武蔵野個別指導塾の特徴

高校物理力学脱出速度と位置エネルギー—無限遠の基準から束縛される条件を式で判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる力学

無限遠で位置エネルギーを0とする理由から、円軌道との速さの比まで追う脱出速度の考え方です。

よくあるのは、天体の近くにある物体の位置エネルギーが負と聞き、速さの二乗まで負になると考える場面です。位置エネルギーの負号は基準より低いことを示します。運動エネルギーは0以上なので、2つを足した全エネルギーの符号を調べる必要があります。

どの速さなら遠くまで行けるのでしょうか。空気抵抗や推進を無視したモデルで、天体の中心からの距離とエネルギーを対応させます。実在の天体の数値は使わず、条件を自分で置いた問題で考えます。

何を判定する問題か

最初の型は、ある距離で静止している物体の位置エネルギーや、速さを与えられた物体の全エネルギーを求める問題です。距離は地表からの高さではなく中心から測ります。無限遠を位置エネルギー0としたとき、有限の距離では位置エネルギーが負になります。

次の型は、無限遠へ到達するための最小の初速を求める問題です。境界では、距離が限りなく大きくなるときの速さも0に近づきます。無限遠へ有限時間で到着して止まるという意味ではありません。初速が境界より大きければ、無限遠での速さの極限は正です。

もう1つは、同じ距離での円軌道速度と脱出速度を比べる問題です。円運動の式は円軌道に限って使い、エネルギー保存は引力以外の仕事がない区間で使います。全エネルギーが負なら無限遠には行けませんが、それが安全な周回軌道を保証するわけではありません。進行方向によっては天体の表面に衝突します。

無限遠を基準にした収支

質量Mの球対称な天体の外側を考えます。天体の中心からの距離をr、物体の質量をm、万有引力定数をGとし、天体を固定して物体を質点とみなします。引力は中心向きで、大きさはGMm/r²です。空気抵抗、他の天体の引力、推進は無視します。表面を通過する運動や天体内部には、この外部の式をそのまま使いません。

図1のように、中心から離すには引力に逆らって外から仕事を与えます。無限遠を位置エネルギーの基準0とすると、距離rの位置エネルギーはU = -GMm/rです。この式は高校で用いる万有引力の位置エネルギーの式として用います。負号は、その位置から無限遠まで運ぶために正の仕事GMm/rが必要だと表しています。

速さをvとすれば、運動エネルギーK = mv²/2は負になりません。全エネルギーEは次の和です。

E = K + U
E = mv²/2 - GMm/r

引力による位置エネルギーと運動エネルギーの間で移り変わっても、両者の和は一定です。Uが負だからといってKが負になるわけではありません。たとえばKが位置エネルギーの絶対値より小さければEは負、大きければEは正です。

出発距離をr₀、出発の速さをv₀、無限遠での速さの極限をv∞とします。無限遠ではUが0に近づくので、そこまで到達する運動では保存則から次が成り立ちます。

mv₀²/2 - GMm/r₀ = mv∞²/2
v∞² = v₀² - 2GM/r₀

境界ではv∞ = 0です。したがって脱出速度をvₑとすると、vₑ = √(2GM/r₀)です。物体の質量mが両辺から消えるのは、運動エネルギーと引力の位置エネルギーの両方がmに比例するためです。GとMが一定なら出発距離が大きいほど必要な速さは小さくなります。GM/r₀の単位はm²/s²で、平方根は速さの単位です。

E < 0では無限遠の運動エネルギーが負になってしまうため、無限遠に達することはできません。E = 0は境界、E > 0はエネルギー上は脱出可能です。ただし、表面へ向かう初速では、その前に衝突する場合があります。脱出速度の式で方向を問わないのは、天体との衝突を避けて引力だけで運動を続けられるという条件の下です。

同じ半径r₀の円軌道では、引力が中心向きの加速度を生みます。つり合って静止するのではありません。

mv꜀²/r₀ = GMm/r₀²
v꜀² = GM/r₀
vₑ = √2 v꜀

円軌道の全エネルギーはE = -GMm/(2r₀)で負です。円軌道から同じ位置で接線方向に速さを増すなら、速さを√2倍にしたところが脱出の境界です。必要なのは速さを2倍にすることではなく、運動エネルギーを2倍にすることです。

