数検2級 分数式—約分できる因数と分母の条件を見分けて計算する｜武蔵野個別指導塾

和の一部を約分できない理由を押さえ、通分と割り算で除外する値を元の分母から確かめます。

よくあるのは、受検者が分数式の分子と分母に同じ文字を見つけ、和の一部だけを消してしまう場面です。たとえば (x + 2)/x を見て、上下の x を消して 2 と書くと、元の式とは違う値になります。x に 2 を入れると元の式は 2 ですが、この偶然の一致だけでは正しさを判定できません。別の値も試し、さらにどんな操作が認められるかを確かめましょう。

分数式で問われる判断

分数式は、分子や分母に文字を含む分数の形をした式です。計算では数の分数と同じ性質を使いますが、文字の値によって分母が0になる点に注意します。式の形が短くなっても、最初に計算できなかった値が自動的に使えるようになるわけではありません。

出方の型には、分子と分母を因数分解して約分する型、分母の異なる式を通分して足し引きする型、分数式を別の分数式で割る型があります。いずれも、答えの式と、その式が元の計算を表すための条件を一組にして考えます。足し算で分母をそろえる判断と、割り算で逆数を作る判断は別です。記号を見る前に、式が和なのか積なのかを見分けると、次の操作を選びやすくなります。

ここで扱うのは分数式の四則計算と条件です。方程式を解いて未知数を決めることは目的にしません。文字は、条件を満たす範囲で値をとるものとして考えます。

因数と項、分母の条件

項は足し算や引き算で区切られた部分、因数は掛け算を作る部分です。たとえば x + 2 は2つの項の和であり、x は和全体の因数ではありません。一方、x(x + 2) では x と x + 2 が因数です。分子と分母の両方に同じ0でない因数が掛かっているとき、その因数を約分できます。約分は上下を同じ数で割る操作だからです。

図1のように、和のままでは消さず、まず共通因数をくくり出します。分子が x² + 2x、分母が x の場合、分子を x(x + 2) と書き直してから約分します。答えは x + 2 ですが、元の分母が x なので x ≠ 0 が必要です。x = 0 で答えの式は計算できても、元の式は分母が0なので計算できません。

図1では、くくり出した x が分子全体と分母に掛かっています。これに対して (x + 2)/x には、分子全体に掛かる x がありません。試しに x = 1 を入れると元の式は 3 で、誤って消して得た 2 とは異なります。ひとつの反例があれば、その変形を一般に使うことはできません。

分母の条件は最初の式から拾います。分母が x − 3 なら x ≠ 3、分母が (x − 3)(x + 1) なら x ≠ 3 かつ x ≠ -1 です。分母の積が0になるのは、少なくとも一方の因数が0になるときです。約分した後に消えた因数も、元の式の条件として残します。

通分は、分数式の値を変えずに分母をそろえる操作です。たとえば 1/(x − 2) と 1/(x + 4) を足すなら、両方の分母の因数を含む (x − 2)(x + 4) を共通の分母に選びます。前者の上下には x + 4、後者の上下には x − 2 を掛けます。元の分母が0でない条件では、それぞれ掛ける因数も0ではありません。分母だけを掛けて分子を変えなければ値が変わるため、上下をセットで書くことが必要です。

分母に同じ因数が重なるときは、必要な回数を考えます。分母が (x − 2)² と x − 2 なら、共通分母として (x − 2)² を選べます。後者の上下には x − 2 を掛けますが、前者には何も掛けません。分母同士をそのまま掛けても計算はできますが、余分な因数が増え、最後に整理する手間が生じます。どちらを選んでも x ≠ 2 という元の条件を残します。

積の形が見えにくいときは、展開を急がず因数分解を試します。共通の文字をくくる、平方の差に注目する、2つの数の積と和から二次式を分ける、といった順に見ます。因数分解ができたかは、掛け戻して各項が元の式になるかで確認できます。符号を誤ったまま約分すると、その後の計算が整っていても元の式には戻りません。

基本例題：因数分解してから通分する

次の式を簡単にし、元の式が定義される x の条件も示しましょう。

(x² − 9)/(x² − x − 6) + 1/(x + 2)

まず分母を因数分解します。x² − x − 6 は (x − 3)(x + 2) です。もう一方の分母も x + 2 ですから、元の式の条件は x ≠ 3、x ≠ -2 です。計算を始める前に書いておけば、途中で因数が消えても条件を見失いません。

