高校物理 縦波の変位表示—粒子の並びと変位の傾きから密と疎を判断する｜武蔵野個別指導塾

元の位置と移動後の間隔を比べ、変位グラフの傾きから粒子の密集を読み解く縦波の変位表示。

よくあるのは、高校生が縦波の変位グラフを見て、変位が最大の粒子の周囲を最も密だとする場面です。山の頂点は目立ちますが、その高さは粒子が元の位置からどれだけ動いたかを表します。周囲の粒子との間隔は、それぞれの移動先を比べないと決まりません。山の頂点付近では隣の粒子もほぼ同じ向きに同じだけ動くため、最大変位と最大の密集は一致しません。

この読み方は、一直線に並ぶ粒子がその直線に沿って動く縦波を対象にします。横軸に元の位置を取り、ある一瞬の変位を描いた図を扱います。圧力との対応は扱わず、粒子の間隔と変位に焦点を絞ります。粒子が元の順番を保ち、隣り合う粒子の間隔が正である状況を考えます。

何を比べる図なのか

問いの型は主に3つあります。変位グラフから密な部分と疎な部分を選ぶ問い、複数の粒子の移動先を計算して並びを描く問い、観察結果からグラフの傾きを推定する問いです。どれも、変位の正負と粒子間隔の増減を別々に判定します。正の変位は右向きの移動を意味しますが、それ自体は密か疎かを決めません。

到達点は、ある粒子の変位を読むだけで終わらず、その左右の粒子の移動先を求めて間隔を比較できることです。密集の中心を探すときは、グラフが最も急に下がる場所を候補にします。ただし、粒子が有限間隔で並ぶ具体的な問題では、対象とする2粒子の間の変位の差を直接確かめます。

元の位置と移動先を結ぶ

右向きを正に取ります。元の位置を x、固定した時刻の変位を u とすると、移動後の位置は x + u です。横軸の x は移動後の位置ではありません。縦軸の u が負なら、元の位置から左へ移動しています。縦波を上下の曲線で描いても、粒子が上下に振動することは意味しません。縦の高さは直線に沿う変位の符号と大きさを読みやすくするための表示です。

元の位置が左から x₁、x₂ の2粒子を考えます。x₂ は x₁ より大きく、それぞれの変位を u₁、u₂ とします。元の間隔を d、移動後の間隔を D とすると、

d = x₂ − x₁

D = (x₂ + u₂) − (x₁ + u₁) = d + (u₂ − u₁)

です。右側の粒子の変位が左側より小さいと、D は d より小さくなります。左の粒子が右へ、右の粒子が左へ動く場合はもちろん、両方が右へ動いていても左の粒子の移動が大きければ間隔は縮みます。逆に右側の変位が大きければ間隔は広がります。両者の変位が等しければ、2粒子は同じだけ平行移動し、間隔は変わりません。

図1のように、元の位置を等間隔に取って移動先を矢印で結ぶと、変位そのものと間隔の変化を別々に見られます。左側が右へ、右側が左へ動く区間では粒子が近づきます。粒子の個数が同じ区間で、その区間の長さが短くなれば単位長さあたりの粒子数は増えます。これをここでは密と呼びます。長くなれば疎です。粒子が区間の外へ出入りする位置で個数だけを数えると比較を誤るので、同じ粒子の組を追います。

グラフの傾きは、横軸を右へ進んだときの変位の増減を表します。十分近い2粒子について、右下がりなら u₂ − u₁ が負で密、右上がりなら正で疎です。傾きが0なら、その近くの間隔の変化は小さくなります。最も急な右下がりは最も強い密集、最も急な右上がりは最も強い希薄化に対応します。直線部分では傾きが一定なので、その部分に元から等間隔にあった粒子の間隔は一様に変化します。

滑らかな山の頂点では傾きが0です。その粒子は大きく移動していても、すぐ隣の粒子もほぼ同じ変位を持ちます。したがって近傍の間隔は元の間隔に近くなります。一方、変位が0の点でも、左右の粒子がその点へ向かって動くなら密です。変位が0という事実と、その前後で変位がどう変わるかは別の情報です。

基本例題：3粒子の移動先

一直線上に粒子 A、B、C があり、元の位置はそれぞれ 0 cm、2 cm、4 cm です。右向きを正とし、ある時刻の変位は順に +0.5 cm、0 cm、-0.5 cm です。移動後の位置と隣り合う間隔を cm 単位の小数で求め、元より密か疎かを判定してください。粒子の順序は保たれます。

