高校数学A 独立試行—結果が影響しない条件を確かめて確率を掛け合わせる｜武蔵野個別指導塾

玉を戻す場合と戻さない場合の枝を比べ、確率を掛ける根拠から独立試行を捉えます。

よくあるのは、定期テスト前に玉を戻さず続けて取り出す問題を解き、2回目も最初と同じ割合を掛ける場面です。1回目に何を取ったかによって、袋に残る玉の数も色の内訳も変わります。計算に入る前に袋の中身を描き直すと、2回目の分母と分子を決められます。

一方、玉を戻してよく混ぜる操作なら、次に取り出す直前の内訳は元と同じです。ここでは2回の結果の関係を中心に、掛け算が成り立つ理由と、同じ確率を繰り返し使える条件を調べます。

問題文のどこに注目するか

出方の1つは、取り出した玉を戻してからもう一度取る設定です。たとえば赤、赤の順に取る確率なら、各回の赤の確率を読み取り、その順序の枝をたどります。戻す操作と、毎回どの玉も同様に確からしく選ばれることが、同じ割合を使う根拠です。

別の型は、玉を戻さない設定です。1回目の結果ごとに残りを調べ、次の枝の確率を書き換えます。掛け算自体が使えなくなるわけではありません。後の確率を、前の結果が起きた後の袋に合わせることが必要です。

さらに、2つの事象が独立か、同時には起こらない排反かを判断する型があります。名前だけで選ばず、同時に起こる結果があるか、片方が起きたときにもう片方の確率が変わるかを別々に調べます。いずれも、まず何を1回の結果として区別するかを決めると、式の意味を説明できます。

独立を枝の確率で見る

試行とは、条件の下で結果が決まる操作です。事象は、結果を条件でまとめたものです。2つの事象 A、B について、A が起きた後でも B の確率が変わらないとき、両者は独立です。両方が起こる確率を P(A かつ B) と書くと、独立であることは P(A かつ B) = P(A) × P(B) で表せます。

図1のように、戻す場合は1回目の色によらず2回目の袋の内訳が同じです。戻さない場合は取った色に応じて内訳が変わります。袋からは各玉が等しく選ばれ、戻した後は十分に混ぜるものとします。同じ色の玉を区別しても、色だけを見ても、確率の計算は一致します。

図1の戻す場合であっても、同じ1回の取り出しで「赤」と「赤以外」は同時に起こりません。この2事象は排反です。排反は同時に起こる結果がない関係であり、独立は片方の発生によってもう片方の確率が変わらない関係です。両方の確率が正の排反事象なら、同時に起こる確率は0ですが、確率の積は正なので独立ではありません。

操作が別々でも、結果を受けて次の操作の条件を変更すれば独立とは限りません。逆に、戻さないときに対象とする事象が独立になる特殊な場合もあります。「戻さないから必ずどんな事象も独立でない」と暗記せず、扱う事象について積の等式や枝の確率を調べます。

基本例題：戻して2回取り出す

袋に赤玉3個、白玉2個が入っています。どの玉も同様に確からしく選ばれます。1個取り出して色を記録し、袋に戻してよく混ぜてから、もう1個取り出します。1回目が赤で2回目が白となる確率を既約分数で求めてください。

最初の玉は全部で 3 + 2 = 5 個です。そのうち赤は3個なので、1回目が赤となる確率は 3/5 です。1回目に取った玉を戻すので、2回目の直前にも赤3個、白2個が入っています。したがって、1回目が赤だった場合も、2回目が白となる確率は 2/5 です。

図2のように、赤の枝を進んだ先で白の枝を選びます。枝の先に書いた確率は、その枝に来た時点で次の結果が出る割合です。戻して混ぜる条件により、2回目の白の確率は1回目の色に左右されません。

よって、求める確率は次のようになります。

1回目が赤となる確率 = 3/5

赤の後に白となる確率 = 2/5

赤、白の順となる確率 = 3/5 × 2/5 = 6/25

答えは 6/25 です。図2で逆の白、赤という順序もありえますが、問題が指定したのは赤、白です。順序を入れ替えた結果を勝手に加えないようにします。

別の見方で答えを袋の場面へ戻します。赤玉3個を区別して赤1、赤2、赤3、白玉2個を白1、白2と呼びます。戻して取るので、1回目と2回目の玉の組は 5 × 5 = 25 通りあり、各組は同様に確からしいです。赤、白の順の組は 3 × 2 = 6 通りなので、確率は 6/25 となり、枝の計算と一致します。同じ玉を2回取る組も全体には含まれる点が、戻す操作に対応します。

