高校生物 個体群の増減—出生と死亡と移出入を収支表で区別して計算する｜武蔵野個別指導塾

出生数と移入数を分け、期首個体数を分母にした割合と収支表から、個体群の増減を追います。

よくあるのは、高校生がある場所に新たに現れた個体を数え、移入を出生数に加える場面です。個体数を増やす点は共通でも、その場所で生まれた個体と外から入った個体は別の項目です。両方を出生と呼ぶと、合計人数がたまたま合っていても出生率は変わってしまいます。どの場所を、いつからいつまで数えるかを先に決め、変化の理由を表に分けてみましょう。

何を求める問いなのか

個体群は、ある場所にすむ同種の個体の集まりです。その数の変化を扱う問題には、期首と期末の数を結ぶ問題、出生率と増加率を比べる問題、観察資料から不足した項目を求める問題があります。どの場合も、個体数そのものは時点の値ですが、出生数などは2つの時点に挟まれた期間の値です。この違いを無視して別々の期間の数を混ぜると、式を正しく書いたつもりでも答えは成立しません。

また、個体数が増えた理由と出生の多さは同じ問いではありません。出生が死亡を上回っても、それ以上に移出が多ければ全体は減ります。反対に、死亡が出生を上回っても移入によって全体が増える場合があります。まず求める対象が期末の個体数なのか、個体数の差なのか、それとも決められた分母に対する割合なのかを示します。

以下の数値と図は、計算のための自作資料と模式図です。実測結果ではありません。捕獲や放逐の手順は扱わず、境界と期間が指定された資料上で考えます。

出入りの向きをそろえる

対象区域の期首個体数を N₀、期末個体数を N₁ とします。期間中の出生数を B、死亡数を D、移入数を I、移出数を E とすれば、収支は次のようになります。個体が区域で生まれれば加算し、死亡すれば減算します。外から境界を越えて入れば加算し、外へ出れば減算します。

N₁ = N₀ + B - D + I - E
N₁ - N₀ = B - D + I - E

図1のように、出生と移入はどちらも数を増やしますが、矢印の出発点が異なります。死亡と移出も数を減らす点は共通でも、同じ出来事ではありません。矢印は個体数の増減への寄与を示し、物質やエネルギーの流れを表すものではありません。

この式は開放された区域にも使えます。区域の境界を越える個体がいない閉鎖個体群として扱うときは I と E がともに0なので、期末は期首に出生を加え死亡を引いた数になります。開放系であることは、必ず移出入が起こったことを意味しません。移出入がありうる区域で、実際に何個体が出入りしたかを資料から読むという意味です。

出来事は同じ期間にそろえ、各出来事をそれぞれ数えます。期間中に移入した個体がその後に死亡すれば、移入1と死亡1の両方を記録します。境界を複数回越えれば、出入りの各回を記録します。期首と期末の境界上の個体をどちらに含めるかも観察前に決め、両時点で同じ規則を使います。こうすれば途中の移動や死亡があっても収支が合います。

割合の分母は、問題文で定めます。ここでは比較のため、期間中の出生数を期首個体数で割ったものを出生率、期末と期首の差を期首個体数で割ったものを増加率と呼びます。期首が0でないことが必要です。どちらもこの期間についての比であり、百分率なら100を掛けます。

出生率 = (B)/(N₀)
増加率 = (N₁ - N₀)/(N₀)

出生率の分子は出生数だけです。増加率の分子には出生と死亡、移入と移出の差がすべて反映されます。増加率は負にもなり、負なら期末は期首より少ないことを示します。出生率が正だからといって、増加率も正とは限りません。資料によっては平均個体数など別の分母を指定することもあるため、名称だけで分母を決めず、定義と期間を答案に書きます。

収支表から期末へ

基本例題

ある開放された池の区域で、期首は200個体でした。同じ1年間の出生は40個体、死亡は30個体、移入は20個体、移出は10個体でした。期末個体数を整数で、期首を分母とする出生率と増加率を百分率で求めてください。図2はこの自作資料の収支を示します。

図2の増加項は出生と移入、減少項は死亡と移出です。増減の合計を期首に加えると、期末までたどれます。

期末個体数 = 200 + 40 - 30 + 20 - 10
期末個体数 = 220 個体
出生率 = (40)/(200)・100 = 20%
増加率 = (220 - 200)/(200)・100 = 10%

