高校物理 正弦波の式の組み立て—初期変位と進行方向から位相の符号を決める｜武蔵野個別指導塾

原点の変位と増減から初期位相を選び、山の移動で符号を点検する正弦波の式。

よくあるのは、原点の初期変位がゼロでないのに、高校生が正弦の中身をゼロから書き始める場面です。式の形は覚えていても、その式を時刻0、位置0に戻すと、与えられた変位と合いません。さらに、初期変位が合う角は一般に複数あり、その後の増減まで見なければ選べません。座標の正方向と波の進む向きを分け、同じ山を追って式を作ります。

式を作る前に決めること

典型的な問いは、原点の振動から進行波の式を作るもの、時刻0の波形から逆向きに進む式を作るもの、式から進行方向と初期状態を読み取るものです。いずれも変位の正方向、位置xの正方向、時刻tの原点を先に固定します。位置は媒質の各点の平衡位置、変位yはそこからのずれです。波形が右へ進んでも、媒質の点が右へ運ばれるという意味ではありません。

目標は、式を暗記して符号を当てることではなく、原点の条件と山の移動を別々に満たすことです。以下では一定の振幅A、波長λ、周期Tをもつ正弦波が、形と速さを変えずに進むとします。A、λ、Tは正で、波の速さはv = λ/Tです。有限の波がまだ届かない領域や、反射によって形が変わる場合は、この単一の進行波をそのまま全域に使えません。

位相を動かして波形を運ぶ

正弦の中の角を位相と呼びます。角はラジアンで表し、1周は2πです。例えばπ/2は直角、πは半周に当たります。波長だけ位置をずらすと位相は2π変わり、周期だけ時刻を進めても位相は2π変わります。位置と時刻を別々に増やしたときの位相の変化量は、それぞれ2π・x/λ、2π・t/Tと書けます。

時刻0の波形を y = A・sin(2π・x/λ + φ) とします。φは原点の初期位相です。正のx方向へ速さvで進むなら、時刻tに位置xに来た形は、最初に位置x − v・tにあった形です。したがって初期波形のxをx − v・tに置き換えます。

y = A・sin(2π・(x − v・t)/λ + φ)

v = λ/Tを代入すると、y = A・sin(2π・x/λ − 2π・t/T + φ)です。逆向きなら、現在のxに来た形は最初のx + v・tにあり、時間の項は正になります。図1のように、同じ位相の印をたどると、この符号を確かめられます。

図1では印が右へ移ります。正方向の式の位相を一定のCとすると、2π・x/λ − 2π・t/T + φ = Cです。これをxについて解けば、x = v・t + 定数です。時間とともにxが増えるので右向きです。逆に時間項が正ならx = -v・t + 定数となり左向きです。位相に2πの整数倍を加えても同じ変位なので、同じ形の印は波長ごとに繰り返されます。ここで追うのはそのうち連続して移動する一つです。

初期位相の決定には注意が必要です。y(0, 0) = A・sin(φ)からsin(φ)の値は決まっても、同じ正弦値を持つ角が複数あります。原点でその直後に変位が増えるか減るかも確認します。例えば正方向の式では、原点の位相は時間とともに減ります。したがって原点の変位が増えるかどうかは、正弦曲線を位相の減る向きにたどって調べます。最大値や最小値から出発すると、初めの瞬間の傾きはゼロです。その場合は直後の変化、または別の時刻の値を使います。

基本例題：原点の変位と増減から作る

正のx方向が右、変位の正方向が上です。振幅4 cm、波長8 m、周期2 sの波が右へ進みます。時刻0に原点の変位は2 cmで、直後に上向きへ増加します。yをcm、xをm、tをsで表し、初期位相を0以上2π未満として式を求めてください。sin(π/6) = 1/2、sin(5π/6) = 1/2を用います。答えはπを含む正確な式にします。

まず波の速さは8/2 = 4 m/sです。右向きなので位相を2π・x/8 − 2π・t/2 + φと置きます。原点の時刻0では次のようになります。

y(0, 0) = 4・sin(φ) = 2

sin(φ) = 1/2

指定範囲の候補はφ = π/6、5π/6です。原点では時間が進むと位相が減ります。π/6から少し減ると正弦値は減りますが、5π/6から少し減ると正弦値は増えます。したがって条件に合うのは5π/6です。

y = 4・sin(π・x/4 − π・t + 5π/6) cm

図2のように初期波形の印を右へ運んでも、同じ符号を確かめられます。図の横軸は位置、縦軸は変位で、2本はそれぞれ指定された一瞬の波形です。t = 0の山の一つは位相π/2よりx = -4/3 m、t = 1/2 sではx = 2/3 mです。2 m右へ移動し、速さ4 m/sと一致します。

