高校化学 金属の単位格子—接する方向から格子定数と充塡率を導く｜武蔵野個別指導塾

面対角線と体対角線を比べ、原子数と球の体積から充塡率を導く対象は金属の単位格子です。

よくあるのは、面心立方格子の立方体を見て、向かい合う頂点を結ぶ体対角線に原子が並び、そこで接していると考える場面です。体対角線は立方体の中を通りますが、面心立方ではその中央に原子はありません。面の中央に注目すると、隣り合う球の接点を通る線が見えてきます。格子の名前、球の中心、接する方向を順に確かめれば、長さの式を暗記に頼らず作れます。

問題の入口を見分ける

金属結晶の計算には、まず立方体の単位格子に含まれる原子数を問う型があります。図には境界上の球も描かれますが、頂点や面の球を丸ごと1個ずつ足すことはできません。隣の単位格子と共有しているからです。格子の内部に換算した個数を求めてから、球の体積や質量に進みます。

次に、原子を同じ半径の球とみなし、球が接する線から格子定数と原子半径の関係を求める型があります。立方体の一辺、面対角線、体対角線は長さも通る位置も異なります。名前だけで判断せず、球の中心が線上にあるかを見ます。

さらに、単位格子の体積に対して原子球が占める体積の割合、すなわち充塡率を求める型があります。ここでは球を剛体として扱う幾何学的なモデルを用います。実際の金属中の原子を、境界の明確な硬い球と断定しているわけではありません。六方最密構造は配位数と充塡率の比較にとどめ、イオンの配置や結晶の測定法には踏み込みません。

球の中心から立方体を読む

単位格子は、同じ向きに繰り返して結晶の並びを表す基本の箱です。格子定数 a はこの立方体の一辺の長さ、r はモデル上の原子球の半径です。原子の中心を格子点に置き、同じ大きさの球どうしは重ならず、指定された最近接方向で接するものとします。

図1のように、体心立方では8個の頂点と立方体の中心に原子の中心があります。面心立方では8個の頂点と6つの面の中央に原子の中心があります。図は球の中心と接する方向を示す模式図であり、球の大きさ自体は充塡率を表していません。

図1の体心立方では、頂点、立方体の中心、反対側の頂点が体対角線上に並びます。頂点の球の中心から中央の球の中心までが 2r、さらに反対側までが 2r です。体対角線の長さは三平方の定理を2回使い √3a なので、接触条件は √3a = 4r です。辺上には中央の球がないため、辺の長さを 4r とはできません。

面心立方では、1つの面にある2つの向かい合う頂点の間に、その面の中心の原子があります。面対角線は √2a、接して並ぶ3球の中心間の距離の合計は 4r です。したがって √2a = 4r です。立方体中心には原子がないので、体対角線に4個分の半径を並べる式は使えません。なお、半径を足すときは球の端から端ではなく、両端の球の中心間を測っています。

共有割合も位置から決まります。頂点は8個の単位格子が集まる角なので、1つの格子に属する割合は 1/8 です。面上の球は面を挟む2個の格子で共有するため 1/2、格子の内部の球は1個分です。この換算は結晶の内部で繰り返す格子に適用します。標本の表面で切れた球をそのまま数える話とは分けます。

体心立方の原子数 = 8・(1/8) + 1 = 2
面心立方の原子数 = 8・(1/8) + 6・(1/2) = 4

配位数は、ある1個の原子に最も近い距離で接する原子の数です。単位格子に含まれる原子数とは異なり、隣の格子にある原子も数えます。体心立方では中央の原子の周りに8個の頂点の原子があり、配位数は8です。面心立方では、例えば頂点の原子から等距離にある面心の原子を周囲の格子まで含めて数えると12個です。六方最密構造も配位数12、球モデルの充塡率は面心立方と同じです。ただし単位格子の形まで同一という意味ではありません。

充塡率は、単位格子に属する球の体積の合計を格子の体積 a³ で割ったものです。球1個の体積は (4/3)πr³ ですから、原子数を N とすれば充塡率は N・(4/3)πr³/a³ です。半径と格子定数を同じ長さの単位にそろえると比は単位を持ちません。百分率を求めるとき、最後に100を掛けます。

