高校物理 波の重ね合わせ—二つのパルスの移動と変位の和を時刻別に描く｜武蔵野個別指導塾

逆向きの三角形を端と頂点の座標で追い、山と谷の通過後まで描く鍵は波の重ね合わせです。

よくあるのは、高校生が逆向きに進む二つの山を見て、衝突後にはそれぞれ跳ね返ると考える場面です。山が近づいて一時的に高くなり、その後に離れる様子は、物体同士の衝突に似て見えます。しかし、ひも上の山はひもの一部分が横へ運ばれた物体ではありません。各位置の変位を足してできる形と、各波が単独で進む形を分けて追うと、通過後の姿まで同じ手順で描けます。

どの時刻の形を求めるか

典型的な問いには、二つの波が初めて触れる時刻、重なっている途中の折れ線、通過後の波形があります。頂点が同じ位置に来る時刻と、波の端が初めて接する時刻は別です。また、片方が谷であれば変位に負の符号を付け、山の高さから谷の深さを引きます。

目標は、各波を別々に移動し、同じ位置で縦の値を加えることです。波形のグラフの横軸は位置、縦軸は平衡位置からの変位です。一枚のグラフは指定された一瞬を表します。頂点だけを追えば常に正解するわけではありません。重なりの端と、それぞれの頂点で傾きが変わるため、それらの位置を順に調べます。

以下では、十分長い一様なひも上を、形と速さを保って進む小さい横波を考えます。端での反射は考えません。重ね合わせが成り立つ理想化の下では、各波は相手がないときと同じように進みます。実際のひもで大きな変形や損失がある場合に、いつでもこの近似が正確だと決めることはできません。

位置ごとに足す理由

変位とは、ひもの各部分が静止しているときの位置からどれだけずれたかを、上下の向きを含めて表した量です。右向きを位置 x の正、上向きを変位 y の正とします。右へ速さ v で進む波は、時間 t の間に形全体が右へ vt だけ移ります。左向きなら同じ距離だけ左へ移ります。位置と変位には別の軸を使うため、右向きの波の変位が必ず正になるわけではありません。

図1のように、同じ時刻、同じ位置でそれぞれの変位を読みます。上向きの変位と下向きの変位は符号を付けて足します。異なる位置にある高さ同士を足しても、その位置のひもの形は得られません。

図1では一方が上に2、もう一方が下に1の変位を与えるため、合成変位は上に1です。単位は共通であれば何でもよく、図は変位の足し方を示す模式図です。波の進行方向と変位の上下方向は別々に記録します。

初めの形を位置の関数 f(x)、g(x) とし、両方の速さを v とします。時刻 t に右向きの波が位置 x で取る値は f(x − vt) です。現在の位置から移動距離を引くと、同じ形の部分が初めにあった位置に戻るからです。同様に左向きの波は g(x + vt) です。したがって合成変位は

y = f(x − vt) + g(x + vt)

と表せます。式は二つの波を入れ替えたり反射させたりしていません。足し算の結果として一時的な形が現れ、各成分は元の向きに進み続けます。

有限幅の三角形なら、両端と頂点の3点を移して直線で結びます。その後、左右の端と頂点を合わせて位置順に並べ、各位置で縦の値を足します。隣り合う折れ点の間では各成分が直線かゼロなので、和も直線です。したがって、その区間では両端の和を結べば途中も決まります。途中に別の頂点がある場合は、そこを飛ばして結んではいけません。

基本例題：同じ山が近づく

時刻0 sに、波Aは位置 x = 0 mから4 mまでの三角形で、頂点は2 m、高さは2 cmです。波Bは8 mから12 mまでの同じ形で、頂点は10 mです。Aは右へ、Bは左へ、それぞれ1 m/sで進みます。ひもは十分長く、初めの形以外の変位はゼロです。上を正として、初めて接する時刻、2 s、3 s、4 sの合成波形、および通過後の6 sの形を求めます。座標は整数、単位はmとcmで答えます。

まず、Aの右端は 4 + t、Bの左端は 8 − t です。両端が等しいとき初めて接するので、4 + t = 8 − tから t = 2 sです。その位置は6 mです。端の変位はどちらもゼロなので、この瞬間に重なりによる高さはまだ生じません。

2 sではAの端と頂点は順に2、4、6 m、Bは6、8、10 mです。図2のように二つの端が接し、頂点はそれぞれ2 cmです。各点をその順に直線で結び、外側は変位ゼロとします。

図2の横軸は位置、縦軸は上向きを正とする変位です。2 sに波が触れる場所は、二つの頂点の中点であって、頂点そのものではありません。

3 sではAの端と頂点が3、5、7 m、Bは5、7、9 mです。重なる区間は5 mから7 mです。5 mではAが2 cm、Bが0 cm、7 mではAが0 cm、Bが2 cmです。間ではAが1 mあたり1 cm下がり、Bが同じだけ上がるので、和は2 cmのままです。合成波形は (3, 0)、(5, 2)、(7, 2)、(9, 0) を順に直線で結ぶ台形です。座標の横成分はm、縦成分はcmです。

