武蔵野個別指導塾の特徴

高校化学イオン結晶の単位格子—最近接距離と組成から密度を計算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴化学を掘り下げる理論化学1

共有されるイオンの数と最近接方向をたどり、式単位数から密度へ結ぶイオン格子。

よくあるのは、単位格子の中にある陽イオンと陰イオンを合わせた数を、そのまま式単位の数として密度の式に入れる場面です。粒子の数え方は合っていても、質量が2倍になることがあります。結晶全体を小さな立方体に分けたとき、境界上の粒子が隣の立方体と共有されることと、組成式1組に複数のイオンが含まれることを、別々に考えましょう。

問いの入口を見分ける

塩化ナトリウム型と塩化セシウム型は、いずれも陽イオンと陰イオンの個数比が1:1の配置ですが、単位格子内の式単位数や最近接方向が異なります。出題の第1の型は、頂点や面上の粒子の共有割合から各イオンの個数を求め、組成と配位数を答えるものです。見えている球を数える前に、その中心がどの位置にあるかを確認します。

第2の型は、格子定数と最近接距離、または接するという条件で与えられた半径から密度を求めるものです。辺上で接するのか、体対角線上で接するのかにより式が変わります。第3の型では、密度や格子定数から未知量を逆算し、得られた数が配置や組成に合うかを調べます。いずれも、イオン結晶を分子の集まりとして扱わず、組成式に対応する最小の組を数えます。

境界の共有から式単位へ

単位格子は、平行移動して並べると結晶の規則的な配列を表せる基本の立体です。頂点の中心をもつイオンは8個の立方体で共有されるため、1個の格子への寄与は1/8です。辺の中心は4個で共有され1/4、面の中心は2個で共有され1/2、内部の中心は1個分です。これは球を物理的に切り取って数える操作ではなく、周期的に並ぶ粒子の数を重複なく配分する考え方です。

図1のように、塩化ナトリウム型では一方のイオンを頂点と面の中心に、もう一方を辺の中心と立方体の中心に置けます。種類を入れ替えて表しても配置の数え方は同じです。頂点8個と面6個から4個、辺12個と中心1個から4個となります。したがって1格子には陽イオン4個、陰イオン4個があり、組成式1組を1式単位とすると4式単位です。全イオン数8個は式単位数ではありません。

図1の各項は、位置の数に共有割合を掛けたものです。例えば辺の中心12個は、12個のイオンを格子の内部に丸ごと入れたという意味ではありません。各イオンは異符号の最近接イオン6個に囲まれます。格子の境界で数えるのをやめず、隣の格子へ配列を延長して数えます。

塩化セシウム型では、一方を8頂点に、他方を立方体の中心に置きます。それぞれ1個分なので1式単位です。異符号の最近接イオンはそれぞれ8個です。中心の粒子の周囲の頂点を数えると8個あり、頂点の粒子についても隣の格子まで含めれば同数になります。中心と頂点が異種のイオンなので、同種の粒子を頂点と中心に置く体心立方格子とは区別します。

立方体の一辺をa、陽イオンと陰イオンの半径をそれぞれr₊、r₋とします。塩化ナトリウム型の異符号の最近接位置は辺の頂点と辺の中心なので、中心間距離はa/2です。塩化セシウム型では頂点と立方体中心が最近接で、体対角線の半分、すなわち√3a/2です。体対角線は、面対角線が√2aであることから三平方の定理で√3aになります。

距離と半径の和を等しくするには、異符号のイオンを剛球とみなし、最近接イオンが接しているという条件が必要です。その条件なら前者はr₊ + r₋ = a/2、後者はr₊ + r₋ = √3a/2です。図の球が接して見えるだけでは、与件にない接触を決められません。半径比だけから配置を一般に決めることもしません。

密度は質量を体積で割った量です。式量に対応するモル質量をM g/mol、アボガドロ定数をNₐ mol⁻¹、格子内の式単位数をZとすると、1格子の質量はZM/Nₐ gです。aをcmに直せば体積はa³ cm³なので、密度ρは次のようになります。

ρ = (ZM/Nₐ)/a³
  = ZM/(Nₐa³)

この式に入るZは全イオン数ではありません。Mは組成式1組あたりのモル質量です。例えば1:1の結晶で全イオン数を使うなら、各種類の質量を別々に足す必要があります。1 nm = 10⁻⁷ cmなので、長さをcmに直してから立方します。単位を最後に付け足すのではなく、質量と体積がそれぞれgとcm³になることを式で確認します。

