数検3級 関数y=ax²の式—座標の代入から比例定数と対応する値を求める練習｜武蔵野個別指導塾

座標のxとyを同時に代入し、比例定数を決めます。負のxの二乗と負の係数を区別し、求めた式が元の点を通るか点検します。

よくあるのは、受検者が負のxを式に代入するとき、二乗した結果まで負のまま書いてしまう場面です。たとえばxが-2なら、二乗するのは符号を含む-2全体です。括弧を付ければ、同じ負の数を2回掛けることが見えます。この一手を、座標から式を決める問題と、決めた式から対応する値を求める問題の両方で使います。

座標から何を求めるのか

y=ax²は、xの値が決まると、それに対応するyの値が定まる関係を表します。aは比例定数で、問題ごとに決まる数です。xに同じ数を入れたとき、aが違えば一般にyも違います。まず与えられた情報からaを決め、その後に必要な値を求める順序を守ります。

出方の型を3つに分けて練習します。1つ目は、グラフ上の点の座標が与えられ、比例定数と式を求める型です。座標の前の数をx、後ろの数をyとして同じ式に代入します。2つ目は、式が与えられ、あるxに対応するyを求める型です。こちらはaを探す必要がなく、xの二乗にaを掛けます。3つ目は、式とyが与えられ、対応するxを求める型です。xの二乗の値から元の数を考えるので、正と負の両方が条件に合うかを調べます。

表や点を使うと、式と値の対応が見えます。ただし、ここではグラフを詳しく描くことや変域を求めることは扱いません。式を決めるために何を代入し、答えをどの情報に戻して確かめるかに集中します。

二乗してから比例定数を掛ける

点の座標は(x, y)の順です。点(-3, 18)なら、xが-3のときyが18という意味です。xとyを入れ替えると別の点の情報になってしまいます。座標を代入する前に、前の数にx、後ろの数にyと印を付けてもよいでしょう。

図1のように、xからyへ進む操作は2段階です。先にxを二乗し、その結果にaを掛けます。xが-3なら(-3)²は9です。負の数どうしの積は正なので、符号が負のまま残るわけではありません。対して、二乗の外にあるaが負なら、正の二乗に負の数を掛けるため、yは負になります。負の符号がどこについているかを分けて見ることが大切です。

図1の計算はaが2の場合です。-3と3は符号が違いますが、二乗するとどちらも9です。このため同じ式では、xが互いに正負の関係にある2つの値に、同じyが対応します。xが0のときは、どのaでもyは0です。

ここで注意したいのは、点(0, 0)だけからはaを決められないことです。0=a×0は、aが2でも-1でも成り立ちます。0で割ってaを求めることもできません。原点の情報を見たときは、別に原点以外の点が与えられているかを探します。点(0, 5)なら、y=ax²に代入すると5=0となるので、どのaでもその点を通りません。式を作り始める前に、与えられた条件が成り立つかを確かめることも必要です。

基本例題：点から式を決める

問題。関数y=ax²のグラフが点(-2, 12)を通ります。比例定数aと式を求め、さらにx=3に対応するyを求めなさい。答えは整数で書きなさい。

点の座標から、x=-2、y=12を同時に使います。順に書くと次のようになります。

1. y=ax²にx=-2、y=12を代入します。
2. 12=a×(-2)²となります。
3. (-2)²=4なので、12=4aです。
4. 両辺を4で割り、a=3です。
5. 求める式はy=3x²です。
6. x=3をこの式に入れ、y=3×3²とします。
7. 3²=9なので、y=27です。

図2のように、まず点からaを決め、そのaを使って別のxに対応する値を求めています。式を決める段階と、決めた式を使う段階を分けると、与えられた12を次の計算へ誤って持ち込むことを防げます。

答えを元の条件へ戻します。x=-2をy=3x²に入れると、y=3×4=12です。与えられた点のyと一致します。またx=3なら3×9=27で、求めた値も式に合います。2つの確認は役割が違います。前者は式の決定が正しいか、後者はその式で求めた値が正しいかを調べています。

比例定数を求めたあと、a=3をそのまま関数の式として終える間違いもあります。aを答える指示と式を答える指示は別です。式を求められたら、y=の形に戻し、x²が残っていることを見直します。

少し難しい例題：yからxを選ぶ

問題。関数y=ax²のグラフが点(4, -8)を通ります。この関数でy=-18となるxをすべて求めなさい。答えは整数で書きなさい。

まず点の座標を代入します。-8=a×4²、つまり-8=16aです。両辺を16で割るとa=-1/2となり、式はy=(-1/2)x²です。分数の係数も、xの二乗全体に掛かる数として扱います。

y=-18を代入すると、-18=(-1/2)x²です。両辺に-2を掛けて、x²=36となります。二乗して36になる数は6と-6ですから、x=6、-6です。問題にxが正という条件はないので、どちらも残します。

判断の分かれ目は、x²=36からxを取り出すところです。6²も(-6)²も36なので、正の6だけを答える理由はありません。一方、もし問題にx>0という条件が加われば、-6は式自体を満たしてもその条件を満たさず、答えは6になります。式を満たすことと、追加された条件を満たすことを別々に点検します。

元の点に戻すと、x=4のときy=(-1/2)×16=-8です。またx=6と-6のいずれでもx²=36なので、y=(-1/2)×36=-18となります。2つの答えは指定されたyに戻ります。式の符号が負であることも、正の二乗に負の係数を掛けて負のyが得られることと一致します。

負の数を入れた誤答を直す

問題。y=ax²のグラフが点(-3, 12)を通るとき、aを求めます。ある解答が「12=a×(-3)²=-9a、よってa=-4/3」としたとします。この答えでは、(-3)²を-9にしているところが誤りです。

