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中1数学素因数分解と数の範囲—素数の積に分けて約数と四則の結果を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中1 単元の掘り下げ

合成数が残った分解を素数の積まで進め、掛け戻しで因数の抜けを調べます。約数の選び方と、自然数・整数での四則の結果も確かめます。

よくあるのは、数を掛け算に分けたところで、最後に残った合成数を見過ごして止める場面です。たとえば 42 を 2・21 と書ければ、元の数を2つの数の積に分けたことにはなります。しかし、21 は 3・7 とさらに分けられます。2・21 と 2・3・7 はどちらも 42 に戻る一方、素因数分解として完成しているのは後者です。

どこまで分けるかを決めるには、答えに並んだ数がそれぞれ素数かどうかを見る必要があります。逆に、素数だけが並んでいても、掛け戻した数が元と違えば計算の途中で別の誤りが生じています。ここでは終了条件と掛け戻しを対にして、約数や数の範囲の判断にもつなげます。

問題で求められる判断は何か

出方の1つ目は、1より大きい自然数を素数の積で表す問題です。割り算を繰り返す手順に加え、最後の商が素数かを判断します。分け方の順番は自由ですが、途中の積を保つことと、最後に素数以外を残さないことが条件です。

2つ目は、分解した結果を利用して約数を探す問題です。約数とは、ある整数を割り切る整数のことです。ここでは正の約数に限ります。素因数をいくつ使うかを整理すると、掛けて元の数を作る組を見落としにくくなります。単に素因数を並べることと、正の約数をすべて挙げることは別の作業です。

3つ目は、自然数や整数で四則の結果が同じ範囲に入るかを問う問題です。2つの数をどちらも自然数から選んでも、引いた結果や割った結果まで必ず自然数になるとは限りません。「いつも入る」という主張は1つの反例で崩れます。1例が入ったという確認と、どの場合も入るという説明を区別します。

素数と因数をどう見分けるか

自然数を 1、2、3、4、……とします。整数は自然数に 0 と負の整数を加えた数です。この約束では 0 は自然数に含めません。問題によって自然数の範囲が指定されていたら、その指定に従います。

1より大きい自然数のうち、正の約数が 1 とその数自身の2つである数を素数といいます。2、3、5、7 などが素数です。1は正の約数が 1 の1つしかないので素数ではありません。1より大きく素数ではない自然数を合成数といいます。たとえば 21 には 1 と 21 のほかに 3 と 7 も正の約数としてあります。

因数は、積を作るそれぞれの数です。42 = 2・3・7 では 2、3、7 が因数で、いずれも素数なので素因数と呼びます。1より大きい自然数を素因数の積に表すことが素因数分解です。中3で学ぶ文字を含む式の因数分解とは、扱う対象が違います。

図1のように、途中の 21 は積を保ちながら 3 と 7 に分けます。最終行にある 2、3、7 のそれぞれについて正の約数が2つと確かめて初めて、分解の終わりを判断できます。

同じ素数が繰り返されるときは累乗で短く表せます。たとえば 2・2・2 は 2³ です。右上の 3 は 2 を3個掛けるという意味で、2・3 ではありません。2³ は 8 です。小さな数字を書き忘れると素因数の個数が変わるので、戻して読むときは同じ数を何個並べるかを確認します。

分け始める数は1より大きい自然数です。1には素因数がないため、この手順で素数の積を並べる対象にはしません。0はどの整数を掛けても 0 になることがあり、この分解の対象から外します。負の整数は符号の扱いが加わるため、ここで分解する数には含めません。

基本例題を解く

問題　180 を素因数分解し、累乗を使って表してください。また、答えを掛け戻して元の数と一致することを確かめてください。

180 は偶数なので 2 で割れます。商の 90 も偶数です。その次の 45 は偶数ではありませんが、各位の数字の和が 4 + 5 = 9 で、3で割れます。以下のように、割った数と残った商の積が 180 になることを保ちます。

180 = 2・90
    = 2・2・45
    = 2・2・3・15
    = 2・2・3・3・5
    = 2²・3²・5

図2のように、最後の 15 も 3・5 に分けます。15 で止めた式も 180 に戻りますが、15 は 3 と 5 を正の約数に持つ合成数です。並んだ数が素数だけになっていないため、素因数分解の答えにはなりません。

最後に残る 2、3、5 はいずれも素数です。次に積へ戻します。累乗を先に普通の数へ直し、元の 180 と比べます。

2²・3²・5 = 4・9・5
             = 36・5
             = 180

答えは 2²・3²・5 です。素数が並ぶことと元の数へ戻ることの両方を満たしました。たとえば 2²・3・5 なら素数だけの積ですが、値は 60 です。素数を1個落とす誤りは、素数かどうかの確認だけでは見つかりません。

最初に 180 = 18・10 と分けてもかまいません。18 = 2・3・3、10 = 2・5 とそれぞれ分ければ同じ素数が同じ個数だけ現れます。順番を変えても積は変わらないため、並べ替えて指数をまとめられます。途中の分け方が友だちと違っていても、各行で積を保ち、最後の素数の個数を比べれば判断できます。

