高校数学II 三角方程式と不等式—単位円と指定区間を照らして解を漏れなく拾う｜武蔵野個別指導塾

2倍した角が動く区間を求め直し、二次不等式の境界を単位円に戻して解の候補を選びます。

よくあるのは、高校生が角を置き換えたのに、解く区間を元のままにしてしまう場面です。たとえば θ が1周する間に2θは2周します。式の中の角だけを2θにして1周分で探すと、後半の解が見えません。まず動く角とその範囲を書き直し、そこで見つけた角を元の文字に戻します。単位円で点の位置を見てから境界を確かめると、方程式にも不等式にも同じ順序で取り組めます。

どんな形で問われるか

三角方程式と不等式には、見た目の違う問いがいくつかあります。1つ目は sin θ や cos θ が指定された値になる角を、与えられた区間から選ぶ型です。基準となる角を思い出した後、値の符号と同じ座標を持つ点を円上で探します。表で見つけた鋭角だけを書いて終えると、別の象限にある角を落とすことがあります。

2つ目は sin 2θ のように、三角関数の中の角が θ と異なる型です。2θをひとまとまりの角と考え、その角が動く範囲に変換します。範囲が2周にわたれば、それぞれの周にある候補を調べ、最後に2で割って θ に戻します。

3つ目は cos² θ のような二次式や、不等号を含む型です。三角関数の値を文字に置き換えて数の不等式を解き、値の範囲を角の範囲に戻します。等号を含むかどうかと、問題文の端点を含むかどうかは別々に調べます。三角関数の合成を使う問題には立ち入らず、基本的な値と単位円で解ける範囲を扱います。

単位円で値と角の対応を読む

原点を中心とする半径1の円を考えます。正の x 軸から反時計回りに角 θ をとったとき、円上の点の座標は (cos θ, sin θ) です。cos θ は横の座標、sin θ は縦の座標に対応します。単位円では両方の値が -1 以上1以下なので、式変形でそれ以外の値が候補に出ても、その値に対応する実数の角はありません。

図1のように、sin θ が1/2となる点は高さ1/2の水平線と円の交点です。0から2π未満の1周では、角は π/6 と 5π/6 です。高さが同じでも横の座標は異なるので、2点を探す必要があります。sin θ が1/2以上なら水平線上とその上側の円弧が対象です。方程式の交点を境界としてから、どちら側の円弧が条件を満たすかを見ます。

図1では境界の点を含めています。等号のない不等式なら境界の点を除きますが、円弧のどちら側を選ぶかは変わりません。cos の条件なら、同じ値の点を結ぶ線は垂直になり、左右のどちらかを選びます。tan の値は cos θ が0の角では定義されないため、tan を扱うときはその角を最初に除きます。

角の範囲を変えるときは不等式そのものを変形します。たとえば 0 ≤ θ < 2π なら、両辺を正の2倍して 0 ≤ 2θ < 4π です。下端は含み、上端は含まないままです。角を戻すときも、候補が元の区間にあるか最後に点検します。弧度法で答える指定なら、度数法の値をそのまま答えに混ぜないようにします。

角の置換が引き算を含む場合も、端を個別に変換します。たとえば 0 ≤ θ < π から α = θ − π/2 とおけば、-π/2 ≤ α < π/2 です。両端から同じ数を引いても不等号の向きは変わらず、含む端と含まない端もそのままです。負の角は時計回りに測り、必要なら2πを加えた同じ終辺の角として位置を調べます。ただし、同じ終辺の角をそのまま答えにするのではなく、αの指定範囲にある表し方を選びます。

値を文字に置く場合と角を文字に置く場合は、戻す対象が違います。t = cos θ とおいたときの t は横座標で、単位円上なら -1 ≤ t ≤ 1 です。一方、α = θ − π/2 とおいたときの α は角で、範囲は元の θ の範囲を変形して決まります。どちらも文字を導入した直後に範囲を書いておけば、計算の途中で2種類の範囲を取り違えにくくなります。

不等式では、境界を求めた後に円上のどちらの側を選ぶか迷うことがあります。その場合は境界で区切られた各円弧から、扱いやすい点を1つ選んで条件に入れます。境界の間で座標がしきい値を横切るなら、そこにも境界の交点があるはずです。円との交点をすべて拾ったうえで符号を調べることが、代表点を使う根拠になります。