例題で数と長さをつなぐ

基本：面心立方の一辺

同じ半径 r = 0.150 nm の球を原子に見立てた面心立方格子を考えます。球は面対角線上で接します。1辺の長さを nm 単位で有効数字3桁に、単位格子中の原子数を整数で求めてください。計算には √2 = 1.414 を使います。数値は計算用の与件です。

図2のように面対角線上の3球の中心を結ぶと、対角線の長さは半径4個分です。面の一辺は求める立方体の一辺と同じですから、次のように求めます。

√2a = 4r
1.414a = 4・0.150 nm
 a = 0.600/1.414 nm
 a = 0.424 nm

図2は、球の中心を結んだ線と与件の半径との対応を示しています。元の条件に戻すと、丸める前の a なら 1.414a = 0.600 nm となり、4r と一致します。頂点の8個は合計1個分、6面の球は合計3個分なので、単位格子中の原子数は4個です。半径に2を掛けた長さがそのまま辺になるという判断は、面心立方の接触方向に合いません。

標準：体心立方の充塡率

体心立方で球が体対角線上で接するものとします。球の体積の和が単位格子の体積の何パーセントか求め、整数に丸めてください。π = 3.14、√3 = 1.732 を計算用に与えます。

体心立方の原子数は2個、接触条件から r = √3a/4 です。まず文字のまま代入し、最後に数値を使います。

充塡率 = 2・(4/3)πr³/a³
       = (8π/3)・(√3/4)³
       = π√3/8
       = 3.14・1.732/8
       = 0.67981

答えは約68%です。100%未満なので球の間にはモデル上の隙間が残ります。例えば a を1とすれば r は √3/4 で、2個分の球の体積は約0.680、格子の体積は1です。求めた比はこの設定にも戻ります。体積には長さの比を3乗して使うため、r/a = √3/4 をそのまま充塡率にしてはいけません。

発展：面心立方と体心立方を同じ半径で比較する

同じ半径 r の球で作る体心立方と面心立方を比べます。それぞれの充塡率を π を用いた式で示し、どちらが大きいか答えてください。√2 = 1.414、√3 = 1.732 として小数第3位を四捨五入し、割合を小数第2位まで併記します。球の半径は両者で共通という条件です。

体心立方は先ほどの導出から π√3/8 です。面心立方は原子数4個、r = √2a/4 なので、次のようになります。

面心の充塡率 = 4・(4/3)π(√2a/4)³/a³
             = π√2/6
体心の充塡率 = π√3/8

π = 3.14 を計算に用いると、面心は約0.74、体心は約0.68です。面心立方の方が大きくなります。充塡率はそれぞれの単位格子の体積を分母にするため、同じ半径でも格子定数が違う点に注意します。両者とも分子と分母が r³ に比例し、半径そのものは比から消えます。

別解として同じ r の球1個当たりに割り当てられる格子体積を比べます。面心では a = 2√2r、原子数4個なので a³/4 = 4√2r³ です。体心では a = 4r/√3、原子数2個なので a³/2 = 32r³/(3√3) です。後者の方が大きいため、同じ球1個の体積に対して割り当てられる空間が小さい面心の充塡率が大きいと判断できます。この方法でも元の格子に戻せば、1個当たりの値に原子数を掛けたものはそれぞれ a³ です。

取り違えを図で修正する

図3のように、面心立方の体対角線の中央は球の中心ではありません。それにもかかわらず √3a = 4r と書く誤答は、体心立方の接触条件を格子の名前を確かめず移したものです。直すには、面上の頂点と面心を結び、3球の中心が並ぶ面対角線を選びます。すると √2a = 4r が得られます。

図3では面の中央の点が接触方向にあり、立方体の中心には点がありません。線が立方体を通るという事実と、その線上に原子が並ぶという条件は別です。図に線を引く前に、各球の中心を点で示すと誤りを見つけやすくなります。

別の誤答は、面心立方の図に描いた14個の球をそのまま14個とするものです。頂点と面は複数の箱にまたがるため、球の中心の位置ごとに 1/8 と 1/2 を掛け、合計4個とします。反対に配位数を4とするのも誤りです。配位数は1つの球の近傍を隣の箱まで数えるので、面心立方では12です。