次に分子を因数分解します。x² − 9 は平方の差なので (x − 3)(x + 3) です。これらを元の式に戻すと、次のようになります。

(x − 3)(x + 3)/{(x − 3)(x + 2)} + 1/(x + 2)

条件により x − 3 は0ではありません。そこで最初の分数式の上下から x − 3 を約分します。

(x + 3)/(x + 2) + 1/(x + 2)

分母が同じになったので、分母をそのままにして分子を足します。

{(x + 3) + 1}/(x + 2)

分子を整理すると、答えは (x + 4)/(x + 2)、条件は x ≠ 3、x ≠ -2 です。図2のように、条件を先に控え、因数分解、約分、同じ分母の分子の加算と進めます。

図2の途中で x − 3 は式から消えますが、条件からは消えません。たとえば x = 0 なら、元の式は 3/2 + 1/2 で 2、答えの式も 4/2 で 2 です。また x = 3 では答えの形に数を入れられても、元の最初の分母は0ですから対象外です。値の一致を確かめるときも、先に元の式が定義される値を選びます。

約分を先にしなくても解けます。共通の分母を (x − 3)(x + 2) として、2つ目の分子を x − 3 に変えます。分子の和は (x² − 9) + (x − 3) で、因数分解すると (x − 3)(x + 4) です。条件のもとで x − 3 を約分すれば同じ答えになります。どちらの道でも、最初に除いた値は変わりません。

少し難しい例題：割る式が0になる場合

次の式を簡単にし、元の式が定義される x の条件を示しましょう。

{1/(x − 1) − 1/(x + 1)} ÷ {2/(x + 1)}

ここでは割る記号の右側も分数式です。分かれ目は、逆数にする前に右側が0でないか調べることです。元の分母から x ≠ 1、x ≠ -1 です。この条件のもとで 2/(x + 1) の分子は0でない定数なので、割る式は0になりません。追加の除外値はありません。

左側を通分すると、分母は (x − 1)(x + 1)、分子は (x + 1) − (x − 1) です。引く側を括弧で囲むと、負号が両方の項にかかることを確認できます。分子は 2 なので、左側は 2/{(x − 1)(x + 1)} です。

右側で割る操作を、その逆数を掛ける操作に直します。すると 2/{(x − 1)(x + 1)} × (x + 1)/2 です。上下の 2 と x + 1 を約分して、答えは 1/(x − 1) です。条件は x ≠ 1、x ≠ -1 のままです。

x = 2 で元の式を確かめると、左側は 1 − 1/3 = 2/3、割る式は 2/3 です。商は 1 で、答えの式も 1 になります。x = -1 は短くした答えに代入できても、元の分母が0になるため使えません。

別の場合として、割る式が (x − 4)/(x + 1) なら、元の分母による x ≠ -1 に加え、割る式を0にする x = 4 も除きます。分子が0でないかの確認は、分母の確認とは独立した手順です。逆数を作った結果の分母から気づくこともありますが、元の割り算が成立する条件として先に書くと理由が明確です。

割り算の前に左側を通分する方法を選んだのは、差の分子が定数になって見通しがよくなるためです。先に逆数を掛けてから分配しても計算できますが、2つの項でそれぞれ約分と引き算を行う必要があります。計算の道筋は複数あっても、出発点の条件は同じです。別の方法を使ったときに条件が違えば、元の分母か割る式の確認をやり直します。

割る式が0になる場合は、分子が0でも分母が0なら、その値ですでに分数式自体が定義されません。分子と分母に共通因数があって見た目には消せても、その値を割り算に戻すことはできません。まず元の分母を調べ、残った値の中で割る式が0になるものを探すと、理由を混同せずに整理できます。

誤答を因数に戻して直す

(x + 2)/x で、分子の x と分母の x を消して 2 とするのは誤りです。分子の x は足し算の一部分で、分子全体に掛かる因数ではありません。図3のように、和と積を区別して、約分できる形かどうかを先に見ます。

図3の修正では、分子の各項を同じ分母で割り、x/x + 2/x とします。x ≠ 0 のもとで x/x は 1 ですから、正しくは 1 + 2/x です。x = 1 なら修正後も 3 となり、元の式と合います。ここでは x を分子全体から約分したのではなく、分数の和に分けて一方の項を約分しています。