基本例題：2倍の角が動く範囲を先に書く

問題：0 ≤ θ < 2π のとき、sin 2θ = √3/2 を満たす θ をすべて求め、πを用いた正確な値で答えてください。

まず φ = 2θ とおきます。元の範囲の各辺を2倍すると、

0 ≤ φ < 4π

です。求める式は sin φ = √3/2 になります。φの範囲は単位円を2周する長さです。0 ≤ φ < 2π の1周では、縦の座標が正で √3/2 となる点を探します。基準の角は π/3 なので、第1象限と第2象限に対応する角は

φ = π/3, 2π/3

です。さらに、同じ点へもう1周して到達する角を加えます。それぞれに2πを足して、

φ = 7π/3, 8π/3

です。4πは範囲に含まれず、次の周の同じ点は4πを超えるので、候補はこの4つです。図2のように φ の区間を先に区切ると、2周目が別の範囲として見えます。

図2の各候補を φ = 2θ に戻し、それぞれ2で割ります。

θ = π/6, π/3, 7π/6, 4π/3

いずれも 0 ≤ θ < 2π に入ります。元の式へ戻すと、2θは順に π/3、2π/3、7π/3、8π/3 です。前の2つの正弦は √3/2、後の2つは前の角に2πを足したものなので同じ値です。候補を作る操作と代入の両方を記すと、漏れと余分な解を別々に点検できます。

ここでは1周の2点を見つけてから、周期2πを足しました。はじめから θ の円で2θの値を読み取ろうとすると、点がどの周に対応するか混乱しやすくなります。まず φ の単位円を使い、区間の中で何回その点を通るかを考えると整理できます。等しい値を持つ点が1周内で1点だけになる場合もあるため、候補の数を決め打ちせずに円との交わりを見ます。

少し進んだ例題：値の不等式を角に戻す

問題：0 ≤ θ < 2π のとき、2cos² θ − cos θ − 1 ≥ 0 を満たす θ の範囲を、πを用いて正確に答えてください。

cos θ = t とおきます。単位円の横の座標なので、同時に -1 ≤ t ≤ 1 です。与えられた不等式は

2t² − t − 1 ≥ 0

(2t + 1)(t − 1) ≥ 0

となります。積の符号が零以上になるのは、2つの因数が同符号か、どちらかが零のときです。数直線で境界 -1/2 と 1 を並べると、

t ≤ -1/2 または t ≥ 1

です。ただし t は -1 から1までなので、後者は t = 1 に限られます。したがって、元の角について調べる条件は

cos θ ≤ -1/2 または cos θ = 1

です。単位円で横の座標が -1/2 以下なのは、角が 2π/3 から 4π/3 まで動く円弧です。等号があるため両端を含みます。横の座標が1となるのは指定区間では θ = 0 です。2πも同じ点ですが、上端は問題文で除かれています。よって答えは

θ = 0 または 2π/3 ≤ θ ≤ 4π/3

です。境界の値を元の左辺に戻すと、cos θ = -1/2 では 2 × 1/4 + 1/2 − 1 = 0、cos θ = 1 では 2 − 1 − 1 = 0 です。また円弧の内側の代表として θ = π を代入すると、cos π = -1 なので左辺は 2 + 1 − 1 = 2 で条件を満たします。

この代入は符号の向きを点検するものです。円弧の全体とそれ以外の範囲については、因数の符号と単位円の横座標で説明しています。t の不等式を解いた結果をそのまま θ の答えとせず、取り得る値と角の範囲へ順番に戻すことが分かれ目です。

誤答を直す：区間と端点を別々に見る

基本例題で φ = 2θ とおいた後、誤って 0 ≤ φ < 2π として解くと、φ = π/3, 2π/3 から θ = π/6, π/3 だけが得られます。この2つは元の式を満たすため、代入だけでは不足に気づきません。元の θ が π を超えてもよいのに、対応する φ の2π以上の部分を捨てたことが原因です。

図3のように、置換前の上端2πに2を掛けて、置換後の上端を4πに直します。上端の不等号も < のままです。2周目の φ = 7π/3, 8π/3 を加え、2で割れば θ = 7π/6, 4π/3 も得られます。どちらも元の区間内で、元の式を満たします。

図3の区間の右端は白い丸で示した「含まない端」です。角度の同じ位置を2πだけ離れて再び通ることと、指定区間の端を含めることは別の話です。たとえば θ = 0 を採用できる問題でも θ = 2π が常に採用できるわけではありません。元の範囲の記号まで答えの横に置き、最後に各候補を照らします。

