高校物理 力学 ばねの接続と周期—直列と並列の復元力を変位から導いて比較する｜武蔵野個別指導塾

接続点の力と各ばねの伸びを区別し、直列と並列の周期や測定誤差をたどることで、式の違いの理由に迫るばねの接続。

よくあるのは、2本のばねを縦につなぎ、おもりを引いた距離を両方のばねの伸びにそのまま割り当てる場面です。おもりが右へ動いた距離は2本の伸びの合計です。途中の接続点も動くため、それぞれの伸びは一般に同じではありません。力と変位のどちらが共通なのかを図から選ぶと、周期の公式を暗記する前に接続の意味が見えてきます。

ここでは水平面上の理想ばねを中心に考えます。摩擦とばねの質量を無視し、ばねは伸びても縮んでも自然長からの変形に比例する力を及ぼすものとします。変形がこの範囲に収まる振幅を選びます。ばねがたるむ糸のように押せない装置や、接続点に無視できない質量がある装置には、そのまま適用できません。

接続の問いを3つに分ける

直列では、おもりの移動が各ばねの変形にどう分配されるかが問われます。軽い接続点の左右の力を比べ、全体の変位を足します。並列では、両ばねの端が同じおもりにつながるため、両方の変位が共通です。おもりに働く2つの力を足して、全体の硬さを求めます。

さらに、得られた硬さとおもりの質量から周期を比較する問いがあります。周期は硬さに反比例するのではなく、その平方根を通じて決まります。接続点が固定されていないか、2本の端が本当に同じ距離だけ動くかを先に確かめることが、式を選ぶ出発点です。

接続点の力と全体の変位

ばね定数 k は、自然長からの変形 x に対し、復元力の成分が -kx となる比例定数です。正方向に伸ばしたときは負方向へ、負方向に縮めたときは正方向へ力が働きます。単位は N/m です。x は長さそのものではなく、基準の位置からの符号付き変位です。

図1のように直列の左端を固定し、右端のおもりを右へ x 動かします。左のばねの伸びを x₁、右の伸びを x₂ とすると、途中の接続点が移動した分を含めて x = x₁ + x₂ です。接続点の質量を無視すると、そこに働く左右の力はつり合います。伸ばした場合の力の大きさを F とすると、F = k₁x₁ = k₂x₂ です。接続点が重い場合には、その点にも運動方程式が必要で、この等式は一般に成り立ちません。

図1の直列では x₁ = F/k₁、x₂ = F/k₂ です。これらを全体の変位に代入すると、x = F(1/k₁ + 1/k₂) となります。全体を1本のばねに置き換えた定数を K とし F = Kx と定義すれば、次の関係が得られます。

1/K = 1/k₁ + 1/k₂
K = k₁k₂/(k₁ + k₂)

変位が負の場合も、各変形と力を符号付きで扱えば同じ比例関係になります。直列の K は各定数より小さく、柔らかい方のばねがより大きく変形します。2本が同じ定数 k なら変形は半分ずつで、K = k/2 です。等しい変形は対称な特別の場合であって、直列の定義ではありません。

並列では固定端とおもりの間に2本を掛け、両方がおもりと同じ x だけ変形します。各ばねがおもりに及ぼす力は -k₁x と -k₂x です。合力は -(k₁ + k₂)x ですから、K = k₁ + k₂ となります。ここでは力の大きさが同じとは限らず、硬いばねほど大きく力を分担します。図1はこの共通量の違いを表しています。

K の単位はどちらの式でも N/m です。片方の定数を極端に大きくすると、直列ではもう片方の定数に近づきます。ほとんど伸びないばねをつないでも、残ったばねの変形が全体を支配するためです。並列では硬いばねの寄与がそのまま増えます。この両端の見通しは、逆数の取り忘れを点検する際に役立ちます。

質量 m のおもりがつり合い位置から x だけずれたとき、運動方程式は ma = -Kx です。加速度が変位に比例し向きが反対なので、角振動数 ω = √(K/m) の単振動です。円運動の射影の関係 T = 2π/ω を使えば、周期は T = 2π√(m/K) です。比例関係が振動の全範囲で成立する理想条件では、振幅は周期に入りません。振幅を大きくして比例範囲や接続部の可動範囲を越えれば、この結論を保証できません。

鉛直配置でも、重力で伸びた静止位置を新たな原点に取れば同じ形になります。静止時の重力とばねの力が相殺され、そこからの変位に対する増分が -Kx になるからです。自然長からの総伸びと、静止位置からの振動の変位を混ぜないことが必要です。