4 sでは二つの波の端が4 mと8 m、頂点が6 mに一致します。頂点の高さは 2 + 2 = 4 cm、端ではゼロです。したがって (4, 0)、(6, 4)、(8, 0) を結ぶ三角形です。6 sではAが6、8、10 m、Bが2、4、6 mにあり、再び端で接します。右の山がA、左の山がBです。どちらも高さは2 cmに戻り、通過後も各波の進行向きは変わりません。

検算では時間を元の移動距離に戻します。例えば4 sでは両頂点がそれぞれ4 m移動し、2 + 4 = 6、10 − 4 = 6となります。3 sの台形も、中央の位置6 mで各波が1 cmずつであることから、高さ2 cmを確かめられます。頂点を結ぶだけでは、この平らな部分を見落とすことがあります。

標準例題：山と谷が重なる

時刻0 sに、Aは x = 0、2、4 mで変位が順に0、3、0 cmの山です。Bは x = 6、8、10 mで順に0、-2、0 cmの谷です。各点の間は直線で、それ以外はゼロです。Aは右へ、Bは左へ1 m/sで進みます。2 sの合成波形の折れ点を、位置mと変位cmの整数の組で求めます。

2 sではAの3点は2、4、6 m、Bの3点は4、6、8 mです。位置2 mでは0、4 mでは 3 + 0 = 3 cmです。6 mでは 0 + (-2) = -2 cm、8 mでは0です。よって (2, 0)、(4, 3)、(6, -2)、(8, 0) を順に結びます。4 mから6 mの間で和が正から負へ変わる点も求めるなら、傾きは (-2 − 3)/(6 − 4) = -5/2 cm/mです。3 − (5/2)・(x − 4) = 0から x = 26/5 mです。

元の波に戻して確かめると、x = 26/5 mではAの高さは6/5 cm、Bは-6/5 cmです。和はゼロですが、それぞれの波が消えたわけではありません。互いの変位が一時的に打ち消し合った位置です。山と谷が同じ範囲で同じ大きさになれば、その範囲の合成変位はゼロになりますが、次の時刻には再び非ゼロの形が現れ得ます。

発展例題：重なる時間を端から求める

時刻0 sに、右向きの波Cの範囲は x = 1 mから5 m、左向きの波Dの範囲は x = 11 mから13 mです。両者の端の変位はゼロで、内部には変位がゼロでない部分があります。速さはCが2 m/s、Dが1 m/sです。形は変わらず進むものとして、波の範囲が初めて接する時刻と、完全に通過して再び端で接する時刻を、秒単位の整数で求めます。

近い端の位置はCが 5 + 2t、Dが 11 − t です。等しいと置くと 3t = 6、よって2 sです。遠い端で通過後に接するときは、Cの左端 1 + 2t とDの右端 13 − t が等しくなります。3t = 12から4 sです。2 sから4 sの間は範囲が正の長さにわたって重なります。端の接触時には、その接点での両方の変位はゼロです。

別解では、互いに近づく速さを 2 + 1 = 3 m/sと見ます。初めのすき間6 mを詰めるまで2 s、その後に波の幅の和 4 + 2 = 6 mを通過するまでさらに2 sです。元の位置でも検算します。2 sでは近い端がともに9 m、4 sでは遠い端がともに9 mです。この別解は、幅が一定で両波が互いに向かって進むという条件に支えられています。

波の範囲が重なっている時間と、合成変位が非ゼロになる時間は同じ意味ではありません。山と谷が同じ大きさで重なると、部分的または全体的に打ち消されるからです。また端の位置が同じという条件を、頂点が一致する条件に置き換えることもできません。非対称な形や異なる幅では、接触位置と頂点の位置関係はさらに変わります。

描き間違いを直す

図3のように、見かけの山の移動を粒子の衝突と同じものとして扱い、二つの波が出会った後に元の側へ戻る、と答える誤りがあります。同じ形の山同士では通過後の見た目が似ているため、山だけを眺めてもどちらがどちらか判別しにくいことが原因です。

図3では色で成分を区別し、それぞれの矢印を通過後まで同じ向きに保っています。区別した点を追うと、右向きの成分は右側、左向きの成分は左側へ進みます。図は進行向きの模式図で、ひもの粒子が矢印の向きに運ばれることを意味しません。

もう一つの誤りは、重なり区間の両端だけを足し、その間にある頂点を無視して一本の線で結ぶことです。原因は、合成波形の傾きが変わる位置を先に列挙していないことにあります。各成分の端と頂点を順に書き、それぞれで二つの変位を求め直します。折れ点の間は直線であることまで確認すると、余計な曲線や段差を描かずに済みます。

谷を正の高さとして足す間違いもあります。たとえば上向き3 cmと下向き2 cmなら、合成は上向き1 cmです。大きさ5 cmとした答えは符号の情報を失っています。反対に、合成変位がゼロの瞬間を波の消滅と解釈すると、その後の形が描けません。各成分の位置と合成された形を別の行に記録して修正します。