観察や測定の設計では、模型の球の直径や間隔の読み取りをそろえる必要があります。例えば学校の指導の下で同じ球を使い、辺の長さと対角線を複数回測って比べるとします。球の中心位置の読み違いや定規の傾きで、接触の式に戻した値はずれます。模型が実際に接しているかも確かめ、単に差が出たことから結晶の構造を断定しません。測定値を記録するなら長さの単位と測る位置をそろえ、ばらつきを見てから比較します。

横軸に格子定数 a、縦軸に同じ格子型の球の半径 r をとれば、接触を仮定した関係は原点を通る直線です。面心の傾きは √2/4、体心は √3/4 です。同じ a なら体心の方が r は大きいですが、原子数も異なるため、そのことだけで充塡率の大小を決めてはいけません。切片が大きくずれた測定図は、原点を無理に通して読む前に測定条件を見直します。

自分で確かめる5問

次の値は計算用の与件です。必要なら π = 3.14、√2 = 1.414、√3 = 1.732 を使い、途中では丸めず、指定された桁で答えてください。球は同じ大きさで、各構造の最近接方向で接するものとします。

1. 体心立方で格子定数が 0.400 nm です。原子半径を nm で有効数字3桁にし、配位数を整数で答えてください。
2. 面心立方で原子半径が 0.200 nm です。格子定数を nm で有効数字3桁にし、1つの単位格子に含まれる原子数を答えてください。
3. 球の半径が 1.00 cm の体心立方模型について、単位格子の体積を cm³ で有効数字3桁にしてください。途中では a = 4r/√3 を使い、√3 = 1.732 とします。
4. ある面心立方の球模型において、頂点の球8個と面の球6個の体積の和を、共有を考えずに数えた人がいます。真の単位格子内の球の体積の和は、その人の値の何倍ですか。分数で答え、理由も示してください。
5. 同じ種類の球から作る面心立方と六方最密構造について、配位数と充塡率を比べてください。また、単位格子の形まで同じといえるか、理由を添えて答えてください。

解答と途中の確認

1. 体対角線の条件より r = √3a/4 = 1.732・0.400/4 = 0.1732 nm です。答えは 0.173 nm、配位数は8です。丸める前の半径から 4r = 0.6928 nm、√3a = 0.6928 nm となり、接触条件に戻ります。8は中央の球に接する頂点の数です。

2. 面対角線の条件より a = 4r/√2 = 0.800/1.414 = 0.56577… nm です。答えは 0.566 nm、原子数は4個です。丸め前の値を使うと 1.414a = 0.800 nm = 4r となります。数の方も 8・(1/8) + 6・(1/2) = 4 と位置に戻して確かめられます。

3. 与件の √3 を使うと a = 4.00/1.732 cm です。体積は (4.00/1.732)³ = 12.317… cm³ なので、答えは 12.3 cm³ です。長さを先に cm にそろえ、3乗した後の単位を cm³ とします。求めた丸め前の辺は 1.732a = 4.00 cm を満たし、半径4個分に戻ります。

4. 共有を無視した球は14個分ですが、格子に属する球は 8・(1/8) + 6・(1/2) = 4 個分です。同じ半径の球なので体積の比も個数の比に等しく、答えは 4/14 = 2/7 です。14個分に 2/7 を掛けると4個分に戻ります。頂点と面の寄与はそれぞれ1個分と3個分で、合計も一致します。

5. 配位数はどちらも12で、球モデルの充塡率も等しく π√2/6、約74%です。単位格子の形は同じとはいえません。面心立方の単位格子は立方体ですが、六方最密構造では積み重なり方と単位格子の形が異なります。近くに接する球の数と、空間を繰り返す箱の形は別の情報です。

持ち帰る要点

• 原子数は頂点 1/8、面 1/2、内部 1 の共有割合で換算します。
• 体心立方は体対角線で √3a = 4r、面心立方は面対角線で √2a = 4r です。
• 配位数は隣の格子も含め、体心で8、面心で12です。
• 充塡率は球の体積の和を格子体積で割り、体心は約68%、面心は約74%です。

式を覚えたのに計算が止まるときは、図に中心点と接触線を書き込み、その線の両端がどの中心かを説明してみてください。個別指導では、共有割合の根拠、立てた長さの式、3乗後の単位を本人の答案で確かめます。誤った式が出た場合も、どの球を線上に置いたかまで戻ると直す場所が見えます。接する方向を定めることが、金属の単位格子を読み解く出発点です。