標準例題：約数の候補を整理する

問題　84 と 126 の両方を割り切る正の整数をすべて挙げ、その中で最大の数を整数で答えてください。

それぞれを素因数分解します。割り算の商を省かず、最後の因数が素数であることまで確かめます。

84 = 2・42
   = 2・2・21
   = 2・2・3・7
   = 2²・3・7

126 = 2・63
    = 2・3・21
    = 2・3・3・7
    = 2・3²・7

84 は 4・3・7 = 84、126 は 2・9・7 = 126 と掛け戻せます。両方に含まれる素因数は 2、3、7 です。ただし 84 に 3 は1個、126 に 2 は1個しかありません。共通の約数に使えるのはそれぞれ少ない方の個数までなので、2、3、7 を各0個か1個ずつ選びます。0個ならその因数は掛けません。何も選ばないときは 1 です。

候補は次の8個です。

1、2、3、7、2・3、2・7、3・7、2・3・7
= 1、2、3、7、6、14、21、42

小さい順に並べると 1、2、3、6、7、14、21、42 で、最大は 42 です。選び方は 2 の有無、3 の有無、7 の有無の組合せなので 2・2・2 = 8 通りあり、上の8個と対応します。どちらか一方にしかない余分な 2 や 3 を加えると、もう一方を割り切るための因数が足りません。

場面に戻して確かめると、84 = 42・2、126 = 42・3 です。どちらも 42 で割り切れます。さらに、挙げた各数は 42 の約数なので、42 の整数倍である両方を割り切ります。2² や 3² を共通部分に入れた場合は、片方にはその素因数が不足します。大きい指数を選ぶと最大になりそうに見えても、両方を割る条件に戻ることが必要です。

発展例題：同じ数を2回掛けた形を作る

問題　540 に正の整数を掛けて、ある正の整数を2回掛けた数にします。掛ける正の整数のうち最小の数を整数で求め、その結果も整数で答えてください。

先に 540 を分けます。商が合成数なら分解を続けます。

540 = 2・270
    = 2・2・135
    = 2・2・3・45
    = 2・2・3・3・15
    = 2・2・3・3・3・5
    = 2²・3³・5

2²・3³・5 = 4・27・5 = 540 と戻せます。同じ正の整数を2回掛けると、片方にある各素因数がもう片方にも同じ個数あるので、素因数はそれぞれ偶数個になります。540 では 2 が2個、3 が3個、5 が1個です。3 と 5 がそれぞれ1個ずつ足りません。

したがって掛ける数には 3 と 5 が少なくとも1個ずつ必要です。2はすでに偶数個なので、増やさなくても条件を満たせます。必要な因数を最小限にした数は次のとおりです。

3・5 = 15
540・15 = 2²・3⁴・5²
         = (2・3²・5)・(2・3²・5)
         = 90・90
         = 8100

答えは掛ける数が 15、結果が 8100 です。掛ける数を 3 だけにすると 5 が1個のままで、同じ数を2回掛けた形になりません。5 だけでも 3 が3個のままです。必要な 3 と 5 をともに含む正の整数は 15 の倍数であり、正の倍数の中で最小は 15 です。元の条件に戻しても 540・15 = 8100、90・90 = 8100 なので一致します。

「最小」を求めない条件に変えると、15 に加えて同じ数を2回掛けた数を掛けたものも使えます。たとえば 15・2・2 = 60 なら、540・60 = 32400 = 180・180 です。15以外も成り立つことと、最小が15であることを混同しないようにします。

誤答をたどって修正する

図3は 210 を分解するときの誤りです。210 = 2・3・35 とした途中式は正しく、掛け戻しても 210 になります。それでも 35 は 5・7 と分けられるため、この行で終わると素因数分解の条件を満たしません。

原因は「元の数に戻る」ことだけを終了の基準にした点です。修正するときは、すでに書いた 2 と 3 を消さず、35 の部分を 5・7 に置き換えます。

210 = 2・3・35
    = 2・3・5・7
    = 6・35
    = 210

最後の2行は掛け戻しの確認です。答えは 2・3・5・7 で、4つとも素数です。積が合うかという確認と、すべて素数かという確認を分けることで、途中式としては正しい誤答も見分けられます。

別の誤りとして、割った数だけを書いて最後の商を落とすこともあります。たとえば 210 を 2、3、5 の順に割ると商は 7 です。7はこれ以上分けない素数ですが、答えから消してよいという意味ではありません。2・3・5 = 30 では元の数に戻らないため、掛け戻しで不足に気づけます。

自然数と整数で四則を試す

ある範囲の2つの数を使った演算の結果が、どの場合もその範囲に入るとき、その範囲はその演算について閉じているといいます。表の「成り立つ」は、選び方によらず結果が範囲に入るという意味です。除法では 0 で割る操作は考えません。

範囲	加法	減法	乗法	除法
自然数	成り立つ	成り立たない	成り立つ	成り立たない
整数	成り立つ	成り立つ	成り立つ	成り立たない

自然数どうしの和は 1 以上で整数なので自然数です。積も 1 以上の整数です。一方、減法では 3 − 5 = -2、除法では 5 ÷ 2 = 5/2 とすれば、どちらも結果が自然数ではありません。5 − 3 = 2 や 6 ÷ 3 = 2 のように結果が自然数になる場合はありますが、それだけでは「いつも」とは言えません。