出生率は20%ですが、死亡30個体と移出10個体から移入20個体を差し引くと、出生以外では20個体の減少です。そのため全体の増加は20個体、増加率は10%です。検算では220から期間中の増加項60を引き、減少項40を戻すと200となり、元の期首に戻ります。率を計算したら、10%に期首200を掛けて20個体の増加に戻ることも確認できます。

別解として、増加項の合計60個体から減少項の合計40個体を引きます。差の20個体を期首に加えれば220個体です。この方法は加減の方向を見通しやすい一方、出生率の計算では合計60を分子にせず、その内訳の出生40を使います。

標準例題

別の草地の開放された区域では、ある1年間の期首が240個体、期末が252個体です。この期間の出生は36個体、死亡は30個体、移入は18個体でした。移出数を整数で求め、期首を分母とする増加率を百分率で答えてください。各出来事は重複なくその種類ごとに記録されています。

未知の移出数を E 個体と置き、期末を式に入れます。移出は区域から出るので引き算です。

252 = 240 + 36 - 30 + 18 - E
252 = 264 - E
E = 12
増加率 = (252 - 240)/(240)・100 = 5%

答えは移出12個体、増加率5%です。12を最初の収支に戻すと、240 + 36 − 30 + 18 − 12 = 252となり、与えられた期末に一致します。別の見方では出生と死亡の差が6個体、実際の増加は12個体です。移入と移出の差が6個体でなければならないので、移入18から移出12を引くと条件に合います。

期末の数だけから、出生や移入の内訳を一意には決められません。たとえば期首と期末が同じでも、出生と死亡がともに0の場合と、同数ずつ起きた場合があります。未記入の項目が複数あるなら、必要な情報が足りているか先に点検します。

期間を分けた資料と調査の限界

発展例題

開放された水辺の区域について、連続する2期間の自作記録があります。第1期間の期首は300個体、出生60、死亡45、移入15、移出30個体です。第2期間は第1期間の直後から始まり、出生45、死亡30、移入30、移出15個体です。各期間の期末個体数と、それぞれの期首を分母とする増加率を求めてください。個体数は整数、率は百分率で答えます。

第1期間の収支を求め、その期末を第2期間の期首に使います。期間の境目に抜けや重複がないという条件が必要です。

第1期間の期末 = 300 + 60 - 45 + 15 - 30 = 300 個体
第1期間の増加率 = (300 - 300)/(300)・100 = 0%
第2期間の期末 = 300 + 45 - 30 + 30 - 15 = 330 個体
第2期間の増加率 = (330 - 300)/(300)・100 = 10%

第1期間は数が変わりませんが、出生、死亡、移入、移出は起きています。0%は出来事がなかった証拠ではなく、増加項と減少項がつり合った結果です。第2期間の答え330から増加項75を引き、減少項45を戻すと期首300になります。2期間をまとめても、出生105、死亡75、移入45、移出45です。300 + 105 − 75 + 45 − 45 = 330となり、同じ期末に戻ります。

個体数を縦軸、時点を横軸にして3時点を結ぶと、最初の区間は水平、次の区間は右上がりです。ただし、直線で結んでも途中の実際の増減が直線だったとは限りません。始点と終点が等しい区間でも、途中で増えてから減った可能性があります。傾きは図上の単位時間あたりの変化量を表しますが、期首を分母とする増加率は変化量を期首個体数で割るので、別の量です。

資料を集める計画を考えるときは、最初に区域の境界、時点、期間、対象とする種をそろえます。期首と期末を同じ基準で数え、出生と死亡、境界を越える移動を別々に記録します。境界付近の見落としや同じ個体の重複計数があれば、算出された収支にずれが出ます。移入を少なく記録した場合、ほかの項目が正しければ計算上の期末は実際より小さくなります。

途中で観察が途切れれば、見えなかった期間の出来事を0とは置けません。集計期間を短くして完全に観察できた区間を比べるか、欠けた項目を未知として扱います。期末の数が合わないときも、直ちに特定の項目が誤りだとは断定できません。区間の漏れ、境界の扱い、各項目の記録を順に照合します。観察値から原因を調べるには、異なる条件の区域を比べる設計や反復が必要で、収支の一致だけでは変動の原因は証明できません。

よくある取り違えを直す

基本例題で「新しく増えた数は40 + 20 = 60個体だから、出生率は30%」とする答えを考えます。60個体は出生と移入の合計としては正しい数です。しかし出生率の分子は区域内で生まれた40個体です。図3のように移入20を別の欄に戻せば、出生率は20%に直ります。