少し難しい例題：戻さない枝を合流させる

箱に青玉4個、黄玉3個が入っています。どの玉も同様に確からしく選ばれます。1個取り出して戻さず、続けてもう1個取り出します。2個の色が異なる確率を既約分数で求めてください。

色が異なる順序は、青、黄と黄、青の2通りです。この2つの順序は同時には起こらないので、それぞれの確率を足します。1回目に青を取ると、残りは青3個、黄3個で計6個です。黄を取る確率は、1回目の結果を反映して 3/6 です。

青、黄の順となる確率 = 4/7 × 3/6 = 12/42

1回目に黄を取った場合は、青4個、黄2個が残ります。次に青を取る確率は 4/6 です。

黄、青の順となる確率 = 3/7 × 4/6 = 12/42

2個の色が異なる確率 = 12/42 + 12/42 = 24/42 = 4/7

答えは 4/7 です。ここでは枝ごとに違う残り方を確認してから掛けています。2回目の分母が6なのは、箱に戻さず1個減ったからです。色が異なる場合を求めるため、該当する2つの順序を加えています。

玉を区別して確かめると、1回目は7通り、その後は残る6通りなので、順序付きの結果は 7 × 6 = 42 通りです。青、黄は 4 × 3 = 12 通り、黄、青は 3 × 4 = 12 通りです。合わせて24通りとなり、袋の条件と答えが一致します。同じ玉を2回取ることはできないので、全体を 7 × 7 としないことも確認できます。

条件を「毎回戻して混ぜる」に変えれば、2回目の分母は7のままです。そのとき色が異なる確率は 4/7 × 3/7 + 3/7 × 4/7 = 24/49 です。元の問題の 4/7 と同一にはなりません。操作の違いは、文章の細部ではなく、数える対象を変える条件です。

誤答を直す：2回目の袋を描き直す

基本例題と同じ赤3個、白2個の袋で、今度は赤を1個取り出した後に戻さず、次も赤を取る場面を考えます。誤って 3/5 × 3/5 = 9/25 とするのは、2回目にも赤3個、全体5個が残ると見ているためです。

図3のように、1回目に赤を取った後は赤2個、白2個で計4個です。次も赤となる割合は 2/4 ですから、赤、赤の順の確率は 3/5 × 2/4 = 3/10 です。最初の枝と次の枝で、それぞれ別の袋を見ていることを式の横に書けば修正できます。

図3の赤、赤について玉を区別すると、最初の赤は3通り、次の赤は残り2通りです。全体は 5 × 4 = 20 通りなので 6/20 = 3/10 となります。赤を2回取ることは可能ですが、1回目に赤を取れば次の赤の割合は 3/5 から 2/4 に変わるため、この2つの事象は独立ではありません。

もう1つの誤りは「赤、白」と「白、赤」を独立だから足せると説明することです。足せる理由は、1回目の色が異なり、2つの順序が同時には起こらないことです。掛けるときに確かめる関係と、足すときに確かめる重なりを取り違えないでください。

枝と全体を照合する手順

樹形図を書くときは、出発点から最後までの1本の道が何を表すかを決めます。たとえば2回取るなら、1段目に1回目の色、2段目に2回目の色を書きます。枝の途中で止まった「1回目が赤」と、最後まで進んだ「赤、白」は別の事象です。必要な道を選ぶ前に、問題が順序を指定しているかを読みます。

各分岐で次に起こりうる結果を漏れなく書くと、そこから伸びる枝の確率の和は1になります。基本例題では赤の後に赤が 3/5、白が 2/5 で、その和は1です。戻さない誤答の例でも、赤を取った後は赤が 2/4、白が 2/4 で和は1です。和が1にならなければ、残りの数え間違いや枝の書き漏れを疑えます。ただし、和が1でも色を取り違えている可能性はあるので、袋の中身との照合も必要です。

