高校物理 力学 重心と支持力—分布した重さをまとめて支持点ごとの力を求める｜武蔵野個別指導塾

穴の位置が左右の支えにどう映るか、重心と支持力で追います。

よくあるのは、高校生が板に穴を切り抜いた後、その穴にも正の質量を足して重心を求める場面です。穴の位置は確かに計算に登場します。しかし、その場所に物質が残っているわけではありません。元の板から失われた部分の寄与として差し引く必要があります。

重心が求まると、板全体の重力をどこにまとめて作用させればよいかが定まります。そこから左右の支持力を求めるには、力の合計と回そうとするはたらきを別々に確かめます。板が浮かずに支えられるかどうかまで見届けましょう。

重心から支えへ進む3つの型

最初の型は、一様な板をいくつかの形に分け、各部分の質量と重心の位置から全体を求めるものです。面密度が共通なら質量は面積に比例します。厚さや材質が違うときは、面積の比をそのまま質量の比にすることはできません。

次は、一様な板から一部を切り抜く型です。切り抜く前の板と取り去った部分を比べ、取り去った質量とその位置の積を引きます。切り抜き後の板が無質量になる場合は重心を定義できないため、残る面積が正であることも条件です。

最後は、求めた重心を使って2点の支持力を求める型です。静止している板には、鉛直方向の力のつり合いと、任意の点のまわりの力のモーメントのつり合いが必要です。下から押す支持点は板を引き下げられないので、計算結果が負なら、その接触を保つという仮定を見直します。

穴を引く式と重力の置き場所

水平な座標軸を右向きに取り、位置をxとします。小部分の質量をm₁、m₂、位置をx₁、x₂とすると、全質量Mと重心の座標xGは次の関係で定義されます。

M = m₁ + m₂ + …
MxG = m₁x₁ + m₂x₂ + …
xG = (m₁x₁ + m₂x₂ + …)/(m₁ + m₂ + …)

位置と質量の積の和を全質量で割るので、答えの単位は長さです。左を原点に選んでも中央を原点に選んでも、原点から測った数値は変わりますが、板の中での重心の場所は同じです。座標を移したら、各部分の位置を同じ基準で測り直します。

重力加速度が板の範囲で一定なら、各部分の重力はm₁g、m₂gです。水平な棒に見立てて同じ原点のまわりのモーメントを足すと、重力の寄与はg(m₁x₁ + m₂x₂ + …)です。これは全重力MgをxGに作用させたときのMgxGと一致します。鉛直方向の合力もMgで一致するので、静力学の計算では重力を重心にまとめられます。板の細部にかかる応力まで、この置き換えでわかるわけではありません。

図1のように、元の板を面積A₀、重心の座標をx₀、穴の部分を面積a、座標をxₕとします。同じ厚さと材質で面密度が一様なら、残った板の重心は次式です。

残りの面積 = A₀ - a
(A₀ - a)xG = A₀x₀ - axₕ
xG = (A₀x₀ - axₕ)/(A₀ - a)

この式は、残った板と穴を合わせると元の板に戻る、という関係から得られます。穴の面積が小さくなるとxGは元の板のx₀に近づきます。また、穴が元の重心より右にあれば、右側の質量を失うので重心は左へ移ります。式を使う前にこの向きを予想すると、符号の間違いに気づきやすくなります。板の外形や穴が複雑でも、既知の重心を持つ部分に分けられれば同じ考えを使えます。

面密度が場所によって異なる場合は、各部分の質量を面積に置き換えられません。穴の部分の材質が他と違う場合も、切り取る前にそこにあった実際の質量を引きます。図のように重心が穴の中に位置することもあります。重心は質量が集まっている実物の点という意味ではないからです。

支点を左のA、右のBとし、その距離をL、重心のAからの距離をdとします。支持力の大きさをそれぞれRₐ、Rᵦ、板の重さをWとします。板が水平に静止し、両方が下から押していると仮定すると、鉛直方向とAまわりのつり合いは次の通りです。