基本と標準の計算

基本例題：位置と個数

ある1:1のイオン結晶で、陰イオンが立方体の8頂点と6面の中心、陽イオンが12辺の中心と立方体の中心にあります。1格子あたりの両イオンの個数と式単位数を整数で求め、各イオンの配位数を答えてください。

図2のように、それぞれの寄与を位置別に足します。

陰イオン = 8・(1/8) + 6・(1/2) = 4個
陽イオン = 12・(1/4) + 1 = 4個
式単位数 = 4組

答えは陰イオン4個、陽イオン4個、4式単位で、配位数は各6です。図2の個数を組に戻すと4組で、それぞれ4個ずつ使います。電荷が1価同士なら正負の電荷も打ち消し合います。全粒子数8個を4組に分けるところが、密度計算の入口です。

標準例題：格子定数から密度

塩化ナトリウム型の1価イオンからなる結晶XYを考えます。計算用の与件として、格子定数a = 0.500 nm、XYのモル質量M = 60.0 g/mol、Nₐ = 6.00 × 10²³ mol⁻¹とします。密度をg/cm³で有効数字3桁に求めてください。これらは計算用の値です。

1格子の式単位数は4です。まず辺をcmに直し、その値を3乗します。

a = 0.500 × 10⁻⁷ cm = 5.00 × 10⁻⁸ cm
a³ = 1.25 × 10⁻²² cm³
格子の質量 = 4・60.0/(6.00 × 10²³) g
             = 4.00 × 10⁻²² g
ρ = (4.00 × 10⁻²²)/(1.25 × 10⁻²²)
  = 3.20 g/cm³

答えは3.20 g/cm³です。戻してみると、密度と体積の積は4.00 × 10⁻²² gで、4式単位の質量と一致します。陽イオンと陰イオンが各4個という配置も、XYが4組という質量の数え方と一致します。この例題には半径が与えられておらず、密度の計算に接触の仮定は要りません。

接する方向を使う発展例

塩化セシウム型の1価イオン結晶UVについて、異符号の最近接イオンを剛球とみなし、互いに接するとします。計算用の与件は、半径の和0.150√3 nm、UVのモル質量54.0 g/mol、Nₐ = 6.00 × 10²³ mol⁻¹です。格子定数をnmで有効数字3桁、密度をg/cm³で有効数字3桁に求めてください。

この型の最近接方向は体対角線です。頂点から中心までが体対角線の半分で、半径の和に等しくなります。

√3a/2 = 0.150√3 nm
a = 0.300 nm = 3.00 × 10⁻⁸ cm
a³ = 2.70 × 10⁻²³ cm³
格子の質量 = 54.0/(6.00 × 10²³) g
             = 9.00 × 10⁻²³ g
ρ = (9.00 × 10⁻²³)/(2.70 × 10⁻²³)
  = 3.33 g/cm³

格子定数は0.300 nm、密度は3.33 g/cm³です。密度は最後に丸めています。逆にa = 0.300 nmを距離の式へ戻すと、√3a/2 = 0.150√3 nmとなり、与えられた半径の和に戻ります。丸める前の密度に体積を掛けても9.00 × 10⁻²³ gとなり、UV 1組の質量に一致します。

別解として、半径の和をdと置けばa = 2d/√3です。これを密度式に代入してρ = M/(Nₐ(2d/√3)³)とできます。ただし、Z = 1と接触の両条件を先に記す必要があります。同じdを塩化ナトリウム型に使うとa = 2dとなり、体対角線の式は使えません。式の暗記より先に、異符号の中心を結ぶ線を図に描くと方向の取り違えを防げます。

誤答を戻して直す

標準例題で「粒子が8個あるのでZ = 8」とすると、密度は6.40 g/cm³になります。図3のように、XYのモル質量はXとYの両方を含む1組の質量に対応します。8を掛けるとXもYも8個ずつ、計16個分を数えたことになり、配置の各4個と合いません。各種類の個数から4組と直します。

別の誤りは、塩化セシウム型の中心と面の中心を最近接とすることです。この型の指定された配置には、その面の中心に異符号のイオンが置かれていません。まず存在する中心を結び、その長さが辺、面対角線、体対角線のどれに当たるか確認します。また、半径の和と距離の等号は接触が与えられたときに限ります。接触条件がなければ最近接距離は格子定数から求められても、半径の和は決まりません。

学校の指導の下で、結晶の格子定数と密度に関する測定記録を扱う場合を考えます。格子定数から求める密度はa³に反比例するため、aを大きく記録すると計算上の密度は小さく出ます。長さの単位換算を誤ると3乗後に桁の差が広がります。試料の密度を質量と外形から求める記録には、空隙や表面の欠けなどが影響しうるので、理想的な格子から計算した値との差を直ちに式単位数の誤りと決めず、測定方法も調べます。