図3で、各枠は基本例題の出来事を表し、矢印は分類先を示します。個体数を増やすという共通点からまとめることと、出生という種類に分類することを分けます。計算機に入れる前に分子の名称を声に出して読むと、移入が混ざったことに気づきやすくなります。

別の誤りは、期末220を分母にして出生率を求めることです。この問題では期首を分母と決めています。期末を分母にした比にも数としての意味はありますが、問われた率とは異なります。どちらを使うかは言葉だけで推測せず、定義を確認して式の横に「期首」と書きます。

さらに「期首と期末が同じなら出生も死亡もない」という推論も成立しません。発展例題の第1期間は60 + 15と45 + 30が等しいため、出来事があっても差は0です。変化量が0という結果から、各項目が0だと逆算することはできません。未知の項目が決まらない場合は、複数の内訳が同じ収支を生むことを示すと理由が明確になります。

練習問題

いずれも自作の資料です。個体数は整数、率は期首を分母とする百分率で答えてください。各問いの期間はそれぞれ1年間とします。

1. 開放された林の区域の期首は160個体、出生32、死亡24、移入12、移出20個体です。期末個体数と出生率、増加率を求めてください。
2. 開放された草地の期首は180個体、期末は171個体です。出生27、死亡36、移出15個体のとき、移入数を求めてください。
3. 閉鎖個体群の期首は120個体で、出生18、死亡30個体でした。期末個体数と増加率を求め、出生があっても減少した理由を説明してください。
4. 開放された区域の期首は250個体です。第1期間は出生50、死亡25、移入10、移出35個体、第2期間は出生30、死亡40、移入20、移出10個体でした。第2期間は第1期間の直後に始まります。各期末と各増加率を求めてください。
5. 開放された区域で期首と期末がともに100個体でした。出生20、死亡15、移入10個体が記録されています。移出数を求め、この結果から個体の出入りがなかったと言えるか説明してください。

答えと考え方

1. 期末は160 + 32 − 24 + 12 − 20 = 160個体です。出生率は(32)/(160)・100 = 20%、増加率は(160 − 160)/(160)・100 = 0%です。増加項44と減少項44が等しく、期首160に戻ります。変化が0でも出生と移動は起きています。

2. 移入を I 個体とすると、171 = 180 + 27 − 36 + I − 15です。よって I = 15個体です。元の条件に戻すと180 + 27 − 36 + 15 − 15 = 171となり、期末に一致します。移入と移出がともに15でも、出生と死亡の差で9個体減っています。

3. 閉鎖されているので移入と移出は0です。期末は120 + 18 − 30 = 108個体、増加率は(108 − 120)/(120)・100 = -10%です。死亡30が出生18を12個体上回るため減少します。108から出生18を引き死亡30を戻すと120で、期首に一致します。

4. 第1期末は250 + 50 − 25 + 10 − 35 = 250個体、第1期間の増加率は0%です。これを第2期首に使うと、期末は250 + 30 − 40 + 20 − 10 = 250個体で、第2期間の増加率も0%です。各期間とも増加項と減少項が等しく、期末から逆向きに戻して250個体になります。同じ期末でも各項目の内訳は異なります。

5. 100 = 100 + 20 − 15 + 10 − Eより、移出 E は15個体です。代入すると100 + 20 − 15 + 10 − 15 = 100となります。移入10と移出15が記録されているため、出入りがなかったとは言えません。出生と死亡の差5が移出超過5を打ち消しています。

覚えておくこと

• 期末は期首に出生と移入を加え、死亡と移出を引きます。
• 個体数は時点、出生などの数は期間を指定します。
• 割合の分母と期間を問題文で確かめます。
• 増減が0でも各出来事が0とは限りません。
• 求めた値を元の収支に戻して点検します。

どこで止まったかを見分ける

答えが合わないときは、まず区域の枠を描き、出生と死亡を枠内の出来事、移入と移出を境界を越える出来事として指せるか見ます。次に期首から期末への式で、増える項と減る項の符号を説明してみます。符号が合っていても率が違う場合は、分子が何の数か、分母がどの時点の数かを言葉に戻します。

個別指導の場では、書いた表の各欄が同じ期間を表しているかを一緒に点検できます。期首と期末が等しい資料で、それぞれの出来事が起こる例を作って説明できれば、差と内訳の違いも確かめられます。個体群の増減は、境界と期間を定めた収支から読み取れます。