高校物理 力学 万有引力と重力加速度—天体の密度と半径を変えて表面の重力を比較する｜武蔵野個別指導塾

球対称天体の表面で質量と距離がどう効くかを式からたどり、密度と半径の比で読み解く表面重力。

よくあるのは、同じ密度の大小2つの天体を比べ、「材料が同じなら表面の重力も同じ」と考える場面です。大きい球では表面から中心までの距離が長くなります。一方で、引力を及ぼす天体の質量も増えます。片方の変化だけでは結論を決められません。

球対称の天体を静止した球とみなし、その外部で小さな物体が受ける引力を調べます。表面の重力加速度と密度・半径を結び、距離の基準や比較条件が変わったときも式を選べるようにします。自転や他の天体の影響、天体内部の引力は扱いません。

比べる前に固定する量

出方の1つは、質量と半径が与えられた2つの天体の表面を比べるものです。表面では中心からの距離がそれぞれの半径なので、重力加速度の比は質量の比に比例し、半径の比の二乗に反比例します。質量が同じときは、半径の大きい天体ほど表面での引力が弱くなります。

もう1つは平均密度と半径から比べるものです。球の体積は半径の3乗に比例します。同じ密度で半径が2倍なら質量は8倍になり、表面までの距離の二乗は4倍です。両方を合わせると表面の重力加速度は2倍です。同じ密度という条件と、同じ質量という条件を入れ替えると結論も変わります。

さらに、同じ天体の表面と上空を比較する型があります。上空の高さをhとすると中心からの距離はR + hです。高さhをそのまま分母に入れることはできません。いずれも対象の位置が球の表面または外部にあることを先に確かめます。

中心から測る距離と球の質量

天体の質量をM、半径をR、物体の質量をm、万有引力定数をGとします。Gは正の定数で、数値を使わず記号のまま計算します。球対称とは、密度が中心からの距離だけで決まり、同じ距離なら方向によらないという条件です。一様な密度の球はその例ですが、球対称であっても密度が場所によって変わる場合はあります。

図1のように、球対称な天体の表面または外部にある小物体については、天体の質量が中心に集まった質点であるかのように引力を計算できます。これは球対称な質量分布について成立する結果として用います。表面の物体自身は天体の半径に比べて十分小さいとし、その位置を1点で表します。球の内部にこの式をそのまま使うことや、この結果の証明はここでは扱いません。

図1の矢印は小物体が天体から受ける力で、向きは天体の中心です。中心から小物体までの距離をrとすれば、r ≥ Rの範囲で力の大きさFは次のようになります。

F = GMm/(r²)

これは力の大きさです。中心から外向きを正とする半径方向の成分で書けば、力は負の向きなので -GMm/(r²) です。力を受ける物体と向きを明示すると、天体が物体から受ける反作用と取り違えずに済みます。

この引力以外を無視し、天体に対して慣性系とみなせる座標で物体の運動を考えます。加速度の中心向きの大きさをg(r)とすれば、運動方程式はm g(r) = Fです。mが正であることを用いて約分すると、次を得ます。

m g(r) = GMm/(r²)
g(r) = GM/(r²)

物体の質量mは加速度の式から消えます。力そのものはmに比例しますが、同時に動かしにくさもmに比例するからです。空気抵抗など別の力があれば、実際の加速度をこの値と同一視できません。ここでいう重力加速度は自転による効果を除いた、万有引力による値です。

表面ではr = Rです。表面の値をgₛとすると、gₛ = GM/(R²) です。中心からの距離を使うので、同じ天体で高さhの位置ならg(R + h) = GM/((R + h)²)となります。表面との比は次の通りです。

g(R + h)/gₛ = R²/((R + h)²)

h = 0なら比は1で、hが正なら1より小さくなります。hが大きくなると比は0に近づきます。この端の確認は、距離の式が表面とつながるかを調べる方法です。式の単位も、GをN・m²/kg²、Mをkg、rをmとすればN/kgで、これはm/s²と同じです。

