれた問題を「一つだけ」と読んで式を作る場面です。赤い玉を3個選ぶ可能性があるとき、赤が1個の場合だけでは、2個や3個の場合が抜けます。反対に、赤が1個もない場合を数えれば、全体から引くことで求める範囲をまとめて取り出せます。どの結果を全体に入れるかを定め、言葉の反対側を丁寧に確かめていきます。

問われる条件を読み替える

余事象を使う問題には、まず「少なくとも1個が指定の種類」という型があります。指定の種類が1個、2個と増える場合を別々に数える方法もありますが、1個もない場合が簡単なら、全体からその場合を除く方が見通しよく進みます。何個までありうるかは、選ぶ個数と用意された個数の両方で決まります。

次に「すべてが指定の条件を満たす」型があります。その反対は「すべてが条件を満たさない」ではありません。「条件を満たさないものが少なくとも1個ある」です。たとえば、選んだ札がすべて丸印という条件を外れるのは、丸印以外の札が1枚でも混じる場合です。反対を作るときは、条件に合うものと合わないものが混じる場合も見落とさないようにします。

さらに、数えた確率から元の条件に戻す問題もあります。「どれもない確率」が与えられたら、それ以外の確率を1から引きます。ここで扱うのは、全体と反対側の関係です。結果ごとの確率を独立として掛け合わせる計算は扱いません。

全体を二つに分ける言葉

ある試行で起こりうる結果の集まりを全体とし、条件Aを満たす結果の集まりを事象Aと呼びます。Aが起こらない結果を集めたものがAの余事象です。ある結果はAに入るか、Aの余事象に入るかのどちらかで、両方に入ることも、どちらにも入らないこともありません。この分け方から、P(A) + P(Aの余事象) = 1 です。

図1のように、横長の枠全体を起こりうる結果と考えます。左の部分が「少なくとも1個」、右の部分が「0個」です。1個、2個、3個という数え方を採用した場面では、左の3つをまとめた反対が右の0個になります。枠に入る結果はその場面で実際に可能なものに限ります。

図1の「0個」は「ちょうど1個」の反対ではありません。ちょうど1個の反対には、0個のほか、2個や3個も含まれます。反対の言葉を作った後、0個、1個、2個などを順番に当てはめて、元の条件と反対のどちらか一方に入るか確かめると安全です。

同様に、「すべて赤」の反対は「赤でないものが少なくとも1個」です。「すべて赤でない」はその一部にすぎません。また、「少なくとも2個」の反対は「2個未満」、つまり0個または1個です。境界の2個を両方に入れたり両方から外したりしないよう、等号を含む側を言葉で確認します。

確率を個数の比で求めるには、数える一つ一つの結果が同様に確からしいことが必要です。区別できる玉を順序を問わず選び、どの組も同様に確からしいとするなら、全組数を分母、条件に合う組数を分子にできます。色の並びだけを結果にすると、色ごとの玉の数によって起こりやすさが変わるので、色の種類数だけを分母にしてはいけません。

数える前に確かめること

同時に選ぶ問題であっても、取り出した順序を仮に記録して数えることはできます。ただし、その場合は全体も条件を満たす側も順序つきで数えます。3個の異なる玉の組にはそれぞれ同じ数の並び方があるため、両方を順序つきにすれば比は変わりません。片方だけに順序を付けると、同じ組を分子と分母で異なる回数だけ数えることになります。

余事象は「反対らしい言葉」を選ぶだけでなく、各結果の行き先を決めるためのものです。「少なくとも2個」の境界を確かめるとき、2個は元の条件に入ります。したがって反対側は2個より少ない場合であり、2個以下ではありません。選ぶ数が多く、0個から順に書き出すのが大変な場合も、境界の直前と境界そのものを試すと、抜けや重なりを発見しやすくなります。

確率が負になったり1を超えたりしたら、引いた数が全体より大きくなっていないかを調べます。ただし、0から1の範囲に収まるだけでは正しいとは限りません。ちょうど1個の確率も少なくとも1個の確率も通常はその範囲に入るので、最後に数値だけでなく言葉の条件へ戻って確かめます。