答えにx = 0、t = 0を戻すと2 cmです。さらに原点でtをわずかに正にすると位相は5π/6から小さくなり、変位は増えます。波長8 mだけxを増やすと位相が2π増え、周期2 sだけtを増やすと位相が2π減って同じ値に戻ります。初期値、増減、周期性、移動方向を別々に点検することで、符号違いを見つけやすくなります。

標準例題：左向きの波を時刻0の形から作る

位置xの正方向は右、変位yの正方向は上です。時刻0の波形が y = 3・sin(π・x/3 + π/3) cmで表され、波は左向きに2 m/sで進みます。xはm、tはsとし、任意の時刻の式と周期を正確な値で求めてください。sin(π/3) = √3/2を使います。

初期波形のxをx + 2・tに置くと、y = 3・sin(π・(x + 2・t)/3 + π/3) cmです。位置を6 m増やすと位相が2π増えるため、波長は6 mです。周期は6/2 = 3 sとなります。時間項の係数も2π/3なので同じ周期です。

別の考え方では、まず y = 3・sin(2π・x/6 + 2π・t/T + π/3) と置きます。左向きですから時間項は正、速さ2 m/sからT = 3 sと求めます。初期波形を移動する方法と、波長・周期から組み立てる方法が一致します。どちらも時刻0を代入すると元の波形に戻ります。

例えば初期波形の位相π/2の山はx = 1/2 mにあります。1 s後にはx = -3/2 mで位相がπ/2となり、2 m左に進みます。原点の初期変位も3√3/2 cmに戻ります。初期位相を省いた式では原点の値が0になり、この条件を満たしません。

発展例題：同じ初期値から二つの可能性を分ける

右向きに進む波の振幅は2 cm、波長は12 m、周期は4 sです。xの正方向は右、yの正方向は上とします。時刻0の原点の変位は1 cmで、時刻2/3 sの原点の変位は2 cmです。xはm、tはs、yはcmで表し、初期位相を0以上2π未満として式を求めてください。sin(π/6) = sin(5π/6) = 1/2を用い、答えは正確な式とします。

右向きなので y = 2・sin(π・x/6 − π・t/2 + φ) と置きます。初期値からφの候補はπ/6と5π/6です。時刻2/3 sまでに原点の位相はπ/3減ります。φ = π/6なら位相は-π/6で変位は-1 cm、φ = 5π/6なら位相はπ/2で変位は2 cmです。後者が条件に合います。

よって y = 2・sin(π・x/6 − π・t/2 + 5π/6) cmです。元の時刻に戻すと1 cmと2 cmが得られます。また位相一定の山は4 sに12 m右へ進み、速さは3 m/sです。初期値だけでは候補を選べず、後の測定が向きを決める情報になります。後の値が候補のどちらにも合わなければ、計算だけでなく、右向き・周期一定・時刻の基準という前提も見直します。

観測から式を作るときの設計

長いばねや波を表示する装置で、学校の指導の下、位置を固定した記録と、同じ時刻に複数位置を記録した波形を比べることを考えます。装置の扱いは指導者の指示に従います。位置ごとの山の間隔からλ、同じ位置で山が続けて現れる間隔からTを読み、時間を隔てた2枚の波形で同じ山の移動方向を調べます。原点付近の値とその直後の増減を記録すれば初期位相も選べます。

グラフの横軸が位置なら、その傾きは同時刻に隣の位置で変位がどう変わるかを示します。横軸が時刻なら、同じ点での変位の増減です。右向きに形が保たれる波では、初期波形の右側へ進むことと原点で時間を進めることは逆向きに対応します。初期波形が原点で右上がりなら、原点の変位は直後に減ります。軸を確認せず両方の傾きを同じ意味にすると、位相の候補を逆に選びます。

山の位置を目盛りの間から読むと、2回の読み取りの誤差が移動距離に含まれます。短すぎる時間差では移動量が読み取り幅に埋もれ、長すぎると隣の山を同じ山と取り違えやすくなります。複数の時刻を取り、隣接する記録を順に対応させて移動距離と時間の比例を確かめます。複数周期の時間を測って周期数で割ると、端の読み取りの影響を小さくできます。ただし波形が変形していれば、一定の速さの式を当てる前提自体を再検討します。