Rₐ + Rᵦ = W
RᵦL - Wd = 0
Rᵦ = Wd/L
Rₐ = W(L - d)/L

Aに働く力の作用線はAを通り、Aまわりのモーメントは0です。距離は力の作用線までの垂直距離です。dが0からLの間なら両支持力は0以上です。dが範囲外なら一方が負になるため、下から押すだけの2点支持ではそのまま静止できません。式の値を負の支持力として受け入れず、浮き上がりや別の固定具の有無を調べます。

基本例題：穴を開けた板を両端で支える

一様な薄い長方形板の横幅は8 cm、縦幅は4 cmです。左端から2 cmから4 cmまで、縦幅2 cmの長方形を切り抜きます。穴は板の上下端に接しません。残った板の重さを28 Nとし、左端Aと右端Bで下から水平に支えます。左端からの重心の横座標と両支持力を、cmとNの分数または整数で求めます。gは場所によらず一定とします。

元の面積は32 cm²、横座標は4 cmです。穴は4 cm²で、その中心は左端から3 cmです。図2では、横向きの位置と支持力を示しています。穴の上下位置は横座標の計算には影響しません。

xG = (32・4 - 4・3)/(32 - 4)
xG = 116/28 = 29/7 cm
Rᵦ・8 = 28・(29/7)
Rᵦ = 29/2 N
Rₐ = 28 - 29/2 = 27/2 N

左寄りを切り取ったので、重心は元の4 cmより右です。RₐとRᵦは正で、和は28 Nです。右の支持力は29/2 Nで、Aまわりの反時計回りのモーメントは116 N・cmです。重力の時計回りのモーメントも28・(29/7) = 116 N・cmとなり、元の場面へ戻して両方の条件を満たします。

同じ値はBまわりでも出ます。重心からBまでの距離は8 − 29/7 = 27/7 cmなので、Rₐ・8 = 28・(27/7)です。支点を変えても同じ力が出ることは、向きと距離を見直す手がかりです。

標準例題：材質が違う板をつなぐ

水平な細長い板を2枚、端同士で一直線につなぎます。左の板は長さ6 cm、質量2 kg、右の板は長さ4 cm、質量3 kgで、それぞれ内部の質量分布は一様です。つなぎ目の質量は無視し、重力加速度を計算用に10 m/s²とします。全体の左端から測った重心の位置と、両端で下から支えたときの支持力を、cmとNの整数で求めます。

左板の重心は左端から3 cm、右板の重心は左端から8 cmです。面積が長さに比例する形であっても、質量が明示されているため、それぞれの質量を使います。

xG = (2・3 + 3・8)/(2 + 3)
xG = 6 cm
W = (2 + 3)・10 = 50 N
Rᵦ・10 = 50・6
Rᵦ = 30 N
Rₐ = 50 - 30 = 20 N

重心は2枚の重心3 cmと8 cmの間にあります。検算では、重力を元の2つに戻してAまわりを比べます。20 Nが3 cm、30 Nが8 cmに働くので時計回りは20・3 + 30・8 = 300 N・cmです。右の支持力による反時計回りも30・10 = 300 N・cmです。合力も20 + 30 − 50 = 0 Nです。

発展例題：支点の外へ重心が出る境目

一様な長さ12 cm、重さ24 Nの棒を水平に置きます。左端から2 cmの点Aと8 cmの点Bを下から支え、左端から10 cmの位置に重さP Nの小さなおもりを固定します。Pは0以上とし、棒とおもりはずれないものとします。両点で接触を保つPの範囲をNで求め、その範囲での支持力をPの式で表します。

棒の重心は左端から6 cmです。Aから測ると棒の重心は4 cm、Bは6 cm、おもりは8 cmです。棒とおもりをひとまとまりの系にすると、Aまわりで次の式を得ます。

6Rᵦ = 24・4 + 8P
Rᵦ = 16 + (4/3)P
Rₐ = 24 + P - Rᵦ
Rₐ = 8 - P/3

Bの力はPが0以上なら正です。Aの力が負にならない条件は8 − P/3 ≥ 0、すなわち0 ≤ P ≤ 24 Nです。P = 24 NではAの力が0となり、接触を失い始める境目です。Pが24 Nを超えるとAが下から板を引く必要があるという結果になるので、2点接触を前提とした式はその状態に適用できません。Bで支えられるか、別の固定や接触があるかを改めて考えます。