図2のように、まず変位を元の位置に加えます。矢印の先が移動後の位置です。

A: 0 + 0.5 = 0.5 cm

B: 2 + 0 = 2.0 cm

C: 4 − 0.5 = 3.5 cm

したがって A と B の間隔は 2.0 − 0.5 = 1.5 cm、B と C の間隔は 3.5 − 2.0 = 1.5 cm です。どちらも元の 2 cm より短く、密になっています。B 自身の変位は0ですが、両側の粒子が B に近づくので、その周囲は密です。

別の見方では、隣の変位差はいずれも -0.5 cm です。元の間隔 2 cm に足すと 1.5 cm が得られます。移動先から引き算する方法と変位差を使う方法の両方で同じ結果になるか確認しましょう。符号を取り違えた場合、移動先を数直線上に置き直すと、どちらの粒子がどちらへ動いたかを再確認できます。

標準例題：山と谷の間を読む

ある時刻、右向きを正とする変位が u = 2・cos(2πx/12) cm で与えられます。x は元の位置を cm で表し、0 cm から 12 cm の範囲を考えます。cos(0) = 1、cos(π/2) = 0、cos(π) = -1、cos(3π/2) = 0、cos(2π) = 1 とします。元の位置 0、3、6、9、12 cm の各粒子の移動先を求め、隣接する4組のうち間隔が縮む組と広がる組を答えてください。長さは cm 単位の整数で表します。

変位は順に 2、0、-2、0、2 cm です。移動先は順に 2、3、4、9、14 cm となります。元の隣接間隔は各 3 cm、移動後は順に 1、1、5、5 cm です。よって 0〜3 cm と 3〜6 cm の組は縮み、6〜9 cm と 9〜12 cm の組は広がります。移動先も左から 2、3、4、9、14 cm と並び、粒子の順序は保たれています。

別解では変位差だけを比較します。4組について右側から左側を引くと、順に -2、-2、+2、+2 cm です。これを元の間隔 3 cm に足すと同じ4つの間隔になります。図の山から谷へ下る範囲で密、谷から次の山へ上る範囲で疎という読み方とも一致します。ただし4組は有限の幅を持つため、それぞれの間隔は両端の差で決まります。区間内の1点で見た傾きだけをそのまま全区間の間隔と混同しないようにします。

正弦波の山と谷では、変位は最大または最小ですが傾きは0です。山から谷へ向かう途中の x = 3 cm 付近では、左に正の変位、右に負の変位があり、粒子が寄ります。谷から山へ向かう x = 9 cm 付近ではその反対です。ここでの「付近」は微小な間隔の比較を意味し、有限幅の4組の計算とは区別します。

発展例題：間隔から変位差を戻す

元の位置が 0 cm、4 cm、8 cm、12 cm の粒子 P、Q、R、S が並びます。ある時刻、移動後の P と Q の間隔は 3 cm、Q と R は 5 cm、R と S は 4 cm です。P の変位は +1 cm で、順序は保たれています。残りの粒子の変位を cm 単位の整数で求め、各組の密疎を答えてください。

P の移動先は 0 + 1 = 1 cm です。間隔を順に右へ足すと、Q は 1 + 3 = 4 cm、R は 4 + 5 = 9 cm、S は 9 + 4 = 13 cm です。元の位置を引けば、Q の変位は 0 cm、R と S の変位はともに +1 cm です。間隔を元の 4 cm と比べると、P・Q 間は密、Q・R 間は疎、R・S 間は変化なしです。

変位差からも求められます。移動後の間隔から元の間隔を引くと、順に -1、+1、0 cm です。P の +1 cm から順にこれらを加えると 0、+1、+1 cm になります。答えを元の条件に戻すと移動先は 1、4、9、13 cm で、差は 3、5、4 cm です。間隔だけでは全粒子を同じ距離だけ移した場合を区別できません。P の変位が与えられて初めて、各粒子の絶対的な移動先が定まります。

紙上の観察を設計する

粒子の並びを調べるなら、同じ粒子を識別できる印を等間隔に付け、基準位置と同じ時刻の位置を対応させます。例えば学校の指導の下で、横方向に動く模型を固定した目盛りとともに撮影する設計が考えられます。波が進む向きと粒子が動く向きの両方を図に記し、各印について移動後の座標から元の座標を引けば変位が得られます。複数の印の撮影時刻をそろえなければ、一瞬の空間分布を作れません。

誤差には、印の中心を読む幅、目盛りの視差、撮影時の時間差があります。隣り合う2粒子の位置を別々に読むので、間隔の誤差には両方の読み取り誤差が影響します。例えば各位置の読み取りが最大 0.1 cm ずつずれるなら、間隔のずれは最大 0.2 cm になりえます。元の間隔との差がそれより小さい場合、密疎を断定する前に測定の分解能を上げたり繰り返してばらつきを調べたりします。