平均密度をρとすると、球の体積は(4/3)πR³です。密度が一様でなくても、全質量を全体積で割った平均密度としてρを使えば、M = (4/3)πρR³が成り立ちます。これを表面の式に代入します。

gₛ = GM/(R²)
gₛ = G・(4/3)πρR³/(R²)
gₛ = (4/3)πGρR

密度と半径で表すと、表面の重力加速度はρRに比例します。同じ密度なら半径に比例しますが、同じ質量なら半径の二乗に反比例します。この2つの式は矛盾しません。後者で半径を変えるときは、質量を一定に保つため平均密度も変わるからです。

基本例題: 同じ密度の大小の球

球対称で密度が一様な天体Aの半径をR、質量をMとします。天体BはAと同じ密度で半径が2Rです。表面に置いた小物体に働く重力加速度の大きさをそれぞれgA、gBとします。Gは共通の万有引力定数です。Bの質量とgBを、MとgAを用いてそれぞれ整数倍で表してください。他の力と自転は無視します。

図2のように表面の位置をそれぞれの中心から測ります。物体の質量を同じにする必要はありませんが、加速度を比べていることには注意します。

密度が同じなので質量は体積に比例します。Bの質量をMBとすると、MB/M = (2R)³/R³ = 8です。したがってMB = 8Mです。表面での距離も代入すると、次のようになります。

gA = GM/(R²)
gB = G・8M/((2R)²)
gB = 2GM/(R²)
gB = 2gA

答えはBの質量が8M、表面の重力加速度が2gAです。別の確かめ方では、gₛ = (4/3)πGρRを使います。ρが同じでRが2倍なので、こちらも2倍です。答えを場面へ戻すと、質量8倍による増加を距離の二乗4倍で割った値が2倍となり、両方の変化を含んでいます。

この比は表面で成立します。2つの表面からそれぞれ同じ高さに移ったときは、中心からの距離がR + hと2R + hになり、単純に表面と同じ比にはなりません。高さを足す前に半径を消してしまうと、この違いが見えなくなります。

標準例題: 密度も半径も変える

一様な密度の球対称天体CとDがあります。Dの平均密度はCの3/2倍、半径はCの2/3倍です。Cの質量をM、表面の重力加速度をgとします。Dの質量と表面の重力加速度を、Mとgを用いて既約分数の倍数で求めてください。天体は静止し、他の力は無視します。

まず密度と体積の両方から質量を比べます。Dの質量をMDとすると、

MD/M = (3/2)・(2/3)³
MD/M = 4/9

表面の引力の式に戻すと、距離の二乗の比は(2/3)² = 4/9です。そのため、

gD/g = (4/9)/(4/9)
gD/g = 1

答えは質量が(4/9)M、表面の重力加速度がgです。密度と半径の積を使うと(3/2)・(2/3) = 1となり、同じ答えに直接たどり着けます。反対に、求めた質量比4/9を万有引力の式に戻せば、半径の二乗の比4/9と打ち消し合い、問題の条件に合うと確かめられます。

密度が大きいから必ず表面重力も大きい、とは決まりません。半径が同じ場合に限れば密度の大きい側が大きくなりますが、ここでは半径の縮小が密度の増加をちょうど相殺しています。比較する前に「何が同じか」を短く書くと、比例関係の選択を誤りにくくなります。

発展例題: 表面と上空を別々に比べる

一様な密度が等しい球対称天体E、Fの半径はそれぞれa、3aです。aは正とし、Eの表面の重力加速度をgとします。各天体の表面から高さaの位置に小物体を置きます。それぞれの位置での重力加速度をgの既約分数倍で求め、両者の比も既約分数で表してください。自転と他の力は無視します。

Eの上空では中心からの距離が2aなので、表面の1/4です。Fは同じ密度で半径が3倍なので、表面の重力加速度は3gです。Fの上空では中心からの距離が4aとなり、表面からの倍率は(3a)²/(4a)² = 9/16です。