観察とグラフの照合

学校の指導の下で、十分長い張ったひもの両側から小さなパルスを送り、動画の同じ時刻の画像を比較する観察を考えます。まず片側ずつ送り、端と頂点が各時刻にどこにあるかを測ります。次に両側から送り、同じ位置の変位の和と実際の形を比べます。操作は指導者の管理の下で行い、無理に強く張ったり大きく振ったりしません。

横軸に位置、縦軸に変位を取る際は、画像の時刻をそろえ、ひもが静止した位置をゼロとして読みます。片側ずつの記録で形や速さが異なれば、その実測形を同じ時間だけ移した値を足します。頂点の移動距離を時間で割った速さと、端の移動距離から求めた速さが合うかも確かめます。画像上で波の端が不鮮明な場合は、端の位置を一点に断定せず、読み取れる範囲を記録します。

誤差の原因には、撮影間隔、位置の目盛り、両側から送る時刻のずれ、振幅の減少があります。画像の間に接触した場合、接触時刻は前後の画像の時刻の間にあると考えます。予定時刻と実際の開始時刻が違えば、予測に使う移動時間をそれぞれ修正します。端から反射した波が戻る前の区間を選ぶことも重要です。測定値が予測と合わないときは、まずゼロの位置と時刻合わせを点検し、その上で形が保たれているかを比べます。

練習問題

各問では直線で結んだ有限幅の波を考え、それ以外の変位はゼロとします。位置の正方向は右、変位の正方向は上です。端からの反射はなく、形と速さは変わりません。数値は途中で丸めず、指定された単位で答えます。

1. 時刻0 sに山Pの範囲は x = 0 mから2 m、山Qの範囲は8 mから10 mです。Pは右へ2 m/s、Qは左へ1 m/sで進みます。初めて端が接する時刻を秒単位の整数で求めます。
2. 時刻0 sに山Rは x = 1、3、5 mで変位0、4、0 cmです。右へ1 m/sで進むとき、3 s後の端と頂点の位置をm単位の整数で求めます。
3. ある時刻、位置 x = 7 mで波Sの変位は-3 cm、波Tの変位は5 cmです。合成変位を符号とcmを付けて求めます。
4. ある時刻、山Uは x = 0、2、4 mで変位0、2、0 cm、谷Vは x = 2、4、6 mで変位0、-2、0 cmです。合成波形の折れ点を位置mと変位cmの整数の組で求めます。
5. 時刻0 sに右向きの波Wの範囲は x = 0 mから3 m、左向きの波Zの範囲は9 mから12 mです。どちらも1 m/sで進みます。初めて接した後、完全に通過して再び端が接するまでの時間を秒単位の整数で求めます。

練習の答えと途中式

1. 近い端は 2 + 2t と 8 − t です。等式から 3t = 6、t = 2 sです。元の条件に戻すと、両端はともに6 mです。初めのすき間6 mを、近づく速さ3 m/sで割っても2 sです。
2. 右向きの移動距離は 1・3 = 3 mです。3点に3 mずつ加え、左端4 m、頂点6 m、右端8 mです。それぞれ3 mを引けば初めの1、3、5 mに戻ります。変位の高さ4 cmは変わりません。
3. 符号付きの和は -3 + 5 = 2 cmです。上向き2 cmが答えです。上向き5 cmから下向き3 cm分を引いても同じです。進行方向の情報がなくても、この位置と時刻の和は決まります。
4. x = 0、2、4、6 mでの和は順に0、2、-2、0 cmです。したがって (0, 0)、(2, 2)、(4, -2)、(6, 0) を直線で結びます。中間の x = 3 mではUが1 cm、Vが-1 cmなので、合成はゼロです。描いた線も同じ点を通ります。
5. 幅の和は6 m、互いに近づく速さは2 m/sです。接触から通過まで 6/2 = 3 sです。初めのすき間も6 mなので、初接触は3 s後、通過後の接触は6 s後です。6 s後のWの左端は6 m、Zの右端も6 mとなり、答えを元の範囲に戻して確かめられます。

覚えておくこと

同じ時刻・同じ位置の変位を符号付きで足します。
端と頂点をそれぞれの速さで移し、折れ点を位置順に並べます。
折れ点の間では、直線同士の和も直線です。
一時的な打ち消しや増大は、成分の反射や消滅を意味しません。

つまずきを見分けるには

波が触れる時刻を間違えたら、頂点ではなく近い端の座標を時間で表せるか確認します。波形の形が違えば、各波の端と頂点の位置を先に紙に並べ、同じ位置での変位を別々に書きます。谷の扱いに迷うときは、上下の正負を軸に記してから和を計算します。

個別指導で確かめるなら、まず一つの時刻について各成分の線を別に描き、ある位置で縦に値を読む理由を言葉にします。次に接触前と通過後で同じ成分の頂点がどちらへ進んだかを説明します。合成図が平らでも、二つの成分の値がそれぞれゼロとは限りません。波の形を一枚ずつ分けて追うと、重なって見える瞬間にも各成分の行方が残ります。