粗い間隔の印では、波形の細かな変化を見落とします。一方、近すぎる印では変位差が位置読み取りの誤差に埋もれます。間隔を変えた測定を比較し、移動先から計算した間隔と変位グラフからの判定が整合するかを確認します。観察に失敗して印が隠れたり時刻がずれたりしたときは、欠けた粒子の移動先を想像で補わず、同時に識別できた範囲を撮り直します。

山の高さで密と決めたとき

誤答の例は「変位が最大の山の頂点が最も密」です。原因は、グラフの高さを粒子の密度と読み替えたことにあります。高さは1粒子の移動量です。密疎は複数の粒子の間隔であり、見るべき量が異なります。

図3のように、山の頂点付近では隣同士の変位がほぼ等しく、粒子はほぼ同じだけ動きます。右下がりの部分では左の粒子の変位が右より大きく、間隔が縮みます。修正するときは、隣り合う2点の縦座標を読み、それぞれの元の位置に足して移動先を並べます。この操作なら、右下がりという記憶が曖昧でも結論を導けます。

別の誤答は「負の変位は密、正の変位は疎」です。どちらも移動方向を示す符号であって、密疎を決めるのは隣の変位との差です。両方が負でも右側の変位がより負なら、右側の粒子が左へ大きく動いて間隔は縮みます。グラフの横軸を移動後の位置と取り違えた場合も、各点の x を元の位置として読み直します。

練習：粒子の間を追う

各問は右向きを正とし、粒子の順序は保たれます。長さの答えは cm 単位で表し、割り切れない場合は分数で表してください。

1. 元の位置が 1 cm と 5 cm の2粒子の変位は、それぞれ +1 cm、-1 cm です。移動後の間隔を求め、密疎を判定してください。
2. 元の位置が 2 cm と 8 cm の2粒子の変位は、それぞれ -2 cm、+1 cm です。移動後の位置と間隔を求めてください。
3. 元の位置が 0 cm と 10 cm の粒子の変位がともに +3 cm です。間隔と密疎を答えてください。
4. 元の間隔が 8 cm の2粒子の移動後の間隔が 6 cm です。左の粒子の変位が -1 cm のとき、右の粒子の変位と密疎を求めてください。
5. ある時刻の変位グラフについて、元の位置 0 cm から 6 cm まで変位が +2 cm から -1 cm へ直線的に変化します。元の位置 2 cm と 4 cm の粒子の移動後の間隔を求め、密疎を判定してください。

練習の解答と途中式

1. 移動先は 1 + 1 = 2 cm、5 − 1 = 4 cm です。間隔は 4 − 2 = 2 cm です。元の 4 cm より短く密です。移動先の差を取り直すと 2 cm で条件に合います。
2. 移動先は 2 − 2 = 0 cm、8 + 1 = 9 cm です。間隔は 9 − 0 = 9 cm です。元の 6 cm より広がり、疎です。変位差 +3 cm を元の間隔に加えても 9 cm です。
3. 移動先は 3 cm と 13 cm です。間隔は 13 − 3 = 10 cm で、元の間隔と同じです。両者の変位差は0なので、密疎の変化はありません。
4. 変位差は 6 − 8 = -2 cm です。右の変位は -1 − 2 = -3 cm、間隔は縮むので密です。左の元の位置を0とすれば移動先は -1 cm と 8 − 3 = 5 cm で、間隔は 6 cm に戻ります。
5. 直線は 1 cm 進むごとに変位が 0.5 cm 減ります。2 cm の粒子の変位は +1 cm、4 cm の粒子の変位は 0 cm です。移動先は 3 cm と 4 cm、間隔は 1 cm です。元の 2 cm より短く密です。移動先を引き直しても 1 cm です。

手元に残す要点

元の位置に変位を足すと移動先です。 隣の粒子の変位差を元の間隔に足すと移動後の間隔です。 右下がりは密、右上がりは疎を示します。 変位の最大と密集の最大は区別します。 粒子の順序を保つ条件と測定誤差も確かめます。

どこで止まったかを見分ける

移動先を求められない場合は、数直線に元の位置と正方向を書き、負の変位なら左へ動かすところから確かめます。移動先は正しくても密疎が逆になる場合は、元の間隔と移動後の間隔を同じ2粒子について並べて比べます。山を密と答えた場合は、山の両側に近い2点を取って変位差を読み、その差が小さいことを説明します。

個別指導で確認するときも、答えの語だけでなく、2粒子の位置、各変位、移動後の差を一行ずつ示せるかが手掛かりになります。グラフから直接判定できたら、粒子の並びに戻して同じ結論になるかを確かめます。変位の高さから目を離し、隣同士の差を見ることで縦波の密疎が見えてきます。