高校物理 位相差と距離の関係—同位相の位置を周期性から選び条件を絞る｜武蔵野個別指導塾

波長と周期から位相のずれを表し、区間内に残る候補を数えて距離を決めるための位相差。

よくあるのは、高校生が位相差から求めた距離の候補を一つに決めつけるという場面です。位相が半周期分ずれる位置は、最初の半波長先だけではありません。さらに1波長進むたびに、同じ位相のずれが現れます。問題に示された範囲を最後に使うことで、候補を残したり、反対に条件を満たす位置がないと判断したりできます。

何を比べるかを先に決める

同じ時刻に離れた2点を比べる問題では、波長を基準に距離を数えます。同じ位置で異なる時刻を比べる問題では、周期を基準に時間を数えます。位置と時刻が両方変わる問題では、両方の寄与を符号つきで足します。どの場合も、比較する順序を決めて位相の差を作ることが出発点です。

目標は、位相差を1つの角として求めるだけでなく、2πの整数倍を加えた候補を整理し、区間の端を含むかどうかまで判断することです。以下は、形を保って一定の速さで進む正弦波を扱います。反射や重ね合わせで生じる複雑な波形は扱いません。

波長と周期を位相に換算する

位相は振動の進み具合を角度で表した量です。1周期を1周、すなわち2π radとします。radは弧の長さを半径で割った角の単位で、半周がπ radです。位相が2πだけ異なる振動は、変位とその後の動きが一致します。位相がπだけ異なると、変位と速度の符号がそれぞれ逆です。

図1のように、同時刻の波形で山から次の山までの距離を波長λとします。波形が右に進むなら、右側の点は左側より同じ状態になるのが遅れています。位相の差を右の点の位相から左の点の位相を引いて定義すると、右へ距離dだけ離れた2点の差は -(2πd)/(λ) です。符号は比較順序を逆にすれば反転します。

図1では隣の山までが1波長で、途中の谷は山から半波長の位置です。山と谷の位相差は符号を含めて -π radですが、2πの整数倍を除いて見ればπ radとも表せます。変位が同じという情報だけでは位相は決まりません。たとえば正弦波が0を通るとき、上向きに動く瞬間と下向きに動く瞬間は変位が等しくても半周期ずれています。

右向きの波を、位置x、時刻t、振幅A、周期Tを使って y = A・sin(2πt/T − 2πx/λ) とします。xの正方向は右、yの正方向は上です。原点ではt = 0に変位0から正向きに動きます。山などの同じ状態は t/T − x/λ が一定の点を追えばよく、時間がT増えると位置がλ増えるので、速さはv = λ/Tです。

2つの出来事を1: (x₁, t₁)、2: (x₂, t₂)とし、Δx = x₂ − x₁、Δt = t₂ − t₁と置きます。出来事2の位相から1の位相を引くと、

Δφ = 2π・(Δt/T − Δx/λ)

です。同時刻なら時間の項は0、同じ位置なら距離の項は0です。これは同じ進行波の式を2回引いた結果であり、位相を何周進めたかまで数える差です。実際の振動状態の比較では、ここから2πの整数倍を加減しても同じ状態になります。初期位相を同じ波の2箇所で引くと消えますが、別々の波源を比較するときは一般に消えません。

距離dが正のとき、同時刻に同位相となる条件はd = nλ、逆位相の条件はd = (n + 1/2)λです。nは整数で、距離が負にならないものを選びます。これは位相差がそれぞれ2πの整数倍、またはπの奇数倍という条件を距離に直したものです。整数nを最初から0と決める理由はありません。

グラフと測定値から読む

同時刻の変位と位置のグラフなら、同じ向きに基準線を横切る隣同士の間隔もλです。山と隣の谷の間隔を1波長とすると、その後の距離の候補は2倍にずれます。測定点が少なく、山の位置が目盛りの間にあるなら、位置を読み取る幅も記録します。測った距離が波長のちょうど整数倍に見えなくても、読み取りの幅を考えずに同位相でないと断定できません。