別解として、合計の重力の作用位置を調べます。左端からの位置をxGとすると、次の通りです。

xG = (24・6 + P・10)/(24 + P)
xG - 8 = (2P - 48)/(24 + P)

分母は正なので、xGがBより右に出ない条件はP ≤ 24 Nです。下限は問題のP ≥ 0から決まり、重心はAより右にあります。重心が支点間にあれば、2つの上向きの力で重力を受け止められます。この方法は接触の可否を短く判定できますが、各力の値には別途つり合いの式が必要です。力の式による方法は大きさと境目を同時に示します。

P = 12 Nで場面へ戻すと、Rₐ = 4 N、Rᵦ = 32 Nです。合計36 Nは棒とおもりの重さの合計と一致し、Aまわりでは32・6 = 192 N・cm、反対側は24・4 + 12・8 = 192 N・cmです。境目のP = 24 NでもBの力は48 Nとなり、Bの真上に合計の重力が作用します。

測って比べるときの目盛りと誤差

学校の指導の下で、一様に近い板を2つの支持具に載せ、左右の力を測る設計を考えます。変える量は板に固定した小さなおもりの位置x、測る量は右側の支持力Rᵦです。板の向き、支持点間の距離、同じおもりの重さ、水平の状態をそろえます。板自体の重心や重さが不明なら、先に板だけの測定を行います。

支持点Aからおもりまでの距離をx、板の重さをW₀、板の重心までの距離をd₀、おもりの重さをP、支持点間をLとすれば、接触を保つ範囲でRᵦ = (W₀d₀ + Px)/Lです。横軸をxのcm、縦軸をRᵦのNとすると直線になり、傾きはP/L、縦軸との交点はW₀d₀/Lです。交点は板自体の重力による寄与を含むため、原点を通すとは限りません。傾きの単位はN/cmです。グラフの面積を重さとして読むことはできません。

たとえば次は実測ではなく、式の読み取り用の自作データです。L = 10 cm、W₀ = 4 N、d₀ = 5 cm、P = 2 Nとしたとき、xが0、5、10 cmなら右の支持力はそれぞれ2、3、4 Nです。左の支持力は順に4、3、2 Nとなり、各位置で合計6 Nです。支持具の幅がある場合は、計算上の点が実際のどこに当たるかをそろえないと位置に偏りが生じます。

各位置を繰り返して測り、ばらつきを比べます。読み取る目の位置の違いや微小な揺れは値を散らす原因です。一方、力を測る器具の零点がずれていれば、同じ方向のずれが繰り返し現れます。零点を確認し、支持具を左右で入れ替えるなどして偏りを調べます。板の厚さや密度のむらは、理想化した重心と実物の重心をずらすため、測定の散らばりを小さくしても残りえます。

板が傾くと、長さの読みと力の作用線までの垂直距離が一致しないことがあります。支持力が0付近では、接触が途切れたり支点の位置が変わったりするので、直線を範囲外へ延長して接触を保証することはできません。数値が予想と合わないときは、まず装置の水平と接触、次に零点と位置を確認し、条件を記録して測り直します。

間違いを図に戻す

図3の左は、切り取った部分を正の質量として加えた誤りです。左側に穴を開けたのに重心が左へ寄るなら、変化の向きが場面と食い違います。右のように元の板から穴を引き、分母にも残った質量を使います。分子から穴を引いても分母を元の面積のままにすると、残った板の平均位置になりません。

支持力でも、重心を中央と決めて両方を重さの半分にする誤りがあります。左右対称な荷重なら成立しますが、穴が偏れば一般には重心も偏ります。力の和が正しくても、モーメントがつり合うとは限りません。2つの式を別々に書き、得た支持力が正かどうかも確認します。

もう1つの誤りは、支点から重心までの距離を板の端からの距離と混同することです。支点が端にない場合は、同じ原点で2つの座標を測って差を取ります。負の支持力が出た場合は、数字の符号を勝手に正に変えず、支えが押すだけか、固定具が引くこともできるかを問題文に戻して判断します。

