高校物理 力学 転倒と滑りの境界—二つの限界条件を比べて先に起こる動きを見分ける｜武蔵野個別指導塾

押す高さで床からの力の作用点が移る理由をたどり、摩擦の限界と比べて見極める転倒と滑りの境界。

よくあるのは、高校生が細長い箱を横から押す場面で、摩擦の限界だけを調べて滑ると決めるという場面です。押す力が増えると、床が箱を上向きに支える力の合計は変わらなくても、その作用点は押す向きの端へ移ります。端に達すれば、それ以上は床の内側に作用点を置いて静止を保てません。

滑りと転倒は、同じ力を増やしたときに競う二つの限界です。どちらの式も、箱がまだ静止し、底面が床に接している間の条件から作ります。限界後の回転速度や倒れるまでの時間は、この静止の計算からは求めません。

どちらの限界に先に届くか

問いの形は主に二つあります。押す高さと摩擦係数から先に起こる運動を選ぶ形と、動き出す直前の作用点や押す力を求める形です。さらに高さを変えて、転倒と滑りの境目を求めることもできます。どの場合も、床からの力の大きさと作用点が両方とも許される範囲にあるかを調べます。

箱は一様で重心が中央にあり、水平な床に置かれています。押す力は水平で右向き、重力は鉛直下向きです。押す力をゆっくり増やし、静止中のつり合いを近似します。床は箱を引き下げられず、静止摩擦力には上限があります。底面の変形や衝撃は無視し、接触力の合力を底面上の1点に描きます。

床の力が移動する理由

図1のように、底面の左右の端の距離を2a、重心を通る鉛直線から右端までの距離をaとします。箱の重さをW、床からの垂直抗力の合力をN、静止摩擦力の大きさをf、右向きの押す力をP、床から押す点までの高さをhとします。Nの作用点の中央から右への距離をxとし、右端をx=aとします。奥行き方向には対称に押すとします。

図1では、Pは押す点、Wは重心、Nとfは床との接触部に働きます。右へ滑ろうとする傾向を妨げる摩擦は左向きです。静止中の水平、鉛直の力のつり合いは、それぞれf=P、N=Wです。床面上の重心直下を回転の基準に取ると、摩擦と重力はそこを通りモーメントを持ちません。反時計回りを正とすれば、NのモーメントNxと、Pの時計回りのモーメントPhがつり合います。

Nx - Ph = 0
x = Ph/W

この式は、Nの大きさがWのままでも、Pまたはhが増えると作用点が右へ移ることを示します。作用点が右端に達する条件x=aから、hが正のとき転倒の限界はP倒=Wa/hです。右端を基準にしても、重力の反時計回りのモーメントWaと押す力の時計回りのモーメントPhが等しく、同じ式になります。両方の基準で同じ結果になるのは、力のつり合いも満たしているためです。

静止摩擦係数をμとすると、静止を保つ摩擦の条件はf≦μNです。したがってP≦μWで、滑りの限界はP滑=μWです。一方、床が押し返す力は底面の外に作用できないので、転倒しない条件はx≦a、すなわちPh≦Waです。両方の不等式が静止に必要です。等号は限界を表し、その瞬間に有限の速度で動いているという意味ではありません。

P倒とP滑を比べ、前者が小さければ転倒側、後者が小さければ滑り側が先です。等しいと両限界に同時に達します。境界の高さはh=a/μです。ただしμ>0、h>0とします。μ=0なら正の水平力で静止摩擦を保てず、h=0ならこのモデルでは水平力による転倒のモーメントは生じません。重さWは両限界の比較から消えますが、各限界の力そのものには比例します。

次元を調べるとWa/hもμWも力の単位です。hを高くすると同じPでもモーメントが増え、転倒限界は小さくなります。摩擦係数を大きくすれば滑りの限界は上がりますが、転倒限界は変わりません。これは箱と床の接触が保てる間の結果で、限界を超えた運動まで示す式ではありません。

基本例題：高い位置を押す

重さ40 N、底面の幅0.40 mの一様な箱を水平な床に置きます。静止摩擦係数は0.50です。床から0.80 mの位置を右向きにゆっくり押すとき、先に達する限界とその力を求めてください。力は整数のNで答えます。図2の寸法と力はこの条件に対応します。