実験を設計するなら、同じ向きに進む安定した周期波を用い、2点の変位を同時に記録します。片方の測定位置を動かして、波形の山だけでなく上向きの通過時刻も比較します。位置の目盛りの読み違い、測定器の時刻のずれ、反射波の混入があると、位相差に見かけのずれが生じます。複数周期を記録し、距離を増やしたとき同じ状態が繰り返す間隔を調べると、1回の読み取りに偏る危険を減らせます。反射が無視できない記録では単一の進行波という前提を見直します。

基本例題：区間内の同位相を探す

右向きの正弦波の波長は0.80 mです。同時刻に位置Pから右へ距離dだけ離れた点QがPと同位相です。0.50 m ≦ d ≦ 2.00 mを満たすdを、m単位の小数で全て求めてください。波形は一定の振幅を保ち、初期位相はPを基準に0とします。

図2のように、Pからの距離を波長ごとに区切ります。同位相は0.80 mごとに繰り返します。d = 0も同位相ですが、指定された範囲の外です。

同位相の条件は d = n・0.80 m です。距離が正なのでnは正の整数です。区間を代入すると、

0.50 ≦ 0.80n ≦ 2.00

0.625 ≦ n ≦ 2.5

となり、整数はn = 1、2です。したがって答えは d = 0.80 m、1.60 m です。図2のように、次の候補2.40 mは区間を越えます。逆に0.80 mと1.60 mはそれぞれ1波長、2波長なので、位相差は -2π rad、-4π radとなり、確かに同位相です。

別解では、Pから0.80 mずつ数直線上に印を付け、区間の内部にある印を拾います。式で整数の範囲を求める方法は区間が広くても使いやすく、数直線は端点を含むか目で照合できます。両者が食い違ったら、区間の不等号と0を候補に含む条件を見直します。

標準例題：時間差も含める

波長1.20 m、周期0.60 sの右向き正弦波を考えます。原点ではt = 0に変位0から正向きに動きます。出来事1はx = 0 m、t = 0 s、出来事2はx = 0.30 m、t = 0.45 sです。出来事2の位相から1の位相を引いた値を、周回数を減らさずπを用いてradで求め、振動状態の関係も答えてください。

時間による増加は2π・(0.45/0.60) = (3π)/2 radです。右への距離による減少は2π・(0.30/1.20) = π/2 radです。したがって差は (3π)/2 − π/2 = π radで、2つの状態は逆位相です。

別の見方では、波の速さは1.20/0.60 = 2.0 m/sです。出来事1の状態は0.45 s後に右へ0.90 m移ります。出来事2の位置はそこから左へ0.60 m、すなわち半波長離れているので逆位相です。位置を戻して見るこの方法でも、波が0.90 m進む間に0.30 mの地点を通り過ぎたことが条件に合います。時間の項と距離の項の両方を正にする誤りは、この図式と合いません。

発展例題：余りと範囲を組み合わせる

波長0.60 mの右向き正弦波で、Pから右へdだけ離れたQを同時刻に調べます。Qの位相からPの位相を引いた差は、2πの整数倍を除いて -π/2 radです。1.00 m < d ≦ 2.00 mを満たす距離をm単位の小数で全て求めてください。Pの初期位相は0とし、振幅は正で一定です。

右側の位相は -(2πd)/(0.60) radです。これが -π/2 radと2πの整数倍だけ違うので、距離の候補は d = 0.15 + 0.60n m、nは整数です。ここで符号を逆にすると0.45 mを起点とする別の候補列になり、条件を満たしません。

1.00 < 0.15 + 0.60n ≦ 2.00を解くと、(0.85)/(0.60) < n ≦ (1.85)/(0.60)です。整数nは2、3で、答えは 1.35 m、1.95 m です。候補を波長で割るとそれぞれ2.25、3.25です。位相差は -4.5π rad、-6.5π radとなり、どちらも -π/2 radから2πの整数倍だけ違います。上端を含む条件も直接確かめます。

候補が区間に入らない場合は解なしと答えます。端点が候補と一致する場合、≦なら採用し、<なら除外します。余りの式を満たすことと、指定範囲にあることは別の条件です。

誤答から候補の抜けを直す

基本例題で「同位相だからd = 0.80 m」として終えると、1.60 mを落とします。原因は隣り合う同位相点の間隔と、条件を満たす距離の全候補を同じものとして扱うことです。図3のように、1波長進むたびに同位相に戻るので、範囲の終わりまで印を付けます。

