高校数学II 加法定理と二倍角・半角—角の分け方を選び公式の符号を確かめる｜武蔵野個別指導塾

角の和と差から三角関数の正確な値を計算し、半角の平方根に付ける正負を象限から判断します。

よくあるのは、高校生が半角の式に数値を入れ、平方根の前に正の符号を付けて答えを出すという場面です。元の角が第3象限にあっても、半分の角がどこにあるかを調べなければ符号は決まりません。平方した値と元の値は別物です。角の範囲を半分にしてから象限を決める順番を、具体的な計算で追います。

問題文から選ぶ道筋

定期テストでは、まず既知の角の和や差に分けて三角関数の値を求める型があります。例えば45°と30°の値を知っていれば、その差の正弦を加法定理で表せます。角を分けることが目的ではなく、分けた後の値を正確に書けることが必要です。

次に、ある角の三角関数の値と範囲から二倍角や半角を求める型があります。与えられた値だけで残りの値を決められるとは限らず、象限の情報が符号を決めます。特に半角では、2θの範囲を読んだままθの符号を決める失敗に注意します。

さらに、三角関数を含む式を二倍角の形へ直す型があります。左辺を一度に変えるのではなく、積を見て sin 2θ、平方の差を見て cos 2θ を候補にします。以下は正確な値と式変形を扱い、三角関数の合成による最大・最小には立ち入りません。

和と差、二倍と半分をつなぐ

角を α、β とすると、加法定理は次のように書けます。角は度でもラジアンでも同じ単位にそろえます。

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

正弦は角の間と項の間の符号が同じで、余弦は逆です。図1のように、まず関数の種類を見てから符号を選びます。括弧の中の符号と展開後の符号を同時に思い出そうとすると、余弦の差で引き算を残しやすくなります。

図1では、左が角の和と差、右が2項の間の符号です。いずれも各項の中は掛け算です。sin(α + β) を sin α + sin β と分ける規則ではありません。

α = β = θ とすれば、和の公式から二倍角の式が得られます。

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos² θ − sin² θ = 1 − 2 sin² θ = 2 cos² θ − 1

最後の2つは sin² θ + cos² θ = 1 を使った形です。与えられたのが正弦なら 1 − 2 sin² θ、余弦なら 2 cos² θ − 1 が便利です。例えば両方を求める必要がない場合もあります。

tan の加法定理は、cos α、cos β、cos(α ± β) がいずれも零でないときに使えます。

tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)

tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)

分母が零でないことも確かめます。もとの角の正接が定義されていても、和や差の正接が定義されない場合があるためです。分母の符号は分子とは逆になることにも気を付けます。

半角は二倍角を逆に見ます。α = 2θ とおくと、次の平方の式になります。

sin²(α / 2) = (1 − cos α) / 2

cos²(α / 2) = (1 + cos α) / 2

平方根を取るときは正負の候補が生じます。α / 2 の位置から正か負かを選んで初めて値が決まります。平方根の記号 √ は零以上の値を表すので、負の値が必要ならその前にマイナスを書きます。

公式を選ぶときは、まず求めるものが角の和か、同じ角の2倍か、半分かを区別します。例えば sin θ と cos θ の積に2が付いていれば、二倍角の正弦を使うと短くなります。一方、cos² θ − sin² θ は二倍角の余弦です。片方の平方しかない式を無理にこの差に当てはめず、相互関係を使った別の形を選びます。

公式に当てはまる形が見えないときは、角の文字を一時的に四角で囲み、どこまでが1つの角なのかを明確にします。sin 2θ の2は値を2倍する係数ではなく、角を2倍する部分です。2 sin θ と取り違えると、θ = 90° では前者が0、後者が2となり食い違います。この代入は誤りの例を見つける確認です。

基本例題：知っている角の差にする

問題：sin 15° と cos 15° を、根号を用いた正確な値で求めてください。

15° = 45° − 30° と分けます。どちらの角も正弦と余弦の正確な値が知られており、差の公式にそのまま入れられます。図2のように、角の分解から始めて、正弦と余弦で項の間の符号を変えます。

