高校数学II 平均変化率—二点間の変化を割り算と割線の傾きから読み解く｜武蔵野個別指導塾

負の増分では縦横の引く順をそろえ、長さの異なる区間では割り算を終えてから平均変化率を比べます。

よくあるのは、高校生が2つの区間で関数の値の増え方を比べるとき、区間の長さを割らずに変化量だけを比べる場面です。増加量が大きくても、長い区間での変化かもしれません。横の変化を1としたときの縦の変化に直すと、異なる長さの区間も同じ尺度で比べられます。2点を結ぶ直線の傾きも、その値を表します。

何を割り、何を比べるか

問題の型は主に3つあります。両端の値から平均変化率を求める型、始点と増分 h を使って式にする型、異なる区間の平均変化率を比べる型です。どの場合も、分子は関数の値の変化、分母はそれに対応する x の変化です。どちらも同じ向きに引き算します。

たとえば時間と位置の関係なら、位置の変化を時間の変化で割ると平均の速度になります。位置が減れば負の値もありえます。道のりの合計を時間で割る平均の速さとは区別が必要です。増分が負のときも、値の変化と x の変化をともに終点から始点を引いて求めます。

区間の両端が同じなら分母は0になり、平均変化率は定義できません。式の途中で割れるかどうかを確かめるため、まず両端が異なるという条件を書きます。ここでは2点間の変化を扱い、1点での微分係数は扱いません。

増分と割線の意味

関数 y = f(x) について、x が a から b まで変わるとき、x の増分は b − a、y の増分は f(b) − f(a) です。a と b が異なるとき、その間の平均変化率は次のように定義します。

平均変化率 = (f(b) - f(a))/(b - a)

分子と分母をともに逆向きにすれば、符号が両方反転するので商は変わりません。一方だけを逆向きにすると符号が反転してしまいます。正負は、横軸の正の向きに進んだとき、縦の値が増えるか減るかを表します。

終点を a + h と書けば、x の増分は h です。h は正でも負でもかまいませんが、0ではありません。定義は (f(a + h) − f(a))/h となります。h が負でも、分子は必ず終点の値から始点の値を引きます。h を「距離」と取り違えて正に直すと、向きの情報を失います。

図1のように、グラフ上の2点 A、B を結ぶ直線を割線といいます。横の変化 b − a と縦の変化 f(b) − f(a) の比は、直線 AB の傾きです。縦の変化が0なら傾きは0で、割線は水平です。両端の間で曲線が上下していても、平均変化率は両端の値から決まります。

図1の横と縦の矢印は同じ始点から終点への変化を表します。曲線が途中でどのように曲がるかは、両端の値だけからは決まりません。割線の傾きを、区間内の各点での傾きと同じものと考えないようにします。

両端が同じ高さなら、間で値が変化していても平均変化率は0です。たとえば放物線上の左右対称な2点では、高さの差が0になり、割線は水平です。この0は、途中の値が一定だったという意味ではありません。両端の情報と途中の情報を分けて読むことが必要です。

また、平均変化率には単位が伴います。横軸が秒、縦軸がメートルなら、割り算の結果は m/秒 です。横の1秒当たりの位置の変化として読みます。横と縦がともに数だけで表される関数の問題では、単位を付けずに傾きを答えます。問題文に指定された量に合わせて、答えの形まで確認します。

区間を比較するときは、長さが等しい場合に限れば変化量の大小と平均変化率の大小は一致します。長さが異なる場合には、その判断は使えません。分母が正であることを確かめ、それぞれ割り算してから比較します。負の値どうしでも、数直線上で右にある方が大きい数です。

基本例題：放物線の2点を結ぶ

関数 f(x) = x² について、x が1から3まで変わるときの平均変化率を整数で求め、割線の式も求めてください。

始点と終点の値を別々に計算し、差を取ります。

f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
x の増分 = 3 - 1 = 2
y の増分 = 9 - 1 = 8
平均変化率 = 8/2 = 4

傾き4の直線が (1, 1) を通るので、割線の式は次の通りです。

y - 1 = 4(x - 1)
y = 4x - 3

答えは平均変化率が4、割線が y = 4x − 3 です。図2のように、横に2進む間に縦に8進むので、横に1当たりの縦の変化は4です。2点目を式へ戻すと 4・3 − 3 = 9 となり、(3, 9) も通ります。始点も 4・1 − 3 = 1 で通るので、求めた直線は指定された2点を結びます。

図2の三角形の横と縦は、それぞれ2と8です。縦の8だけを答えにすると、横の長さが2であることを捨ててしまいます。直線の式を求めるときは、傾きに加えて通る点の座標を使う必要があります。

標準例題：負の増分を文字で扱う

関数 f(x) = x² − 2x + 3 について、x が2から 2 + h まで変化します。ただし h < 0 です。平均変化率を h の式で表し、h = -3 のときの値を整数で求めてください。

h < 0 から h ≠ 0 なので、最後に h で割れます。まず終点の値を展開します。

f(2 + h) = (2 + h)² - 2(2 + h) + 3
           = 4 + 4h + h² - 4 - 2h + 3
           = h² + 2h + 3
f(2) = 2² - 2・2 + 3
     = 3
f(2 + h) - f(2) = h² + 2h
平均変化率 = (h² + 2h)/h
           = h + 2

h = -3 を代入すると、平均変化率は -1 です。負の増分を正の3に直さないことが要点です。元の条件へ戻すと、終点は -1 で、f(-1) = 6、f(2) = 3 です。始点から終点への変化は横が -3、縦が3ですから、3/(-3) = -1 と一致します。