Eの上空の加速度 = g/4
Fの上空の加速度 = 3g・(9/16)
Fの上空の加速度 = 27g/16
Fの上空の加速度/Eの上空の加速度 = 27/4

答えはEがg/4、Fが27g/16、FとEの比が27/4です。表面の値を先に求める方法は、同一天体で高さを変える逆二乗の関係が見やすい方法です。

別解として質量から直接求めます。Eの質量をMとすれば、Fの質量は27Mです。上空での中心からの距離は順に2a、4aなので、両者の加速度の比は27・(2a)²/(4a)² = 27/4です。またg = GM/(a²)を戻すと、それぞれg/4と27g/16になります。両解法とも外部にあることが条件で、天体の内部へ位置を移した場合には、この式をそのまま延長できません。

同じ高さaでも、高さと半径の比はEで1、Fで1/3です。そのため表面からの減少率は等しくありません。たとえば両方で表面値を一律に1/4する誤りは、中心からの距離を図に書き戻すと見つかります。

模型データで式を調べる

天体の表面重力をその場で自由に変える実験はできないため、ここでは式の検証練習として自作データを使います。天体の測定結果ではありません。Gと平均密度ρを固定した球対称モデルで、半径Rを独立変数、表面の加速度gₛを従属変数とします。長さの単位をL、加速度の単位をAとした模型で、(4/3)πGρ = 2 A/Lと設定します。この係数は計算練習用であり、実在天体の値ではありません。

たとえばRが1、2、3 Lのとき、計算値は順に2、4、6 Aです。横軸をR/L、縦軸をgₛ/Aとするグラフでは、これらは原点を通る直線上にあり、無次元の目盛りで傾きは2です。単位を含めて傾きを表せば2 A/Lです。密度を変えた系列は別の直線になりますから、異なる密度を混ぜて1本の直線の傾きとみなさないようにします。

観測を模した検討では、各半径で測定を繰り返し、半径の決め方、密度、測定器の条件をそろえます。測定値が直線から上下に散らばるなら偶然誤差を考え、繰り返して散らばりを調べます。半径を毎回同じ長さだけ大きく読み取る系統誤差があれば、点全体が横へずれ、延長線が原点を外れることがあります。原点を通る理論を理由に、原因を調べる前から測定点に原点を無理に通してはいけません。

測定器のゼロ点のずれや球の中心位置の取り違えも、傾きや切片の解釈を変えます。読み取れない値、欠けたデータ、負の半径が記録された場合は、その点を使って比を求めず、記録と測定条件を確かめ直します。模型の計算器が途中で止まった場合も、未出力の値を0とみなさず、入力と出力を照合してから再計算します。外れた点を発見した場合も、都合が悪いという理由で消さず、読み間違いなどの根拠を記録して判断します。

この模型は球対称と静止を前提とする関係を確かめるものです。実際の天体では形や密度の分布、自転、他の天体の影響が結果に入りえます。直線に近い模型データが得られても、これらを無視した現実の測定が必ず直線になるとは言えません。

逆二乗則の取り違えを直す

図3のように、同密度で半径を2倍にした球に対し、「距離が2倍だから表面重力は1/4」とする答案を考えます。逆二乗則自体は正しいのですが、その使い方には質量が同じという条件が必要です。この比較では球の質量が8倍になるため、1/4という答えは条件を満たしません。

図3の修正では、質量の倍率8と距離の二乗の倍率4を別々に書き、8/4 = 2とします。同じ球について表面から中心距離2Rの位置へ移るなら、質量は変わらないので加速度は1/4です。同じ天体で位置を変える話と、別の天体の表面を比べる話を分けてください。