図3では0.80 mも1.60 mも区間内です。修正するときは d = nλ と整数nを明記してから不等式を解きます。もう一つの誤りは、位相が同じなら同じ山に限るという判断です。任意の瞬間には山以外でも、1波長離れた2点の変位と動きは一致します。

位相差の絶対値だけが与えられた問題では、正負のどちらの意味かを確認します。差を2πの整数倍を除いて指定する場合と、周回数を含む値として指定する場合でも候補の数は変わります。条件の意味が曖昧なまま単一の距離を選ぶのは避けます。

練習：5つの条件で候補を数える

いずれも振幅一定の右向き正弦波で、原点はt = 0に変位0から正向きに動きます。距離は正方向に測り、答えは指定の形で表してください。

1. 波長0.40 mの波で、Pと同時刻に同位相の点をPの右側で探します。0 < d ≦ 1.00 mの距離をm単位の小数で全て求めてください。
2. 波長0.48 mの波で、Pと同時刻に逆位相の点をPの右側で探します。0.30 m ≦ d < 1.30 mの距離をm単位の小数で全て求めてください。
3. 周期0.80 sの波で、固定点の時刻0から時刻0.30 sまでの位相の増加を、周回数を減らさずπを用いてradで求めてください。
4. 波長2.00 m、周期1.00 sの波で、出来事1を原点の時刻0、出来事2をx = 0.50 m、t = 0.75 sとします。2から1を引く位相差を周回数を減らさずπを用いてradで求めてください。
5. 波長0.32 mの波で、同時刻にPの右のQの位相からPの位相を引くと、2πの整数倍を除いて -π/2 radです。0.40 m < d < 0.70 mの距離をm単位の小数で全て求めてください。

練習の答えと途中式

1. d = 0.40n mより、0 < n ≦ 2.5です。整数n = 1、2を選び、0.40 m、0.80 m です。各距離は1波長、2波長で、次の1.20 mは範囲外です。
2. d = (n + 1/2)・0.48 mです。正の候補を小さい順に並べると0.24 m、0.72 m、1.20 m、1.68 mです。範囲内の 0.72 m、1.20 m はそれぞれ1.5波長、2.5波長で、逆位相です。0.24 mと1.68 mは端の外です。
3. 2π・(0.30/0.80) = (3π)/4 rad です。周期の3/8だけ時間が進み、求めた角も1周の3/8なので条件に戻ります。
4. 2π・(0.75/1.00 − 0.50/2.00) = π rad です。波は0.75 sで1.50 m進み、出来事2の地点はそこから0.50波長だけ左です。したがって逆位相という結果も一致します。
5. d = 0.08 + 0.32n mです。0.40 < 0.08 + 0.32n < 0.70より1 < n < 1.9375となり、整数はありません。よって 該当する距離はありません。隣り合う候補0.40 mと0.72 mのうち前者は下端と一致しますが、不等号が等号を含まないため除外します。

覚えておくこと

• 右向きの波では Δφ = 2π・(Δt/T − Δx/λ) です。
• 同時刻の同位相は距離が波長の整数倍です。
• 位相を2πの整数倍だけ変えても振動状態は同じです。
• 整数の候補を区間の不等号で絞ります。

答えが合わないときの見分け方

距離が1つしか出ないときは、式に整数nが残っているか確かめます。候補を列挙してから区間に戻すと、周期の繰り返しを落としていないか見えます。位相差の符号が逆になるときは、引く順序と波の進む向きを図に書き、時間と位置を別々に変えたときの符号を調べます。

個別指導で確認するなら、同時刻の波形に1波長ごとの印を付け、その印の間隔と d = nλ の対応を自分の言葉で説明します。続いて時刻差を含む式を書き、固定点で時間だけが増えた場合と、同時刻に右へ移った場合を代入します。候補の端点が範囲に重なる例まで確かめれば、周期性と不等号の両方を使って判断できます。

位相の1周を距離と時間の両方で数えると、候補が残る理由まで見通せます。