図3のように、括弧の中の-3を2回掛けます。(-3)×(-3)=9なので、正しくは12=9aです。両辺を9で割ればa=4/3となります。xが負だからyも負になると考えるのではなく、xの二乗と係数の符号を順に調べます。

誤答を点に戻すと、a=-4/3ではx=-3のときy=(-4/3)×9=-12です。与えられた12と一致しないため、誤りが見つかります。正しいa=4/3ならy=(4/3)×9=12となり、元の点に戻ります。答えの符号だけを見て直すのではなく、どの計算で符号が変わったかまで追うと、次の問題でも修正できます。

もう1つの誤りは、座標を逆に入れることです。点(-3, 12)をx=12、y=-3として扱えば、別の条件を解いてしまいます。計算が途中から正しくても、出発点が違えば元の点には戻りません。代入前に座標の順を声に出して読み、代入後に式と点を照合します。

練習問題

次の4問は、それぞれ独立した関数を考えます。問題を先に解いてから、下の答えと見比べてください。分数は約分して書きます。

1. y=ax²のグラフが点(3, 15)を通ります。aと関数の式を求めなさい。答えは整数または分数で書きなさい。
2. y=-2x²のとき、x=-4に対応するyを求めなさい。答えは整数で書きなさい。
3. y=(1/4)x²のとき、y=9に対応するxをすべて求めなさい。答えは整数で書きなさい。
4. y=ax²のグラフが点(-5, -10)を通ります。この関数でx=2に対応するyを求めなさい。答えは整数または分数で書きなさい。

練習問題の答えと確かめ

1. 15=9aなのでa=5/3、式はy=(5/3)x²です。x=3を戻すとy=(5/3)×9=15となり、点の条件に合います。15を3で割るのではなく、3を二乗した9で割ることに注意します。aが分数でも、元の点では整数のyになることがあります。

2. y=-2×(-4)²=-2×16=-32です。-4の二乗は16で、その後に係数-2を掛けます。x=4でも二乗は16なので、同じ式に戻した値は-32です。係数の負の符号と、xの負の符号を一緒に消してはいけません。

3. 9=(1/4)x²からx²=36、したがってx=6、-6です。両方を戻すと、(1/4)×6²=9、(1/4)×(-6)²=9です。yが正だからxも正とは限りません。正負の2つの数が二乗後に同じ値になることを確認します。

4. -10=a×(-5)²=25aより、a=-2/5です。式はy=(-2/5)x²で、x=2のときy=(-2/5)×4=-8/5です。元の点についても(-2/5)×25=-10となります。求めたyについては、式にx=2を入れ直して-8/5と一致することを確かめます。

条件が合わない場合にも手順を止めて考えます。たとえばy=2x²でy=-8となるxを探す場合、x²は0以上なので、2x²も0以上です。負の-8にはならず、対応する実数のxはありません。機械的に平方根を付ける前に、二乗の値が負になっていないかを見ます。反対にy=0ならx²=0で、x=0です。正負を付けても0は同じ数なので、異なる2つの答えにはなりません。

表の空欄を埋めるときも、各列のxとyを同じ組として見ます。別々の列からxとyを拾うと、どちらも表にある数でも、対応する座標にはなりません。式を決めたら、使った列に戻して確かめ、残りの列はその式にそれぞれのxを代入して埋めます。表の中に原点以外の列が複数あれば、それぞれが同じaを与えるかも確認できます。違うaになれば、読み取りか計算、または与えられた表の条件を見直します。

表の対応をたしかめる

式y=2x²で、xが-1、0、1、2のときの値を順に調べます。二乗した値は1、0、1、4ですから、対応するyは2、0、2、8です。表にはxとyを上下にそろえて書き、(-1, 2)、(0, 0)、(1, 2)、(2, 8)という点として読めます。xが-1と1の場合はyが同じですが、点そのものはx座標が異なります。2つの点を1つと数えないようにします。

逆に、表から式を求める場合は、xとyの組を1列選びます。たとえばx=2、y=8の列なら8=4aですからa=2です。別の列x=-1、y=2にも戻すと、2=2×(-1)²となって一致します。原点の列はどのaでも成り立つため、式を決める列としては使えません。最初に原点以外を選び、残りの列を照合に使うと、読み違いを見つけやすくなります。

表の値が式と一致しなければ、すぐに係数を書き換える前に、同じ列の値を使ったか、負の数を括弧に入れたか、二乗の後に掛けたかを順に確認します。それでも一致しないときは、その表のすべての組を同じy=ax²で表すことはできません。条件を無理に合わせず、どの列で一致しないのかを示すと、判断の根拠が残ります。

同じ表に原点以外の列がない場合は、比例定数を1つに定める材料が足りません。たとえばx=0、y=0という組だけでは、aに異なる値を入れても同じ組になります。答えを無理に1つ選ぶのではなく、別の組が必要だと判断します。与えられた情報が十分かを先に見ることは、計算の前の大切な確認です。

覚えておくこと

• 座標は(x, y)の順に代入します。
• 負のxは括弧ごと二乗してからaを掛けます。
• 原点の情報だけではaを決められません。
• x²からxを求めるときは正負と追加条件を調べます。
• 答えを元の座標や指定された値に戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えを間違えたときは、最初に書いた代入式を見ます。座標の順序が逆なら、点をxとyに読み分ける練習が必要です。代入式が正しくても二乗の符号が違うなら、括弧を付けて同じ数を2回掛けるところを確かめます。

個別指導では、比例定数を決める場面と、決めた式から別の値を求める場面を分けて説明してもらいます。xを逆に求める問題では、2つの候補を元の式と追加条件へ戻せるかも見ます。座標の意味と計算の順序がつながると、答えの正しさを自分で点検できます。