別の誤答は、gₛ = (4/3)πGρRを上空の任意の位置にも使うことです。この式のRは天体の半径であり、表面のr = Rを代入して得た式です。上空ではまずGM/(r²)に戻り、r = R + hとします。もう1つの落とし穴は、質量密度を単に「重さ」と呼んでMと混ぜることです。ρは質量を体積で割った量で、Mとは単位も意味も異なります。

練習: 条件を変えた5つの球

以下ではGを共通の万有引力定数とし、天体は静止した球対称で、他の力は無視します。各問の比は既約分数または整数で答えてください。球の密度は一様とします。

1. 天体Pの半径をb、質量をMとします。天体QはPと同じ質量で半径が3bです。Qの表面重力加速度はPの何倍ですか。
2. 天体Uの半径をc、密度をρとします。天体Vは半径が4c、密度がρ/2です。Vの質量と表面重力加速度は、それぞれUの何倍ですか。
3. 半径dの天体の表面重力加速度をgとします。表面から高さ2dの位置での加速度をgの倍数で求めてください。
4. ある球対称天体の半径をe、表面重力加速度をgとします。表面から外へ移動した点で加速度がg/16になりました。その点の表面からの高さをeの整数倍で求めてください。
5. 球対称天体XとYの表面重力加速度は等しく、Yの半径はXの5倍です。Yの平均密度と質量は、それぞれXの何倍ですか。

解答と場面への確認

1. 質量は同じで中心からの距離は3倍です。表面重力加速度の比は1/3² = 1/9です。Qの半径と質量をGM/(r²)へ戻すと、GM/(9b²)となり、PのGM/(b²)の1/9です。密度を同じにした問題ではないため、質量を27倍にしません。

2. 体積比は4³ = 64で、密度比は1/2です。質量比は(1/2)・64 = 32です。表面重力加速度の比は32/4² = 2です。別に密度と半径の積を使うと(1/2)・4 = 2となります。32倍の質量を中心距離4倍の位置で割り戻しても2倍です。

3. 高さ2dを半径dに足すと中心距離は3dです。同じ天体の質量は変わらないので、加速度はg/3² = g/9です。表面の式g = GM/(d²)に戻すと、上空のGM/((3d)²)は確かにg/9です。高さ2dを中心距離とする1/4は、出発点の半径を落としています。

4. 中心距離をrとおくとg/16 = g・e²/(r²)です。gは正なので約分し、r² = 16e²です。外部にありrは正なのでr = 4eです。高さは中心距離から半径を引いて3eです。これを戻すと中心距離はe + 3e = 4eとなり、加速度は表面の1/16です。負の距離は位置の条件に合いません。

5. 表面重力加速度の比は密度比と半径比の積です。密度比をkとすると1 = k・5なのでk = 1/5です。質量比は密度比に体積比を掛け、(1/5)・5³ = 25です。表面の式に戻すと25/5² = 1となり、重力加速度が等しいという条件を満たします。半径だけで質量比を決めず、密度が変わることも使います。

手元に残す要点

• 球対称天体の表面・外部では、中心からの距離rを用いg(r) = GM/(r²)です。
• 表面ではgₛ = GM/(R²)、平均密度ρを使えばgₛ = (4/3)πGρRです。
• 同密度なら表面重力加速度は半径に比例し、同質量なら半径の二乗に反比例します。
• 高さhの位置は中心からR + hであり、表面の式をそのまま使いません。

自分の図で確かめる

大小の球を2つ描き、それぞれの中心と表面に印を付けてみてください。同じ密度で半径が変わるとき、質量が何倍になるかを先に書き、次に中心からの距離の二乗で割ります。答えだけが合っていても、中心からの距離や質量の変化を説明できなければ、別の高さを問われたときに式が崩れます。

個別指導で考えを確かめるなら、質量一定と密度一定の2つの比較図を描き分け、どちらの量が変わるかを口に出して説明します。続いて上空の点を加え、半径と高さの和を指して式へ移します。中心からの距離と球全体の質量を同じ図に置けば、表面重力の比は条件から決まります。