図2の底面の半幅はa=0.20 mです。静止中はN=40 N、f=Pなので、摩擦限界は20 Nです。転倒限界は右端のまわりで考えると次のようになります。

P倒・0.80 = 40・0.20
P倒 = 10 N
P滑 = 0.50・40 = 20 N

10 Nの方が小さいので、転倒側の限界が先です。値を場面に戻すと、押す力のモーメントは8.0 N・m、重力のモーメントも8.0 N・mです。必要な摩擦10 Nは最大20 N以内ですから、右端を支点とする限界まで滑らずに到達できます。10 Nのときx=(10・0.80)/40=0.20 mとなり、作用点も右端に一致します。

逆に20 Nまで静止していると仮定すると、x=0.40 mです。これは底面の右端0.20 mを超えます。摩擦限界だけを使った計算値そのものは正しくても、その状態に至る前に静止の接触条件が破れています。

標準例題：低い位置を押す

重さ60 N、底面の幅0.60 mの一様な箱を、静止摩擦係数0.20の水平床に置きます。床から0.30 mの位置を右向きにゆっくり押します。先に達する限界、そのときの押す力と作用点の中央からの距離を求めてください。力は整数のN、距離は小数第2位までのmで表します。

半幅は0.30 mです。滑りの限界は0.20・60=12 N、転倒の限界は(60・0.30)/0.30=60 Nです。よって滑り側が先で、そのときの作用点は次の位置です。

x = (12・0.30)/60
x = 0.06 m

床は12 Nの左向き摩擦と60 Nの上向き垂直抗力を及ぼします。押す力のモーメント3.6 N・mを、垂直抗力のモーメント60・0.06=3.6 N・mが打ち消します。作用点は右端の0.30 mより内側にあり、滑り限界へ到達するまで転倒の条件も満たします。限界を超えた後の加速度を計算するには、静止摩擦係数とは別に動摩擦の条件が必要です。

発展例題：高さを変える

重さ80 N、底面の幅0.80 mの一様な箱を水平床に置きます。静止摩擦係数は0.40です。押す位置の高さhを変え、水平な力を右向きにゆっくり増やします。二つの限界が同時となる高さを小数第1位までのmで求め、h=0.50 mとh=1.50 mではどちらが先か、限界の力を整数のNで答えてください。

半幅は0.40 m、滑り限界は32 Nです。転倒限界は32/h Nです。両者を等しくするとh=1.0 mです。高さ0.50 mでは転倒限界64 Nより滑り限界32 Nが小さく、高さ1.50 mでは転倒限界は(64/3) Nですから滑り限界より小さくなります。後者の力は整数指定では表せないので、正確な値を(64/3) N、整数に丸めた値を21 Nとします。

別の見方では、滑り限界32 Nで作用点がどこにあるかを調べます。x=32h/80=0.40hなので、h=0.50 mならx=0.20 mで底面内、h=1.50 mならx=0.60 mで右端を超えます。後者では滑り限界に達する前に転倒側の限界が来ます。境界h=1.0 mではx=0.40 mとなり、同時に摩擦も最大です。

この別解は滑り限界まで静止が可能かの判定に便利です。ただし右端を超える結果は実際の作用点を示すのではなく、その仮定が成立しない印です。転倒限界の式も、実際にそこまで滑らず到達するかを摩擦の不等式で確かめて初めて使えます。同時のときは二つの制約が同時に限界となり、限界後にどちらの運動が優勢かは、この静止モデルだけでは決まりません。

押す高さを変える観察

学校の指導の下で、低い位置と高い位置に印を付けた箱を水平な台上でゆっくり押す観察を設計します。転倒や落下を防ぐ囲いを設け、指導者が安全を確かめます。独立に変える量は押す高さh、測る量は動き始める直前の水平力です。箱、床の材質、底面の向き、荷重、押す方向と力の増やし方をそろえます。各高さで繰り返し、滑りか端を中心とする浮き上がりかを記録します。

横軸を高さh（m）、縦軸を限界の力P（N）とします。理想モデルでは低い側の滑り限界は水平な線、高い側の転倒限界はWa/hの曲線です。観測される静止限界は小さい方で、両者の交点が境目です。転倒側に限って横軸を1/h（1/m）にすれば、縦軸Pとの関係は原点を通る直線で、傾きはWa、単位はN・mです。滑り側まで混ぜて直線に当てはめると、この傾きの解釈は崩れます。