引き算では、通分後の分子の括弧を落とす間違いもあります。A/B − C/D を共通分母 BD で表すと (AD − BC)/(BD) です。C が和なら、引く式全体に負号を配ります。書いた分子を展開し直して元の各項に戻るかを見ると、符号の取り違えを発見できます。

もう一つの誤りは、分母同士も足してしまうことです。たとえば 1/a + 1/a は 2/a であり、2/(2a) ではありません。ただし a ≠ 0 です。各分数は同じ大きさに分けたものを1つずつ表すので、2つ集めても分割の大きさを表す分母は変わりません。a = 4 なら左辺は 1/2 ですが、誤った式 2/(2a) の値は 1/4 です。具体的な値による確認は、誤りを見つける助けになります。

確認の値が1つ一致しただけでは、変形が常に正しいとは言えません。導入で見たように、誤った式でも特定の値で一致することがあります。因数分解、通分、約分のそれぞれが条件のもとで成り立つことを説明し、代入はその説明の補助として使います。

練習問題

いずれも式を簡単にし、元の式が定義される x の条件を示しましょう。答えは分数式または整式で表します。

1. (x² − 16)/(x² + 5x + 4)
2. 2/(x − 2) − 1/(x + 3)
3. {(x² − 1)/(x + 2)} ÷ {(x − 1)/(x + 2)}
4. (x + 5)/x + 3/x

問題を解いたら、条件を元の分母と割る式に戻して照合します。各答えについて、条件を満たす値を1つ選び、元の計算と結果の両方に代入して確かめます。除外された値についても、元のどこで計算が止まるかを言葉にしましょう。

練習問題の答えと確かめ

1. 分子は (x − 4)(x + 4)、分母は (x + 1)(x + 4) です。共通因数を約分すると (x − 4)/(x + 1) です。元の分母から x ≠ -1、x ≠ -4 です。x = 0 では元の式は -16/4 = -4、答えも -4 です。x = -4 は約分後に代入できても、元の分母が0になります。

2. 共通分母は (x − 2)(x + 3) です。分子は 2(x + 3) − (x − 2) なので、整理して x + 8 です。答えは (x + 8)/{(x − 2)(x + 3)}、条件は x ≠ 2、x ≠ -3 です。x = 0 では元の式は -1 − 1/3 = -4/3、答えも 8/(-6) = -4/3 です。引く側の -2 まで符号を変えることが要点です。

3. 元の分母から x ≠ -2 です。さらに割る式が0となる x = 1 も除きます。逆数を掛けると {(x − 1)(x + 1)/(x + 2)} × {(x + 2)/(x − 1)} です。条件のもとで共通因数を約分し、答えは x + 1、条件は x ≠ -2、x ≠ 1 です。x = 2 では元の左側は 3/4、割る式は 1/4 なので商は 3、答えも 3 です。x = 1 では割る式が0になるので、答えの形に代入できても元の商は定義されません。

4. 分母が同じなので分子を足して (x + 8)/x です。条件は x ≠ 0 です。1 + 8/x と表しても同じです。x = 2 なら元の式は 7/2 + 3/2 = 5、答えも 10/2 = 5 です。分子の x を和の一部から消す操作は使っていません。

覚えておくこと

• 分母を0にする値を、元の式から先に除きます。
• 割る式は、それ自体が0になる値も除きます。
• 約分するのは分子と分母に共通する0でない因数です。
• 足し引きでは通分し、引く式全体の符号に注意します。
• 答えの式と元の条件を一緒に書きます。

つまずきを見分ける問い

お子さまが答えを短くできても、条件を元の式から説明できるかを見ます。約分後の分母しか見ていなければ、基本例題の x − 3 に戻り、その因数が消える前の分母を指してもらいます。計算の速さよりも、除いた理由を式で示せるかが手掛かりです。

個別指導では、(x + 2)/x のどこが項で、どこが因数かを声に出して確かめます。続いて割り算の例で、分母が0になる値と割る式が0になる値を別々に挙げてもらいます。そこで判断が止まれば、逆数を作る前の式に戻ります。元の式の条件を持ち運ぶことが、分数式の計算を最後まで支えます。