基本例題：色のない選び方を引く

袋に赤玉3個と白玉4個が入っています。各玉は区別でき、袋から3個を同時に選ぶどの組も同様に確からしいものとします。赤玉が少なくとも1個含まれる確率を既約分数で求めてください。

求める事象をAとします。赤玉が1個、2個、3個の場合をすべて含める必要があります。一方、Aの余事象は赤玉が0個、つまり3個とも白玉となることです。図2のように、全体の組から白玉だけの組を除けば、赤玉を含む組が残ります。

順序は問わないので、7個から3個を選ぶ全体の組数は次のようになります。

7C3 = 7 × 6 × 5 / (3 × 2 × 1) = 35

余事象では白玉4個から3個を選びます。白玉は区別できるので、残す白玉を1個決めることと対応し、その組数は4です。組合せの式でも次のように出ます。

4C3 = 4 × 3 × 2 / (3 × 2 × 1) = 4

したがって、余事象の確率と求める確率は順に次のとおりです。

P(Aの余事象) = 4 / 35

P(A) = 1 − 4 / 35 = 31 / 35

答えは31 / 35です。分母の35と分子の4は、どちらも区別できる玉の組を数えています。白という色を1種類と数えて分子を1にするのではなく、白玉のどれを選んだかまで区別している点が重要です。

元の条件に戻して確かめます。赤1個なら3C1 × 4C2 = 18組、赤2個なら3C2 × 4C1 = 12組、赤3個なら3C3 = 1組です。合計31組に白だけの4組を加えると35組となり、全体と一致します。赤2個や3個も答えに入っているので、「少なくとも」の読み落としもありません。

もし白玉が2個しかない設定で3個を選ぶなら、白だけの組は0組です。その場合、赤を含む確率は1です。逆に赤玉がなく白玉だけで選ぶ設定なら、赤を含む確率は0です。反対側が不可能な場合や必ず起こる場合も、1から引く関係で扱えます。ただし、選ぶ個数が用意された玉の総数を超える設定では、選択自体が成立せず、この方法の分母を作れません。

少し難しい例題：反対側にも複数の場合がある

番号1から8までが1個ずつ書かれた区別できる札から、3枚を同時に選びます。どの3枚の組も同様に確からしいものとします。偶数の札が少なくとも2枚含まれる確率を既約分数で求めてください。

偶数の札は2、4、6、8の4枚、奇数の札も4枚です。「少なくとも2枚」には偶数が2枚と3枚の場合が入ります。その反対は偶数が0枚または1枚です。0枚だけを引くと、偶数1枚の組が答えに紛れ込むため、境界を2枚に置いて分けます。

全体の組数は8C3 = 56です。偶数0枚の組数は、奇数4枚から3枚を選び、4C3 = 4です。偶数1枚の組数は、偶数4枚から1枚、奇数4枚から2枚を選び、4C1 × 4C2 = 4 × 6 = 24です。これらは同時には起こらないので、反対側は4 + 24 = 28組です。

求める確率は1 − 28 / 56 = 1 / 2です。直接数えると、偶数2枚は4C2 × 4C1 = 24組、偶数3枚は4C3 = 4組で、合計28組です。反対側の28組と合わせて56組となり、3枚の各組が元の場面に戻っています。

この例では直接数える方法も短く、余事象を使えば必ず計算が少なくなるわけではありません。条件の反対を正しく作ってから両側の数えやすさを比べます。たとえば「少なくとも1枚」に条件が変われば、反対は偶数0枚だけとなり、1枚の場合を引く必要はなくなります。

間違えた式から条件を直す

基本例題で「赤が少なくとも1個」を「赤がちょうど1個」と読み、18 / 35と答える間違いを考えます。18組という数自体は赤1個の場合に合っていますが、赤2個の12組と赤3個の1組を含んでいません。計算の途中だけを見ても誤りが隠れるため、何を数えた式かを横に書きます。