符号を間違えた答案を直す

基本例題で、初期値だけを見て y = 4・sin(π・x/4 − π・t + π/6) と書いたとします。原点の初期変位は確かに2 cmです。しかし図3のように原点の位相は時間とともに減り、π/6から左へたどると正弦値も減ります。与えられた直後の増加に反します。

図3のもう一方の候補5π/6では、位相が減ると正弦値は増えます。したがって初期位相を5π/6に直します。別の誤りとして、右向きだから時間項を正にする答案もあります。その式では位相一定の点が左へ進むので、初期値が合っていても不適切です。初期条件は原点に代入して、方向は同じ位相の点の移動を追って、それぞれ検査します。

練習：条件から波を特定する

いずれもxの正方向は右、変位yの正方向は上とし、xはm、tはs、yはcmで表します。波は形を変えずに進みます。必要ならsin(π/6) = 1/2、sin(π/3) = √3/2、sin(5π/6) = 1/2を使い、答えはπや根号を含む正確な形で示してください。

1. 振幅6 cm、波長10 m、周期5 sの波が右向きに進みます。原点の時刻0の変位は3 cmで、直後に減少します。初期位相を0以上2π未満として式を求めてください。
2. 時刻0の波形は y = 5・sin(π・x/2) cmです。波が左へ3 m/sで進むとき、式と周期を求めてください。
3. y = 2・sin(π・x/4 + π・t/3 + π/3) cmで表される波について、波長、周期、速さと進行方向を求めてください。
4. 左向きの波の振幅は8 cm、波長は6 m、周期は3 sです。原点の時刻0の変位は4 cmで、直後に減少します。初期位相を0以上2π未満として式を求めてください。
5. 右向きの波の振幅は10 cm、波長は4 m、周期は2 sです。時刻0に原点の変位は5 cm、時刻1/3 sには-5 cmです。初期位相を0以上2π未満として式を求めてください。

練習の答えと途中式

1. 右向きなので y = 6・sin(π・x/5 − 2π・t/5 + φ) と置きます。sin(φ) = 1/2から候補はπ/6と5π/6です。時間とともに原点の位相が減り、変位も減るのはπ/6です。答えは y = 6・sin(π・x/5 − 2π・t/5 + π/6) cmです。原点で3 cmとなり、波は5 sに10 m右へ進みます。

2. 初期波形のxをx + 3・tに置き、y = 5・sin(π・(x + 3・t)/2) cmです。波長は4 mなので周期は4/3 sです。t = 0で与えられた形に戻り、例えば初期の山x = 1 mは1 s後にx = -2 mへ移ります。

3. 位置の係数からλ = 8 m、時間の係数からT = 6 sです。速さは8/6 = 4/3 m/sです。位相一定の点は時間とともにxが減るため左向きです。6 sで8 m左へ進み、元の位相へ戻ることでも照合できます。

4. 左向きでは y = 8・sin(π・x/3 + 2π・t/3 + φ) です。sin(φ) = 1/2で、時間とともに位相が増えて変位が減る候補は5π/6です。答えは y = 8・sin(π・x/3 + 2π・t/3 + 5π/6) cmです。原点で初期値4 cmを与え、位相一定の点は3 sに6 m左へ進みます。

5. 右向きなので y = 10・sin(π・x/2 − π・t + φ) と置きます。初期値からφはπ/6か5π/6です。1/3 s後の原点の位相はそれぞれ-π/6、π/2なので、変位は-5 cm、10 cmです。よって y = 10・sin(π・x/2 − π・t + π/6) cmです。指定された2時刻の値に戻り、2 sに4 m右へ進みます。

手元に残す要点

• 初期波形を右へ運ぶならxをx − v・tに、左へ運ぶならx + v・tに置き換えます。
• 初期変位は位相の候補を与え、直後の増減や別時刻の値が候補を絞ります。
• 位相一定の点の位置が時間とともに増えるか減るかで進行方向を確かめます。
• 位置の周期がλ、時間の周期がTで、v = λ/Tです。

どこで止まったかを見分ける

原点の値が合わなければ初期位相を、値は合うが増減が逆なら候補の選択を見直します。両方が合っても移動が逆なら時間項の符号が問題です。個別指導で確かめるなら、まず初期波形に印をつけ、少し後にその印がどちらへ移るかを図に描きます。次に原点での位相の動きと変位の増減を口頭で説明し、最後に式へ2つの時刻を代入します。測定値がどの候補にも合わない場合は、記録の軸や時刻の基準、波形が保たれるという仮定まで戻ります。位相の符号は、同じ波の形を追うことで決まります。