力の測定器の零点ずれや、押す力が少し上向きになる癖は繰り返しても残りやすい系統誤差です。上向き成分があればNが小さくなり、水平押しのモデルから滑り限界がずれます。読み取りの揺れや動き始めを判定する時点のばらつきは偶然誤差の例です。高さを測る基準を床面にそろえ、零点を確認し、繰り返しの散らばりも示します。床の凹凸や箱の変形で接触の分布が変われば、理想的な端での限界からずれるため、その差を直ちに計算ミスとは決められません。

誤答を力の図から直す

図3のように「床の摩擦はまだ最大に達していないから箱は静止する」と判断する誤りを考えます。摩擦の条件は必要ですが、それだけでは回転のつり合いを保証しません。押す高さが高いほど、同じ水平力でも時計回りのモーメントが大きくなります。

図3では、摩擦が許容範囲内でも、つり合いに必要なNの作用点が底面の外に出ています。床はその位置で箱を支えられないため、この静止状態は不可能です。修正するときは、まずf=PとN=Wを立て、次にx=Ph/Wを求めて0≦x≦aかを確かめます。右向きに押す今回の条件でxは非負です。最後にP≦μWを照合すれば、力とモーメントの両方の条件を確認できます。

もう一つの誤りは、右端を支点にした式に垂直抗力のモーメントを加えることです。転倒限界ではNの作用線が支点を通るため、その腕の長さは0です。中央を基準にする場合はNの腕がxとなります。基準点を変えても同じ力を消したり追加したりせず、各力の作用線から垂直距離を測ります。

自分で判定する5問

各箱は一様で、水平床上に静止しています。押す力は床面から指定の高さで右向きにゆっくり増やし、奥行き方向には対称に加えます。重さを使い、重力加速度の数値は不要です。答えは指定の形で表してください。

1. 重さ30 N、底面幅0.20 m、摩擦係数0.60の箱を高さ0.50 mで押します。先の限界と力を整数のNで求めてください。
2. 重さ50 N、底面幅0.50 m、摩擦係数0.30の箱を高さ0.25 mで押します。先の限界と、そのときの作用点の距離を小数第3位までのmで求めてください。
3. 重さ90 N、底面幅0.60 m、摩擦係数0.25の箱で、両限界が同時になる高さと力を小数第2位までのmとNで求めてください。
4. 重さ24 N、底面幅0.40 m、摩擦係数0.50の箱を高さ0.60 mで6 Nの力で押します。静止可能か、作用点の距離を小数第2位までのmで示して判定してください。
5. 重さ72 N、底面幅0.60 mの箱を高さ0.90 mで押します。転倒側の限界が滑り側より先になる摩擦係数の範囲を分数で答えてください。

答えと戻し方

1. 半幅は0.10 mです。転倒限界は30・0.10/0.50=6 N、滑り限界は0.60・30=18 Nですから転倒側が先です。6・0.50=3.0 N・mは30・0.10と等しく、必要な摩擦6 Nは18 N以下です。

2. 半幅0.25 mより転倒限界は50 N、滑り限界は15 Nです。滑り側が先で、x=15・0.25/50=0.075 mです。50・0.075=15・0.25でモーメントがつり合い、0.075 mは右端0.25 mの内側です。

3. 半幅0.30 mなので、境界の高さは0.30/0.25=1.20 mです。限界の力は0.25・90=22.50 Nです。22.50・1.20=27.0 N・mは90・0.30と等しく、摩擦も最大値に一致します。

4. N=24 N、必要な摩擦は6 Nで、最大値12 N以下です。x=6・0.60/24=0.15 mは右端0.20 mの内側です。24・0.15=6・0.60で回転もつり合うので、静止可能です。

5. 転倒限界は72・0.30/0.90=24 N、滑り限界は72μ Nです。24<72μを解き、μ>1/3です。境界μ=1/3では両方24 Nとなり、転倒限界での必要摩擦24 Nが最大値に等しいので、厳密に先となる範囲には含めません。

覚えておくこと

力のつり合いからN=W、f=Pです。 作用点はx=Ph/Wで、底面内にある必要があります。 転倒限界Wa/hと滑り限界μWの小さい方に先に達します。 同時の限界の後の運動は静止の式だけでは決まりません。

つまずきを見分ける

作用点が底面の外に出たとき、その値を実在の接触位置として扱っていないか確かめます。次に、右端と中央のどちらを基準にしても同じ限界が出るよう、力の作用線と腕の長さを描き直します。個別指導で確認するときは、摩擦の上限を満たすことと、モーメントを支えられることをそれぞれ自分の言葉で説明してみてください。二つの条件を重ねると、箱が動き出す境界が見えてきます。