不等式でも似た誤りが起こります。cos θ ≤ -1/2 を解く際、境界角だけを書けば方程式の解になり、途中の円弧を落とします。反対に、不等号が < なのに境界を含めると、等号が成り立つ点を余分に加えます。境界を求める作業、円弧を選ぶ作業、境界を含むか決める作業を分けて書きます。

練習：角・値・区間を往復する

次の4問はすべて自分で区間を図や数直線に書いてから取り組んでください。答えは弧度法で、πを用いた正確な値や範囲で表します。問題を一通り解いた後に下の解答を見て、候補を元の条件へ戻しましょう。

1. 0 ≤ θ < 2π のとき、cos θ = 1/2 を満たす θ をすべて求めてください。
2. 0 ≤ θ < π のとき、sin 2θ = -1 を満たす θ をすべて求めてください。
3. 0 ≤ θ ≤ 2π のとき、sin θ < -1/2 を満たす θ の範囲を求めてください。
4. 0 ≤ θ < 2π のとき、2sin² θ + sin θ − 1 = 0 を満たす θ をすべて求めてください。

1の答えと考え方

単位円で横の座標が 1/2 の点を探します。基準の角は π/3 で、横の座標が正なのは第1象限と第4象限です。指定された1周の中では

θ = π/3, 5π/3

です。どちらも 0 ≤ θ < 2π にあり、cos π/3 = 1/2、cos 5π/3 = 1/2 です。第2象限の 2π/3 は横の座標が負なので、基準の角が同じでも採用できません。

2の答えと考え方

φ = 2θ とおくと、元の区間を2倍して 0 ≤ φ < 2π です。sin φ = -1 となる円上の点は最下点なので、この区間の角は

φ = 3π/2

です。2θ = 3π/2 を2で割り、θ = 3π/4 を得ます。元の範囲 0 ≤ θ < π にあり、sin(2 × 3π/4) = sin(3π/2) = -1 です。図の最下点は1周に1回現れるので、同じ周にもう1つの角を無理に作りません。

3の答えと考え方

境界となる sin θ = -1/2 の角を先に求めます。指定区間では θ = 7π/6, 11π/6 です。単位円の縦の座標が -1/2 より小さい部分は、その間の下側の円弧なので、

7π/6 < θ < 11π/6

です。境界では sin θ = -1/2 となり、厳密に小さいという条件を満たしません。途中の θ = 3π/2 では sin θ = -1 で条件を満たします。指定区間の端 θ = 0, 2π はいずれも正弦が0なので、区間に含まれていても解には入りません。

4の答えと考え方

s = sin θ とおくと、-1 ≤ s ≤ 1 で、方程式は

2s² + s − 1 = 0

(2s − 1)(s + 1) = 0

です。よって s = 1/2 または s = -1 です。前者に対応する指定区間内の角は π/6, 5π/6、後者は 3π/2 です。したがって

θ = π/6, 5π/6, 3π/2

です。元の左辺に戻すと、sin θ = 1/2 では 2 × 1/4 + 1/2 − 1 = 0、sin θ = -1 では 2 − 1 − 1 = 0 です。3つとも元の区間内にあり、取り得る s の値から円上の点を調べているので、ほかに候補は残りません。

持ち帰る要点

• 置換した角の範囲は、元の不等式を変形して求めます。
• sin は縦、cos は横の座標として円上の点や円弧を探します。
• 三角関数の値に置き換えたときは、その値が取り得る範囲も使います。
• 境界の等号と、問題文の区間の端点を別々に確かめます。
• 候補を元の式と元の区間に戻し、漏れも点検します。

つまずきの位置を見分ける

解答が不足したときは、まず置換後の区間を指で示して、何周分に当たるかを説明できるか確かめます。区間が正しくても角が足りなければ、同じ座標を持つ円上の点や、次の周で再び通る角を探せるかを見ます。答えは合っていても、なぜ他の象限や端点を除くのか説明できなければ、その部分を円に戻してたどり直します。

個別指導で確認するなら、式を見ずに解を暗記しているかではなく、変換前後の区間、不等式の境界、元の式への代入を順に言葉でつなげられるかが手がかりです。途中で止まった箇所を一緒に図に書けば、計算の誤りと円の読み取りの誤りを区別できます。角の範囲が変われば、探す周の数も変わります。