例えば、他の条件を固定した計算用の表でaを基準値の1.00倍、1.10倍とすると、密度の比はそれぞれ1.00、1/(1.10)³です。後者は約0.751で、増えるのは長さでも密度は減ります。横軸にa、縦軸に密度を取ると右下がりです。測定値を用いた場合の差の原因はこの比例関係だけでは特定できず、単位、試料の状態、測定条件を分けて検討します。

練習：配置から条件をたどる

次の数値はすべて計算用の与件です。問1から問5を解いた後、まとめて解答を確認してください。

塩化セシウム型の1:1結晶で、一方が頂点、他方が立方体中心にあります。各イオンの個数、式単位数、配位数をそれぞれ整数で求めてください。
塩化ナトリウム型の結晶ABについて、a = 0.400 nm、モル質量48.0 g/mol、Nₐ = 6.00 × 10²³ mol⁻¹とします。密度をg/cm³で有効数字3桁に求めてください。
塩化ナトリウム型の結晶で、異符号の最近接イオンが剛球として接し、半径の和が0.240 nmです。aと最近接距離をnmで有効数字3桁に求めてください。
塩化セシウム型の結晶CDについて、a = 0.200 nm、密度5.00 g/cm³、Nₐ = 6.00 × 10²³ mol⁻¹とします。CDのモル質量をg/molで有効数字3桁に求めてください。
1:1結晶の格子内に陽イオン2個分と陰イオン2個分があると判定した人が、式単位数を4としました。この判定のどこが誤りか説明し、正しい式単位数を整数で示してください。なお、その配置の型を特定する必要はありません。

練習の答えと照合

頂点の寄与は8・(1/8) = 1個、中心は1個です。各1個、1式単位、配位数は両方とも8です。1組を元に戻すと各イオンが1個ずつあり、頂点側も隣の格子を含めて異符号の中心8個に囲まれます。
Z = 4、a = 4.00 × 10⁻⁸ cmです。

a³ = 6.40 × 10⁻²³ cm³
格子の質量 = 4・48.0/(6.00 × 10²³)
             = 3.20 × 10⁻²² g
ρ = (3.20 × 10⁻²²)/(6.40 × 10⁻²³)
  = 5.00 g/cm³

答えは5.00 g/cm³です。この密度に体積を掛けると3.20 × 10⁻²² gとなり、AB 4組の質量に戻ります。AとBは各4個で組成比も1:1です。

最近接距離は接触の条件から0.240 nm、辺の半分です。

a/2 = 0.240 nm
a = 0.480 nm

答えはa = 0.480 nm、距離0.240 nmです。求めたaの半分を取ると与えられた半径の和に戻ります。体対角線を使うと、この配置での最近接位置を取り違えます。

Z = 1、a = 2.00 × 10⁻⁸ cmです。

a³ = 8.00 × 10⁻²⁴ cm³
格子の質量 = 5.00・8.00 × 10⁻²⁴
             = 4.00 × 10⁻²³ g
M = 4.00 × 10⁻²³・6.00 × 10²³
  = 24.0 g/mol

答えは24.0 g/molです。1組の質量24.0/(6.00 × 10²³) gを格子体積で割ると5.00 g/cm³に戻ります。1格子のCDは1組で、各イオン1個という配置にも合います。

4は2種類を合計したイオン数です。1組には陽イオンと陰イオンが各1個含まれるので、正しくは2式単位です。2組に戻せば陽イオン2個と陰イオン2個になり、元の条件を満たします。単位格子に何組あるかと、どの配置の型かは別の問いです。

覚えておくこと

頂点・辺・面・内部の寄与は順に1/8・1/4・1/2・1です。
塩化ナトリウム型は4式単位、塩化セシウム型は1式単位です。
最近接距離は順にa/2、√3a/2で、半径の和との等号には接触条件が要ります。
密度は式単位の質量を格子の体積で割り、長さをcmに直してから3乗します。

式のどこで迷ったかを見る

答えが2倍なら、全イオン数と式単位数を同じ欄に書いていないかを確認します。個別指導では、各位置の共有割合を本人に説明してもらい、次に1組に含まれるイオンを丸で囲んで組数を数えます。桁が違うときは、長さの換算と立方を別行にして、gとcm³へ戻せるかを調べます。最近接距離で迷う場合は、隣の格子にも配置を延長し、異符号の中心を結んだ線の方向を言葉にします。粒子の数と距離の根拠がそろえば、密度の式はその配置を表す一行になります。