確率の積が意味するのは、順に条件を満たす道の割合です。独立でなくても、最初の事象の確率と、その事象が起きた後の次の確率を掛ければ、その道の確率を求められます。独立なら後者が最初の結果によらず元の確率に等しくなるため、元の確率どうしを掛けられます。数字が同じという偶然だけでなく、どの結果を受けても対象の確率が変わらないかまで確認します。

求めた確率が0以上1以下かを確かめることも計算の点検です。ただし、この範囲に収まっているだけでは正解とは限りません。たとえば戻さない赤、赤の誤答 9/25 も範囲内です。取り出せる玉の組を実際に数え、分母と分子が同じ単位の結果を数えているかまで戻って調べます。

結果の組を数える方法と枝の方法を比べると、戻す操作で同じ対象を再び選べることも見落としにくくなります。

練習問題

どの問題でも、各回に選べる対象は同様に確からしいものとします。確率は既約分数で答えてください。

1. 緑の札2枚と橙の札5枚が入った箱から1枚取り出し、色を記録して戻し、よく混ぜてもう1枚取り出します。緑、橙の順になる確率を求めてください。
2. 紫の石3個と茶の石5個が入った袋から1個ずつ2回、戻さず取り出します。紫、紫の順になる確率を求めてください。
3. 1から6までの目がそれぞれ同様に確からしく出るさいころを2回投げます。各回の結果は互いに影響しません。1回目が偶数、2回目が4以下となる確率を求めてください。
4. 黒い札4枚と白い札1枚から、1枚ずつ2回、戻さず取ります。1回目が黒である事象と2回目が白である事象が独立かどうかを、両方が起こる確率とそれぞれの確率の積を比べて答えてください。

答えと考え方

1. 緑は 2/7、戻した後の橙は 5/7 です。よって 2/7 × 5/7 = 10/49 です。札を区別した順序付きの結果は 7 × 7 = 49 通り、そのうち指定の順は 2 × 5 = 10 通りです。戻すので同じ札が再び出る結果も全体に含まれます。

2. 最初の紫は 3/8、紫を取った後に残る紫は2個、全体は7個です。したがって 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28 です。元の袋の石を区別すると、全体は 8 × 7 = 56 通り、紫、紫は 3 × 2 = 6 通りで、答えに戻ります。

3. 1回目の偶数は2、4、6の3通りなので 3/6 です。2回目の4以下は1、2、3、4の4通りなので 4/6 です。互いに影響しないから、求める確率は 3/6 × 4/6 = 1/3 です。順序付きの目は36通りあり、条件を満たす組は 3 × 4 = 12 通りなので 12/36 = 1/3 と確かめられます。

4. 両方が起こる確率は、黒の後に白を取るので 4/5 × 1/4 = 1/5 です。1回目が黒の確率は 4/5 です。2回目が白の確率は、白が2回目に現れる順序付きの結果が4通り、全体が 5 × 4 = 20 通りなので 4/20 = 1/5 です。積は 4/5 × 1/5 = 4/25 となり、1/5 と異なります。したがって独立ではありません。1回目が黒とわかった後は、白の割合が 1/5 から 1/4 に変わることも理由です。

要点

独立なら、片方の結果を知っても他方の確率は変わりません。 戻さない操作では、残りの内訳を枝ごとに調べます。 同時に起こらない順序の確率は足します。 排反と独立は別の関係です。

式のどこで迷ったかを見分ける

2回目の分母が変わらない答案では、最初の玉を取った直後の袋を描いて、残った個数を本人の言葉で説明してもらいます。分母は正しくても分子を変え忘れた場合は、取った色と残った色を分けて数え直します。反対に、戻す条件なのに分母を減らしていたら、戻した後の袋を確かめます。

個別指導で確かめる箇所は、各枝の確率を書いた直後です。どの時点の袋を数えたか、掛け算が表す順序は何か、足した枝が同時に起こりうるかを順に説明してもらいます。式の値だけでなく操作と対応させることで、条件が変わった問題にも判断を移せます。袋の中身を一手ずつ追えば、掛ける数の根拠が見えてきます。