図2の2本の矢印は同じ角の分解から別々の公式へ進むことを示しています。まず正弦を計算します。

sin 15° = sin(45° − 30°)

= sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°

= (√2 / 2)(√3 / 2) − (√2 / 2)(1 / 2)

= √6 / 4 − √2 / 4

= (√6 − √2) / 4

次に余弦です。差の余弦では項の間がプラスになります。

cos 15° = cos(45° − 30°)

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= (√2 / 2)(√3 / 2) + (√2 / 2)(1 / 2)

= (√6 + √2) / 4

答えは sin 15° = (√6 − √2) / 4、cos 15° = (√6 + √2) / 4 です。15°は第1象限なので、どちらも正です。実際に √6 > √2 ですから、正弦の答えも正になっています。

元の角へ戻す確認として、2つの答えを使って二倍角を計算します。正弦の二倍角は 2 sin 15° cos 15° = 2(6 − 2) / 16 = 1 / 2、余弦の二倍角は cos² 15° − sin² 15° = √3 / 2 です。これらはそれぞれ sin 30°、cos 30° に一致します。これは計算の確認であり、上の加法定理を使った導出が答えの根拠です。

角の分け方は1通りとは限りません。ただし、分けた角の値が求められなければ計算は進みません。差を使う場合は順番も大事です。30° − 45° なら -15° となり、正弦の符号が逆になります。式を書く前に差が目的の角へ戻るか確認してください。

半角の符号を範囲から決める

問題：180° < α < 270°、cos α = -3 / 5 のとき、sin(α / 2) と cos(α / 2) を根号を用いた正確な値で求めてください。

与えられた範囲を正の数2で割ると、90° < α / 2 < 135° です。したがって半分の角は第2象限にあります。正弦は正、余弦は負です。元の角 α が第3象限にあることから直接、半角の正弦と余弦をともに負と決めてはいけません。

半角の平方の式へ cos α = -3 / 5 を代入します。

sin²(α / 2) = (1 − cos α) / 2

= (1 + 3 / 5) / 2

= (8 / 5) / 2 = 4 / 5

半角の正弦は正なので、sin(α / 2) = √(4 / 5) = 2√5 / 5 です。続いて余弦を求めます。

cos²(α / 2) = (1 + cos α) / 2

= (1 − 3 / 5) / 2

= (2 / 5) / 2 = 1 / 5

半角の余弦は負なので、cos(α / 2) = -√(1 / 5) = -√5 / 5 です。どちらも平方の値だけでは符号が決まらないため、範囲から得た情報を最後に使います。

答えを条件へ戻すと、cos α = 2 cos²(α / 2) − 1 = 2 / 5 − 1 = -3 / 5 です。また sin²(α / 2) + cos²(α / 2) = 4 / 5 + 1 / 5 = 1 です。符号の組も第2象限と一致します。元の範囲の端点は含まれませんが、今回の値は端点の値ではありません。

与えられた角がさらに広い範囲を動く場合、半分にした範囲が複数の象限にまたがることがあります。そのときは平方の値から勝手に符号を1つに決めず、条件を満たす場合を分けます。角の範囲が与えられていなければ、同じ余弦の値に対して異なる符号があり得ます。

誤答を符号の行まで戻す

先ほどの条件で cos(α / 2) = √5 / 5 とするのは誤りです。平方すると 1 / 5 になるので、平方の計算だけを見ると誤りに気付きにくい答えです。原因は、平方根を取る前に半分の角の位置を調べていないことです。

図3のように、まず範囲を2で割り、第2象限で余弦が負と判断します。その後に平方根の前へ負号を付ければ、cos(α / 2) = -√5 / 5 と直せます。負号は根号の中の数を負にする記号ではありません。

図3の順番を逆にして正の平方根を書いた後でも、象限との食い違いを見つければ修正できます。平方して元の値に戻るかという確認と、象限に合うかという確認の両方が必要です。

