中1数学 比例の式と表の関係—比例定数を見つけてゼロや負の値も確かめる｜武蔵野個別指導塾

表の複数の組で商を調べ、0や負の値も式に戻して照合し、表から確かめられる範囲と比例の条件を区別します。

よくあるのは、表の一組の数を見て割り算をし、その結果だけで表全体が比例すると決める場面です。最初の組が式に合っていても、別の列が合うとは限りません。表に書かれていない値についても、表だけから変わり方を決めることはできません。

比例の式は、1つの組から候補を作り、他の組と0を使って照合すると扱いやすくなります。数を埋める練習に加えて、どこまで確かめられたかを言葉にしましょう。以下の表は説明のために作ったものです。

表から何を判断するか

出方には大きく3つあります。1つ目は、比例すると決まっている2つの量の表から式を求め、空欄を埋める問題です。0でないxに対応するyを使って比例定数を決め、負の値や0も式に代入します。

2つ目は、いくつかの組が並んだ表と、比例の式の候補が合うかを調べる問題です。1列だけで候補が見つかっても、他の列に合わなければ、その候補は表全体に合いません。0の列は割り算をせずに式へ戻して調べます。

3つ目は、表の数がそろっていることから何が言えるかを問う問題です。載っている組が同じ式に合うことと、表にない値も含めて比例すると決まることは別です。場面に「どの値でも一定の数を掛ける」という条件があるか、注意して読みます。

比例定数は何を表すか

xとyの間に、決まった数aを使って、対象となるxの値について常に y = ax と表せる関係があるとき、yはxに比例するといいます。aを比例定数と呼びます。たとえば y = 3x なら、xからyへはいつも3を掛けます。xが2ならyは6、xが-2ならyは-6です。

図1のように、同じ掛け算が各組を結んでいます。xが0でない組では、その逆向きの計算で y/x = a と求められます。yをxで割る順番に注意してください。xをyで割ると、一般に比例定数とは異なる数になります。

図1の0の組も式に合いますが、0/0という計算で比例定数を求めることはできません。0で割る計算は定義されないからです。0の列は y = ax に x = 0 を入れ、yが0になるかを調べます。xが0なのにyが0でなければ、その表は比例の式に合いません。

負の値でも、0でなければ同じように割れます。たとえばxが-4、yが6なら、6/(-4) = -3/2です。式は y = (-3/2)x となり、xに-4を入れるとyは6に戻ります。負の比例定数では、正のxに負のy、負のxに正のyが対応します。

比例定数が0の場合も、式 y = 0x はすべてのxにy = 0を対応させます。0でないxの組があれば商は0です。一方、表に(0, 0)しかないときは、どの比例定数でもこの組に合うので定数を決められません。0の列は必要な照合先ですが、定数を決める材料にはならないのです。

表の横方向にxが2倍、3倍になったとき、比例ならyも同じ倍率になります。ただし、数列の一部分で倍率が合うことだけでは、残りの列や表の外まで保証されません。各列を式へ戻す方法は、負の数や不規則な間隔を含む表でも使えます。

表を調べるときは、まず見出しを見て、どちらがxでどちらがyかを決めます。次に0でないxの列を1つ選び、対応するyをそのxで割ります。そこで得た数は、この時点では候補です。別の列に代入して一致しなければ、最初に選んだ列の計算が正しくても、表全体に合う式にはなりません。

表に空欄があるときも注意が必要です。比例すると明示されていれば、得た定数から空欄を埋められます。比例という条件がなく、他の値も示されていなければ、空欄を埋める数を確定する根拠が不足します。計算できることと、その計算を問題の条件が認めていることを分けて考えましょう。

基本例題：決まった比例から表を埋める

問題：yはxに比例し、x = 4のときy = 10です。比例の式を求め、xが-2、0、6のときのyをそれぞれ分数または整数で求めてください。

比例すると条件にあるので、まず y = ax と置けます。4は0でないため、この組からaを求められます。

a = 10/4
a = 5/2
y = (5/2)x

それぞれのxを式に代入します。負の数を代入するときは、掛ける数の符号も一緒に見ます。

x = -2 のとき y = (5/2)・(-2) = -5
x = 0 のとき y = (5/2)・0 = 0
x = 6 のとき y = (5/2)・6 = 15

答えは y = (5/2)x、順に-5、0、15です。図2のように、各列は同じ5/2を掛けてつながります。0の列で0/0を計算する必要はありません。

図2の元の条件にも式を戻します。(5/2)・4 = 10なので、与えられた組に合います。さらに(-5)/(-2) = 5/2、15/6 = 5/2であり、0でない列の商は同じです。式に0を入れた結果も表の0と一致します。

もし10/4を4/10と逆にすれば、x = 4のときのyは8/5となり、与えられた10に戻りません。求めた式が元の組を再現するかを調べると、割る順番の誤りを見つけられます。

標準例題：負の定数と一致しない列

問題：次の表に並ぶ組が、同じ比例の式にすべて合うか調べてください。合わない場合は、x = -3の列から作った式と、合わない列のyをその式に合う値へ直してください。答えは整数または分数で表します。

x = -3は0でないので、この列から比例定数の候補を求めます。

a = 6/(-3)
a = -2
y = -2x

この式に各xを入れて、表のyと比較します。

x = -3 のとき y = -2・(-3) = 6
x = 0 のとき y = -2・0 = 0
x = 2 のとき y = -2・2 = -4
x = 5 のとき y = -2・5 = -10

最後の列は表の-9と一致しません。したがって、表の組は同じ比例の式にすべて合うわけではありません。x = 5のyを-10に直せば、この4組は y = -2x に合います。修正後は -10/5 = -2 で、他の0でない列の商とも一致します。