基本：外向きに放つ

質量Mの天体の外部で、GM = 36 m³/s²とします。中心から9 mの位置にある質量2 kgの小物体を、半径方向の外向きに速さ2 m/sで放します。天体は固定され、引力以外の力は無視します。初めの位置エネルギー、全エネルギー、脱出速度を整数または根号を含む形で求めてください。

図2の出発点で、距離と質量をそれぞれ代入します。

U = -36・2/9 = -8 J
K = 2・2²/2 = 4 J
E = 4 - 8 = -4 J
vₑ = √(2・36/9) = 2√2 m/s

初速2 m/sは2√2 m/sより小さく、Eも負です。外向きに進む間は引力で減速し、無限遠には行けません。速さの二乗が負なのではなく、与えられた運動エネルギーが脱出に必要な8 Jより4 J不足しています。

戻して確かめると、境界の速さ2√2 m/sでの運動エネルギーは2・(2√2)²/2 = 8 Jです。出発点の位置エネルギー-8 Jと足して0になり、無限遠での速さが0に近づく条件に一致します。放出方向が外向きなので、出発直後に表面へぶつかる心配もありません。

標準：余ったエネルギーを読む

別の天体についてGM = 40 m³/s²とします。中心から10 mの位置で質量3 kgの物体を外向きに速さ4 m/sで放します。外部では引力だけが働くものとして、無限遠での速さの極限を根号を用いて求めてください。

E = 3・4²/2 - 40・3/10
E = 24 - 12 = 12 J
3v∞²/2 = 12
v∞ = 2√2 m/s

無限遠で位置エネルギーが0に近づいても、12 Jの運動エネルギーが残ります。逆にこの速さを代入すると3・(2√2)²/2 = 12 Jで、出発点の全エネルギーに戻ります。速さは正の平方根を採用します。

初速が境界に等しいなら残るエネルギーは0、境界未満なら無限遠での速さの式が負になり、無限遠へ行くという前提が成立しません。式に負の値が出たときは、負の速さを作るのではなく、到達可能性を見直します。

発展：円軌道から速度を変える

GM = 64 m³/s²の天体の中心から16 mの円軌道を、質量1 kgの探査物体が回っています。その位置で接線方向に瞬間的に加速し、その後は引力だけを受けるものとします。脱出の境界にするため、加速前後の速さと増加量を根号を用いて求めてください。軌道半径は天体の半径より大きいものとします。

円軌道の運動方程式から、加速前の速さは次のようになります。

v꜀² = 64/16 = 4
v꜀ = 2 m/s
vₑ² = 2・64/16 = 8
vₑ = 2√2 m/s
速さの増加量 = 2√2 - 2 m/s

別の見方では、初めの全エネルギーは4/2 − 64/16 = -2 Jです。位置が変わらない瞬間の加速で位置エネルギーは変わりません。全エネルギーを0にするには運動エネルギーを2 J増やします。初めの2 Jを4 Jにするので、加速後の速さはやはり2√2 m/sです。

この別解は、加速が同じ位置で瞬間的に行われるという条件を使います。長時間エンジンを働かせて位置も変わる場合、加速中に引力だけの力学的エネルギーを保存することはできません。また増加量を求めるときは、速さの二乗の差からそのまま速さの差を読めません。

加速後に代入すると、運動エネルギーは(2√2)²/2 = 4 J、位置エネルギーは-4 Jです。接線方向への増速なので出発点は軌道の最も内側となり、出発後に天体へ突入するケースを避けられます。円軌道の半径と加速後のエネルギーの両方を確認しました。

模型とグラフで式を調べる

遠方までの天体運動を教室でそのまま再現することはできません。そこで、式の予測を調べる模型として、GMを固定した計算表を作ります。独立変数を中心からの距離r、測定に相当する量を単位質量あたりの位置エネルギーU/mとします。横軸を1/r、単位を1/m、縦軸をU/m、単位をJ/kgとすれば、式はU/m = -GM・(1/r)です。点が直線に並ぶモデルで、傾きは-GMです。