図3のように、赤の個数が1、2、3の領域をまとめたものが求める範囲です。0個の領域だけがその余事象です。18 / 35を1から引いても赤0個に限った確率にはならず、赤0個、2個、3個を合わせた確率になります。

直すには、まず赤0個の白玉3個を4組と数え、35組から引きます。または18組に12組と1組を足します。図3の各領域は重ならず、全部合わせて35組です。どちらの方法でも31 / 35に戻ることを確かめます。

もう一つの誤りは「3個とも赤」の反対を「3個とも白」とすることです。赤と白が混じる場合は、どちらにも入らなくなります。反対は「白が少なくとも1個」で、混ざる場合も白だけの場合も含めます。反対の範囲が元の条件と重ならず、合わせて全体になるかを点検してください。

手を動かす問題

どの問題も選ぶ対象は区別でき、同時に選ぶ各組は同様に確からしいものとします。確率は既約分数で答えてください。

1. 青いカード2枚と黄色いカード5枚から2枚を同時に選びます。青が少なくとも1枚含まれる確率を求めてください。
2. 印のある札3枚と印のない札3枚から3枚を同時に選びます。3枚すべてに印がある確率を、余事象を用いて求めてください。
3. 数字1から9までが1個ずつ書かれた札から2枚を同時に選びます。3の倍数が少なくとも1枚含まれる確率を求めてください。
4. 緑の石4個と白い石2個から3個を同時に選びます。緑が少なくとも2個含まれる確率を求めてください。

答えと確かめ方

1. 答えは11 / 21です。全体は7C2 = 21組です。青が0枚の組は黄色5枚から2枚を選ぶ5C2 = 10組なので、1 − 10 / 21 = 11 / 21です。青1枚は2 × 5 = 10組、青2枚は1組で、黄色だけの10組と合わせると21組に戻ります。

2. 答えは1 / 20です。全体は6C3 = 20組です。求める条件の反対は「印のない札が少なくとも1枚」で、印あり0枚、1枚、2枚の場合に分けられます。それぞれ1組、3C1 × 3C2 = 9組、3C2 × 3C1 = 9組なので、反対は19組です。よって1 − 19 / 20 = 1 / 20です。元の条件を直接数えると印のある3枚をすべて選ぶ1組で、反対の19組と合わせて20組です。

3. 答えは7 / 12です。3の倍数は3、6、9の3枚で、それ以外は6枚です。全体は9C2 = 36組、倍数がない組は6C2 = 15組ですから、1 − 15 / 36 = 21 / 36 = 7 / 12です。倍数1枚は3 × 6 = 18組、2枚は3C2 = 3組で、求める21組と一致します。

4. 答えは4 / 5です。全体は6C3 = 20組です。緑が2個未満なのは0個または1個ですが、白は2個しかないため緑0個の組は作れません。緑1個は4C1 × 2C2 = 4組なので、1 − 4 / 20 = 4 / 5です。直接数えると緑2個は4C2 × 2C1 = 12組、緑3個は4C3 = 4組です。残りの4組を合わせると20組で、実際の個数制限とも一致します。

要点を短く

少なくとも1個の反対は0個です。
すべてが条件を満たす反対は、満たさないものが少なくとも1個です。
元の事象と余事象の確率の和は1です。
組数の比を使うときは、同様に確からしい結果で分母と分子をそろえます。

どこで読み違えたかを見つける

答えが合わないときは、まず求める条件に0個、1個、2個を代入し、入る個数に印を付けてみます。境界が合っているのに計算が違うなら、数えた組に順序を付けていないか、分子と分母が同じ単位かを確認します。余事象に不可能な場合が含まれるときは、その組数を0として扱えるかも確認します。

個別指導で確かめるなら、本人に「なぜ白だけを引けば赤が残るのか」を図2の全体を指しながら説明してもらいます。続いて「少なくとも2個」なら何を引くかを尋ね、0個と1個の両方を挙げられるかを見ます。反対側を言葉と組数の両方で表せると、余事象を使う理由が式につながります。