基本例題：直列の伸びを分ける

固定端から順に、ばね定数 12 N/m、6 N/m の軽いばねを直列につなぎ、右端に質量 2 kg の小物体を付けます。滑らかな水平面上で静止位置から右へ 0.30 m 引いて静かに放します。比例範囲内であるとして、放す瞬間の各ばねの伸びと周期を求めます。長さは小数、周期は π と根号を用いた正確な値で答えます。

図2のように、2本の伸びの合計は 0.30 m です。接続点のつり合いから 12x₁ = 6x₂、したがって x₂ = 2x₁ となります。合計に代入すると x₁ = 0.10 m、x₂ = 0.20 m です。力はそれぞれ 1.2 N で一致します。

図2の力と変位から K = 1.2/0.30 = 4 N/m です。一般式でも 12・6/(12 + 6) = 4 N/m と得られます。周期は T = 2π√(2/4) = π√2 s です。放す瞬間の加速度は左向きに 1.2/2 = 0.60 m/s² で、変位と逆向きです。2つの伸びを足すと与えられた 0.30 m に戻り、各ばねの力も接続点で一致するため、分配が条件に合っています。

標準例題：並列と直列の比較

ばね定数 8 N/m と 24 N/m の軽いばねを使い、質量 2 kg の小物体を水平に振動させます。直列と並列にそれぞれつなぎ替え、各周期および直列の周期を並列の周期で割った比を、π と根号を使って正確に求めます。両配置とも比例範囲内で、抵抗は無視します。

直列では K = 8・24/(8 + 24) = 6 N/m なので、T直列 = 2π√(2/6) = 2π/√3 s です。並列では K = 8 + 24 = 32 N/m なので、T並列 = 2π√(2/32) = π/2 s です。したがって周期の比は 4/√3 です。

比の別の求め方では、質量が共通であることから T直列/T並列 = √(K並列/K直列) と置きます。√(32/6) = 4/√3 となり、同じ結果です。逆数を確認するには、直列の方が柔らかく、周期が長いと考えます。得た周期を T²K = 4π²m に戻すと、どちらも 8π² kg となり、共通の質量に対応します。

発展例題：混合接続と別の見方

固定壁から定数 6 N/m のばねを1本伸ばし、その先の軽い接続板と質量 3 kg のおもりの間に、定数 4 N/m と 8 N/m のばねを並列につなぎます。水平面は滑らかで、板は平行移動し、ばねは比例範囲内です。おもりを静止位置から 0.30 m 引いた瞬間の各部分の変形、復元力の大きさ、周期を求めます。長さと力は小数、周期は π を用いた正確な値で答えます。

まず並列部分の定数は 4 + 8 = 12 N/m です。この部分と 6 N/m のばねは直列なので、全体の定数は 6・12/(6 + 12) = 4 N/m です。復元力の大きさは 4・0.30 = 1.2 N です。したがって単独のばねの変形は 1.2/6 = 0.20 m、並列部分の変形は 1.2/12 = 0.10 m です。並列の2本はいずれも 0.10 m 変形し、力はそれぞれ 0.4 N、0.8 N です。その和は 1.2 N で、板の反対側の力とつり合います。変形の合計も 0.30 m に戻ります。

周期は T = 2π√(3/4) = π√3 s です。別解として、板の変位を y、おもりの変位を x とすると、板に働く力のつり合いは 6y = 4(x − y) + 8(x − y) です。これを解くと y = 2x/3 で、並列部分は x/3 だけ伸びます。おもりへの合力は -12(x/3) = -4x となり、同じ有効定数が出ます。

まとめて置き換える方法は接続のまとまりが明瞭な場合に速く、板の変位を置く方法は途中の変形や力も知りたい場合に便利です。どちらも板が質量なしで、2本の並列部分が同じ変形をする条件に依存します。板が傾く場合や、途中に質量があって独立に動く場合は、1つの有効定数で全運動を表せるとは限りません。

周期測定を設計する

学校の指導の下で、小さい振幅で動かせる装置を用意します。独立変数をおもりの質量 m、測定量を周期 T とし、接続方法とばねを変えずに質量を変えます。質量には接続されて一緒に動く部品を含め、各回で同じ方法で数えます。水平面の傾きや摩擦、振幅、放し方もそろえます。強いばねや落下のおそれのある装置を家庭で操作する手順は採りません。

複数周期の所要時間を測り、周期数で割ると、開始と終了の反応時間の影響を1周期あたりに小さくできます。同じ質量で繰り返し、測定値の散らばりを記録します。周期の二乗 T² を縦軸 s²、質量 m を横軸 kg に取れば、理想式 T² = (4π²/K)m より直線の傾きは 4π²/K です。面積ではなく傾きを読む図です。