元の-9を使うと -9/5 となり、最初の列の-2とは異なります。最初の1組から式を作ることはできますが、その式が残りの列にも当てはまるかは別に調べる必要があります。0の列が合っていても、他の列の不一致を打ち消すことはできません。

発展例題：一致する表から先を決められるか

問題：次の表の各組は同じ比例の式に合います。0でない列から式を求め、x = 4のyが必ずその式の値になるか答えてください。ただし、この表以外に変わり方の条件は与えられていません。さらに、yはxに比例するという条件を加えた場合のx = 4のyを整数で求めてください。

0でない列の商を調べます。

(-6)/(-2) = 3
9/3 = 3

候補は y = 3x です。x = 0でも 3・0 = 0 となり、表に合います。しかし、条件を加える前はx = 4でのyを必ず12と決められません。表の3組では y = 3x とし、x = 4ではy = 13とする対応を考えても、表に書かれた値には矛盾しないからです。この対応は比例ではありませんが、表に書かれた組とは一致します。

一方、yがxに比例するという条件が加われば、各xに同じ定数を掛けます。x = 3、y = 9から定数は3なので、x = 4でもその式を使えます。

y = 3・4
y = 12

答えを場面に戻すと、表の-2、0、3にもそれぞれ3を掛けて-6、0、9になり、追加したx = 4にも3を掛けて12になります。表に合う候補と、条件から対象の値に使える式を区別することが分かれ目です。

誤答を見つけて直す

ある表が次のように与えられたとします。xが1、2、0の順に、yは4、8、1です。「8/2 = 4だから比例している」と答えると、見た列については商を正しく出しています。それでも、0の列を確認していません。

図3のように、候補 y = 4x に0を代入するとyは0です。表のyは1なので、この表の全組はその式に合いません。さらに比例の式なら定数が何であってもx = 0でy = 0ですから、この表はどの比例の式にも全組を合わせられません。

図3の修正では、0/1を計算して定数を探すのではなく、x = 0を式へ戻しています。逆向きに割ればよいという癖があると、0の列で割れないことや、割る順序の違いを見落とします。まず「yはxに何を掛けた数か」と読み、その後に0でないxで割ります。

もう1つの誤りは、負の符号を消して定数を正にすることです。xとyの符号が違えば商は負です。式に元の負の値を代入し、元のyの符号と大きさに戻るか確かめましょう。途中で計算が止まった場合も、使った列と割る数を指さして確認すると、0で割ろうとしていないか見分けられます。

自分で確かめる5問

次の問題はそれぞれ独立しています。数値は整数または分数で答え、理由を求められたときは式や言葉も書いてください。

1. yはxに比例し、x = 6のときy = 15です。式と、x = -4、0のときのyを求めてください。
2. yはxに比例し、x = -5のときy = -20です。式と、x = 3のときのyを求めてください。
3. xが-4、0、2の順に、yが8、0、-3です。これらの組が同じ比例の式にすべて合うか調べ、合わなければ最初の列から作った式に合うよう最後のyを直してください。
4. xが0、0の2列で、どちらもyが0です。この表だけで比例定数を1つに決められるか、理由を答えてください。
5. xが1、3のときyがそれぞれ7、21です。この2組に合う比例の式を求め、表だけでx = 2のyを決められるか説明してください。yはxに比例するという条件を加えた場合の値も求めてください。

5問の答えと考え方

1. 比例定数は 15/6 = 5/2 なので、式は y = (5/2)x です。x = -4では y = (5/2)・(-4) = -10、x = 0では y = 0 です。元の条件へ戻すと (5/2)・6 = 15となります。-10/(-4)も5/2です。

2. 比例定数は (-20)/(-5) = 4 です。式は y = 4x、x = 3では y = 4・3 = 12です。元のx = -5に戻せば 4・(-5) = -20 です。負の数どうしの商は正なので、定数に余分な負号を付けません。

3. 最初の列から a = 8/(-4) = -2、式は y = -2x です。0の列では -2・0 = 0 で合いますが、最後の列では -2・2 = -4 となり、-3とは一致しません。したがって全組は合わず、最後のyを-4に直します。修正後は (-4)/2 = -2 で、最初の列の商に戻ります。

4. 決められません。たとえば y = 2x でも y = -3x でも、x = 0ならy = 0です。与えられた2列は同じ組なので、定数の候補を絞る0でないxがありません。0/0を計算して求めることもできません。

5. 21/3 = 7 から、候補は y = 7x です。元の2組も 7・1 = 7、7・3 = 21 と戻ります。ただし表だけではx = 2のyを決められません。たとえばその列を15としても、与えられた2組には反しないからです。比例の条件を加えると y = 7・2 = 14 です。14を2で割ると7となり、同じ定数が保たれます。

覚えておきたいこと

• 比例の式は y = ax、定数aは0でないxについて y/x で求めます。
• x = 0の列は割らずに式へ代入し、y = 0か確かめます。
• 候補の式は表の各組に戻し、合わない列を探します。
• 表の組が合うことと、表の外でも比例するという条件は区別します。

お子さまが手を止めたら、最初に「何を何で割ったか」を聞いてみてください。商の順序は合うのに0の列で止まるなら、式に代入する確認へ切り替える練習が必要です。負の列で符号が変わるなら、掛け戻して元の値に戻るかを一緒に確かめられます。

個別に解き直すときは、まず比例の条件がある問題で式と表を往復し、次に条件のない表で結論の範囲を言葉にしてもらいます。正しい数を出せた場合も、別の列と0の列を調べたかを見ると、偶然の一致と関係全体の違いが見えてきます。表の一組から始め、根拠を一列ずつ広げることが比例の判断につながります。