例えばGM = 12 m³/s²として距離3 m、4 m、6 mを選ぶと、自作データのU/mは順に-4、-3、-2 J/kgです。いずれも横軸の値に-12 m³/s²を掛ければ戻ります。この直線は計算で作ったものであり、観測の結果ではありません。横軸をrにした場合は曲線になり、同じ傾きを読み取れません。

画像から距離を測る模型実験を学校の指導の下で設計するなら、中心の位置、長さの目盛り、撮影方向をそろえ、同じ条件の画像を繰り返し読みます。中心を一貫してずらせば距離に系統的な誤差が入り、目盛りの読み取りのばらつきは偶然誤差になります。点が散るときは反復した値を比べ、原点を通るかを決めつけず、基準のずれも調べます。画像の模型が実際の逆二乗の引力を再現していなければ、軌道から脱出条件を実証したことにはなりません。

負号を見たときの修正

誤答は「Uが負なのでv²も負」とするものです。例えば出発点でU = -8 J、K = 4 Jなら、E = -4 Jです。運動エネルギーと位置エネルギーは別の量なので、それぞれの符号を先に置いて足します。

図3のように負のUと正のKが共存します。負になるのはその和の場合があります。無限遠を仮定して負のKが必要になったときは、その場所に到達できないと判定します。有限の場所での速さまで負の二乗にする必要はありません。

もう一つの誤りは、地表からの高さをそのままrに代入することです。天体の半径をR、高さをhとすると中心からの距離はR + hです。地表でh = 0としてもr = Rであり、位置エネルギーは発散しません。基準を地表へ変えた場合は位置エネルギーに定数が加わるので、全エネルギー0を脱出の境界とする判定もそのまま移せません。

練習：5つの出発条件

各問で天体は固定され、外部では万有引力以外の力を無視します。数値は計算用の自作条件です。小物体は質点とし、外向きの放出では出発点より外に障害物はありません。答えは整数、分数または根号を含む形で表してください。

GM = 18 m³/s²、中心からの距離が6 m、質量が2 kgの物体を静止させます。位置エネルギーと全エネルギーをJで求めてください。
GM = 50 m³/s²、中心からの距離が4 mの点から外向きに放します。脱出速度をm/sで求めてください。
GM = 24 m³/s²、中心からの距離が8 mの点から外向きに速さ4 m/sで放します。無限遠での速さの極限をm/sで求めてください。
GM = 27 m³/s²、中心からの距離が3 mの円軌道を回る物体について、円軌道速度と脱出速度をm/sで求めてください。
GM = 20 m³/s²、中心からの距離が5 mの点から質量1 kgの物体を外向きに速さ2 m/sで放します。折り返す距離をmで求めてください。

練習の答えと道筋

U = -18・2/6 = -6 Jです。静止しているのでK = 0 J、E = -6 Jです。位置に戻すと、無限遠まで運ぶのに6 Jが必要で、静止のままではその分を持っていません。
vₑ² = 2・50/4 = 25より、vₑ = 5 m/sです。単位質量あたりの初めの運動エネルギーは25/2 J/kg、位置エネルギーは-50/4 = -25/2 J/kgで、和が0になります。
保存則よりv∞² = 4² − 2・24/8 = 10です。答えは√10 m/sです。単位質量あたりの初めのエネルギーは16/2 − 24/8 = 5 J/kgで、無限遠の運動エネルギー10/2 = 5 J/kgと一致します。
v꜀² = 27/3 = 9よりv꜀ = 3 m/sです。vₑ² = 2・27/3 = 18よりvₑ = 3√2 m/sです。円運動の中心向き加速度は3²/3 = 3 m/s²、引力による加速度も27/3² = 3 m/s²です。脱出速度では単位質量あたりのエネルギーが18/2 − 27/3 = 0です。
初めの全エネルギーは2²/2 − 20/5 = -2 Jです。外向きに進み、折り返し点では速さが0になります。距離をrとおくと-20/r = -2よりr = 10 mです。10 mは出発点の外側で、そこでは位置エネルギー-2 Jと運動エネルギー0 Jの和が出発時と一致します。折り返し後は内向きに戻り、表面に当たる可能性があります。