例えば練習用の自作データとして、m = 1 kg で T² = π² s²、m = 2 kg で T² = 2π² s² を置けば、傾きは π² s²/kg、推定した K は 4 N/m です。これは実測値ではなく、計算の読み取り例です。軸の単位を取り違えると定数の単位も変わるため、数値だけでなく単位を追います。

測定ごとに反応の遅れが変わると値は散らばります。一方、動く部品の質量を毎回数え忘れると、質量軸のずれとして同じ向きの誤差が残りえます。ばね自体の質量や抵抗も理想モデルとの差の候補です。切片が出たときは、測定のばらつきと装置の条件を調べずに原点を通す直線を押し付けません。比例範囲から外れていないかは、複数の振幅で周期を比べることで検討できます。

間違いを接続点へ戻す

図3のように、異なる硬さの直列ばねを引いて、両方の伸びを全体の変位と同じ x にする答案を考えます。2本の伸びを足すと 2x となり、端の移動 x に合いません。半分ずつに直しても、硬さが違えば接続点の両側の力が一致しないので十分ではありません。

図3の修正では、各変形を x₁、x₂ と分け、まず x₁ + x₂ = x を書きます。次に軽い接続点へ作用する2つの力を比べ、k₁x₁ = k₂x₂ とします。変位の和と力のつり合いを両方満たす値を求めると、誤りの原因を式に戻せます。

並列で逆数を足す誤りも、共通の変位と力の和を描けば見分けられます。もう1つの誤りは K が4倍になったとき周期も4分の1とすることです。T は √(1/K) に比例するので、質量が同じなら周期は2分の1です。公式の文字だけを見る前に、何が固定されている比較かを確認します。

自分で試す5問

いずれも軽い理想ばね、滑らかな水平面、比例範囲内の振動とします。根号や π を使う答えは正確な値で表し、長さと力は小数または整数で答えます。

1. 定数 10 N/m と 15 N/m のばねを直列につなぎ、全体を 0.50 m 伸ばします。各ばねの伸びと力の大きさを求めます。
2. 定数 5 N/m と 7 N/m のばねを並列につなぎ、質量 3 kg の物体を振動させます。有効定数と周期を求めます。
3. 同じ定数 18 N/m のばね2本を直列にして質量 1 kg を振動させます。並列にしたときの周期は直列の何倍ですか。
4. 直列の2本の有効定数が 4 N/m、片方が 12 N/m です。もう片方の定数を求めます。
5. 定数 3 N/m と 9 N/m の並列部分を、定数 12 N/m のばねに直列につなぎます。質量 6 kg の周期と、全体を 0.20 m 伸ばした瞬間の並列部分の変形を求めます。

答えと途中の確かめ

1. 共通の力を F とすると、0.50 = F/10 + F/15 = F/6 です。F = 3 N、伸びは順に 0.30 m と 0.20 m です。和は 0.50 m、各ばねの力は 10・0.30 = 15・0.20 = 3 N で、元の条件に戻ります。

2. K = 5 + 7 = 12 N/m です。T = 2π√(3/12) = π s です。T²K = 12π² kg は 4π²・3 kg と一致します。各ばねが同じ変位を受け、復元力の係数が合計される配置です。

3. 直列の K は 9 N/m、並列の K は 36 N/m です。周期の比は √(9/36) = 1/2 です。直接求めても直列は 2π/3 s、並列は π/3 s となり、比が戻ります。硬い並列の周期が短い向きも合います。

4. 未知の定数を k とすると、1/4 = 1/12 + 1/k です。1/k = 1/6 なので k = 6 N/m です。12・6/(12 + 6) = 4 N/m と、指定された全体の定数に戻ります。

5. 並列部分は 3 + 9 = 12 N/m、これと 12 N/m の直列は K = 6 N/m です。T = 2π√(6/6) = 2π s です。全体の力は 6・0.20 = 1.2 N、並列部分の変形は 1.2/12 = 0.10 m です。残る直列部分も 1.2/12 = 0.10 m で、合計は 0.20 m です。並列の各力 0.3 N と 0.9 N の和は 1.2 N となり、接続点でも一致します。

手元に残す要点

直列は接続点の力をそろえ、変形を足します。 並列は変形をそろえ、物体への力を足します。 周期は質量と有効ばね定数の比の平方根で決まります。 比例範囲と軽い接続点の条件を、式を使う前に確認します。

解き始めで迷ったら、固定端、接続点、おもりを別々に描き、どの点がどれだけ動くかを矢印で示してみてください。個別指導で確かめるなら、まず接続点に作用する力の向きを説明し、次に変形の和が端の移動に戻るかを見ます。式が合っていても、どの物体に働く力かを言えなければ、接続図に戻る余地があります。変位と力をそれぞれの物体に結び付けると、周期の比較まで筋道を保てます。