整数どうしの和、差、積はいずれも整数です。負の数と 0 を含めても、小数や分数の端数は生じません。除法は、たとえば 7 ÷ 2 = 7/2 が整数でないので閉じていません。割り切れるときには整数になり、割る数が 0 のときは結果を定められないという2つの条件も別々に見ます。

素因数分解で使う割り算は、割り切れる素数を選ぶので商が自然数に残ります。自然数どうしの除法が一般に閉じていないこととは矛盾しません。たとえば 35 ÷ 5 = 7 は割り切れますが、35 ÷ 2 = 35/2 は自然数になりません。操作を実行できることと、結果が指定された範囲に入ることを分けて考えます。

練習問題

次の5問は、まず問題をまとめて解き、後の解答で途中の判断を比べてください。素因数分解は累乗を用いて表し、約数は正の整数に限ります。

154 を素因数分解してください。素数になったことと、掛け戻した結果をそれぞれ確かめてください。
98 の正の約数をすべて小さい順に挙げてください。選び方の数も整数で答えてください。
72 と 120 の両方を割り切る正の整数のうち、最大の数を整数で求めてください。
294 に正の整数を掛けて、ある正の整数を2回掛けた数にします。掛ける数の最小値と結果を、それぞれ整数で答えてください。
自然数 8 と 11 を使い、8 − 11 と 11 ÷ 8 の結果が自然数か整数かをそれぞれ答えてください。さらに、自然数の減法と除法がそれぞれ閉じているかを理由とともに答えてください。

練習の答えと解き方

1　154 は偶数なので 2 で割り、残った 77 を 7 と 11 に分けます。

154 = 2・77
    = 2・7・11

2、7、11 はいずれも素数です。2・7・11 = 14・11 = 154 と元の数に戻ります。77 で止めると積は合いますが、7・11 に分けられる数が残ります。

2　まず 98 を分解します。

98 = 2・49
   = 2・7・7
   = 2・7²

2 は0個か1個、7 は0個、1個、2個を選べるので、選び方は 2・3 = 6 通りです。答えは 1、2、7、14、49、98 です。対応する相手は順に 98、49、14、7、2、1 で、どの組も積が 98 です。6個挙げたうえで選び方も6通りなので、抜けを確認できます。

3　両方を分解します。

72 = 2・36
   = 2・2・18
   = 2・2・2・9
   = 2³・3²

120 = 2・60
    = 2・2・30
    = 2・2・2・15
    = 2³・3・5

共通して使えるのは 2 が3個、3 が1個までです。最大の数は 2³・3 = 24 です。72 = 24・3、120 = 24・5 と戻せ、両方を割り切れます。5 を加えると 72 に足りず、3 をもう1個加えると 120 に足りません。

4　294 を分解します。

294 = 2・147
    = 2・3・49
    = 2・3・7・7
    = 2・3・7²

2 と 3 は1個ずつなので、同じ数を2回掛けた形にはそれぞれもう1個必要です。7 は2個あるのでそのままでよく、掛ける最小の正の整数は 2・3 = 6 です。

294・6 = 2²・3²・7²
        = 42・42
        = 1764

答えは 6 と 1764 です。2 と 3 の両方が必要なので、正の整数で 6 より小さい数では条件を満たせません。294・6 = 1764 と 42・42 = 1764 の両方で、問題の条件へ戻して確かめます。

5　それぞれ計算します。

8 - 11 = -3
11 ÷ 8 = 11/8

-3 は整数ですが、この約束での自然数ではありません。11/8 は整数でも自然数でもありません。8・(11/8) = 11 と掛け戻して、割り算の結果を確かめられます。どちらも自然数から選んだ2数による反例なので、自然数の減法と除法はそれぞれ閉じていません。

覚えておきたい点

素因数分解は、1より大きい自然数を素数の積に表します。
最後の商も含め、残った因数がすべて素数か確かめます。
素数だけの積を元の数に掛け戻し、抜けや計算違いを調べます。
共通の約数には、両方にある素因数を少ない方の個数まで使います。
四則が閉じるかは、結果がいつも指定の範囲に入るかで判断します。

つまずきの場所を見分ける

お子さまが答えを出したら、まず積に戻して元の数と合うかを尋ねます。合わなければ各割り算の商や、最後の商を書いたかを見ます。積が合うのに完成していなければ、残った因数を1つずつ取り出し、1と自分自身以外の正の約数がないかを確かめます。異なる誤りを同じ「計算ミス」にまとめないことで、直す場所がはっきりします。

個別指導で確認するなら、途中で合成数を残した式を見せ、その式が元の数に戻ることと、素因数分解として完成していることを別々に説明してもらいます。次に数の範囲を変え、同じ計算結果が自然数と整数のどちらに入るかを尋ねます。終了条件と結果の範囲を言葉にできれば、次に出会う数でも自分の判断を点検できます。