別の失敗は、cos(α − β) の右辺を cos α cos β − sin α sin β とすることです。この式は和の余弦の形です。β = α と置くと左辺は cos 0° = 1 ですが、右辺は一般に1にならず、例えば α = 60° では -1 / 2 です。差の余弦は2項の間をプラスに直します。特殊な角の代入は誤りの発見に役立ちますが、公式そのものの証明の代わりにはなりません。

手を動かす問題

次の値は近似せず、分数と根号を使って正確に答えてください。角の範囲がある問題では、その範囲を使って符号も決めます。

1. cos 75° を求めてください。
2. 0° < θ < 90°、sin θ = 5 / 13 のとき、sin 2θ と cos 2θ を求めてください。
3. 180° < β < 270°、cos β = -5 / 13 のとき、sin(β / 2) と cos(β / 2) を求めてください。
4. tan 15° を求めてください。

答えと道筋

1. 75° = 45° + 30° と分けます。和の余弦では2項を引きます。

cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°

= √6 / 4 − √2 / 4 = (√6 − √2) / 4

75°は第1象限なので答えは正です。また、75° = 90° − 15° であり、得られた値は基本例題の sin 15° と一致します。この一致は角を問題の75°へ戻す確認です。

2. 第1象限なので cos θ は正です。相互関係から cos² θ = 1 − 25 / 169 = 144 / 169、よって cos θ = 12 / 13 です。

sin 2θ = 2(5 / 13)(12 / 13) = 120 / 169

cos 2θ = (12 / 13)² − (5 / 13)² = 119 / 169

得られた2つの平方の和は (14400 + 14161) / 28561 = 1 です。さらに cos 2θ = 1 − 2(5 / 13)² = 119 / 169 となり、与えられた正弦に戻しても一致します。

3. 範囲を半分にすると 90° < β / 2 < 135° です。正弦は正、余弦は負です。

sin²(β / 2) = (1 + 5 / 13) / 2 = 9 / 13

cos²(β / 2) = (1 − 5 / 13) / 2 = 4 / 13

したがって sin(β / 2) = 3√13 / 13、cos(β / 2) = -2√13 / 13 です。二倍角に戻すと 2 cos²(β / 2) − 1 = 8 / 13 − 1 = -5 / 13 で、もとの余弦に合います。符号も半角の第2象限に合っています。

4. 15° = 45° − 30° として正接の差の公式を使います。tan 45° = 1、tan 30° = √3 / 3 です。分母 1 + √3 / 3 は正で零ではありません。

tan 15° = (1 − √3 / 3) / (1 + √3 / 3)

= (3 − √3) / (3 + √3)

= (3 − √3)² / (9 − 3)

= (12 − 6√3) / 6 = 2 − √3

元の差へ戻すため、求めた値と tan 30° を和の公式に入れます。分母は 1 − (2 − √3)√3 / 3 = 2 − 2√3 / 3 で正です。分子も同じ 2 − 2√3 / 3 となり、tan 45° = 1 を得ます。15°と30°の和が45°という条件に合います。

要点を短く

角を既知の角の和または差に分けます。
余弦の加法定理は角の符号と項の符号が逆です。
二倍角は使える値に合わせて形を選びます。
半角は範囲を半分にし、象限で平方根の符号を決めます。

どの行で止まるかを見る

角の分解を言えない場合は、使える角の和と差を実際に計算し、目的の角に戻るか確かめます。公式は書けるのに値が違う場合は、関数名と項の間の符号を指で追い、代入前の行と代入後の行を比べます。

半角でつまずく場合は、平方の値を求めるところと、符号を選ぶところを分けて説明できるかを見ます。個別指導では、角の範囲を半分にした行、第2象限で余弦が負と判断した行、二倍角で条件に戻した行を順に確認します。自分の答えの符号を角の位置から説明できれば、平方根の計算が先に進んでも立ち止まって修正できます。