自分で試す5問

いずれも静止しているとし、答えは指定の単位で整数または分数を用います。板と棒の厚さ、密度は一様で、重力加速度は位置によらず一定です。支持具は下から押すことしかできません。

1. 横幅10 cm、縦幅4 cmの板から、左端から6 cmから8 cmにある縦幅2 cmの長方形の穴を切り取ります。残った板の重心の横座標を左端からcmで求めます。
2. 長さ9 cm、重さ18 Nの一様な棒を両端で支え、左端から3 cmの位置に重さ9 Nのおもりを固定します。左右の支持力をNで求めます。
3. 2つの部品の質量がそれぞれ1 kgと3 kgで、重心の座標が左端から2 cmと10 cmです。全体の重心の座標をcmで求めます。
4. 重さ20 Nの物体の重心が、左支点から3 cm、右支点から2 cmにあります。支点間は5 cmです。左右の支持力をNで求めます。
5. 長さ10 cm、重さ10 Nの一様な棒を左端から2 cmと7 cmで支えます。左端から9 cmに重さQ Nのおもりを固定するとき、2点の接触を保つQの範囲を求めます。Qは0以上です。

答えと確かめ方

1. 元の面積は40 cm²、穴は4 cm²で、各中心は5 cmと7 cmです。重心は(40・5 − 4・7)/(40 − 4) = 43/9 cmです。右側を除いたため5 cmより左です。残り36 cm²の位置の積36・(43/9) = 172 cm³に穴の4・7 = 28 cm³を足すと、元の200 cm³へ戻ります。

2. 棒の重力は左端から9/2 cmに働きます。右の支持力をRᵦとすると、9Rᵦ = 18・(9/2) + 9・3 = 108よりRᵦ = 12 Nです。合計の重さは27 Nなので左は15 Nです。元の荷重へ戻すと、右の力のモーメント12・9 = 108 N・cmと2つの重力のモーメントが一致します。どちらも正なので両端の接触に矛盾しません。

3. 質量の和は4 kg、位置の積の和は1・2 + 3・10 = 32 kg・cmです。重心は32/4 = 8 cmです。4 kgを8 cmにまとめた位置の積は32 kg・cmとなり、元の部品へ戻した値に一致します。質量の大きい右側の部品に近い位置です。

4. 左支点まわりで右の力をRᵦとすると、5Rᵦ = 20・3です。右は12 N、左は20 − 12 = 8 Nです。右支点まわりでも8・5 = 20・2となります。両力は正で、合計は元の重さ20 Nです。

5. 左支点から棒の重心まで3 cm、右支点まで5 cm、おもりまで7 cmです。右の力をRᵦとすると5Rᵦ = 10・3 + 7Q、よってRᵦ = 6 + 7Q/5です。左は10 + Q − Rᵦ = 4 − 2Q/5です。左右の力が0以上になるのは0 ≤ Q ≤ 10 Nです。境目Q = 10 Nでは右の力は20 N、左は0 Nです。重力の合計20 Nの作用位置は(10・5 + 10・9)/20 = 7 cmで右支点に一致し、場面に戻しても境目を満たします。

支えを読むための要点

• 共通の面密度があるとき、質量の比は面積の比に置き換えられます。
• 穴は元の板から除いた質量とその位置の積を引きます。
• 重力の合力とモーメントを重心で表します。
• 力の和とモーメントの和を別々に0と置きます。
• 押すだけの支持力は0以上という接触条件を確かめます。

式が立てられないときは、まず残った板と切り取った部分を別の色で囲み、それぞれの重心の座標を同じ原点から書いてみます。支持力で迷うときは、板が受ける力の矢印を重心と支点に描き、どの点を軸に回そうとするかを説明します。個別指導で確認するなら、穴を右に移したときの重心の向き、選んだ支点からの距離、負の支持力が意味する状態を順に言葉にすると、計算のどこで条件を見落としたかが見えてきます。残った質量と実際に押せる支えを同じ図で捉えると、答えの妥当性まで追えます。