この結果は、左から右へ読めば値が減ることを表します。実際に x が -1 から2へ増えると、値は6から3へ減ります。移動の順番を逆にすると横も縦も符号が変わりますが、割線の傾きは変わりません。h が0の場合はこの式の値を代入して平均変化率と呼ぶことはできず、別に考える必要があります。

発展例題：区間の位置と長さを比べる

関数 f(x) = x² について、区間 [a, a + 2] と区間 [1, 4] の平均変化率が等しくなる実数 a を求めてください。区間は左端から右端へ読みます。

まず文字を含む区間の両端を代入します。長さは2なので0ではありません。

f(a + 2) = (a + 2)²
         = a² + 4a + 4
f(a) = a²
f(a + 2) - f(a) = 4a + 4
区間 [a, a + 2] の平均変化率 = (4a + 4)/2
                                = 2a + 2

もう一方の区間では、両端の値と長さを求めます。

f(4) = 16
f(1) = 1
区間 [1, 4] の平均変化率 = (16 - 1)/(4 - 1)
                            = 15/3
                            = 5

等しいという条件から方程式を解きます。

2a + 2 = 5
2a = 3
a = 3/2

答えは a = 3/2 です。元の区間は [3/2, 7/2] で、両端の値は 9/4 と 49/4 です。変化量は10、区間の長さは2ですから平均変化率は5です。[1, 4] 側でも変化量15を長さ3で割ると5になり、条件に戻して一致します。

この例では変化量が10と15で異なっても、平均変化率は等しくなります。2本の割線は同じ傾きを持ち、平行です。区間の長さが異なるので、変化量そのものを等しいとする方程式では正しい比較になりません。

符号の誤りを直す

標準例題で h = -3 のとき、分子を f(2) − f(-1) = -3、分母を -3 として、平均変化率を1とする誤答を考えます。分子は終点から始点ではなく、始点から終点を引いています。分母の向きと一致していません。

図3では、始点 (2, 3) は縦軸の右、終点 (-1, 6) は縦軸の左に位置します。始点から終点へ進む横の変化は -3、縦の変化は 6 − 3 = 3 です。したがって正しい値は 3/(-3) = -1 です。逆に終点から始点へたどれば、横は3、縦は -3 となり、(-3)/3 = -1 です。どちらの順でも同じ値になります。

図3では左向きと上向きの矢印を同じ移動として読みます。分子の符号に迷ったら、関数の値をそれぞれ書き出し、終点の値から始点の値を引きます。符号だけを暗記するより、2つの引き算を同じ順に置くと確かめやすくなります。

練習：5つの条件を読み取る

次の問いはそれぞれ独立です。数値の答えは整数または既約分数で表してください。

1. f(x) = 2x² + 1 の x = -2 から x = 1 までの平均変化率を求めてください。
2. f(x) = x² + 3x の x = 1 から x = 1 + h までの平均変化率を h の式で求めてください。ただし h ≠ 0 です。
3. 位置 s(t) = 20 − 2t² m の物体について、時刻 t = 1 秒から t = 3 秒までの平均速度を m/秒で求めてください。
4. f(x) = x² − 4x について、区間 [0, 2] と [2, 5] の平均変化率の大小を比べてください。
5. f(x) = x² + kx について、x = -1 から x = 2 までの平均変化率が4となる定数 k を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 負から正への区間

両端での関数値を計算し、終点から始点を引きます。

f(-2) = 2・(-2)² + 1 = 9
f(1) = 2・1² + 1 = 3
平均変化率 = (3 - 9)/(1 - (-2))
           = -6/3
           = -2

答えは -2 です。横に3増えたときの縦の変化は (-2)・3 = -6 で、値が9から3へ変わることと一致します。値が減るため負の答えです。

2. 文字の増分

h ≠ 0 を使うのは、差を因数分解してから割る段階です。

f(1 + h) = (1 + h)² + 3(1 + h)
           = 1 + 2h + h² + 3 + 3h
           = h² + 5h + 4
f(1) = 4
平均変化率 = (h² + 5h + 4 - 4)/h
           = h(h + 5)/h
           = h + 5

答えは h + 5 です。元の変化量 h² + 5h は h(h + 5) なので、答えに横の変化 h を掛けると元の縦の変化へ戻ります。h = 0 は問題の条件に含まれません。

3. 位置から平均速度へ

位置の差を時間の差で割ります。

s(1) = 20 - 2・1² = 18
s(3) = 20 - 2・3² = 2
位置の変化 = 2 - 18 = -16
時間の変化 = 3 - 1 = 2
平均速度 = -16/2 = -8

答えは -8 m/秒です。2秒間の変位は (-8)・2 = -16 m であり、18 m から2 m への変化と一致します。負号は位置が減る向きを示し、距離が負という意味ではありません。

4. 長さの異なる区間

区間ごとに割り算まで行って比較します。

f(0) = 0
f(2) = 4 - 8 = -4
f(5) = 25 - 20 = 5
[0, 2] の平均変化率 = (-4 - 0)/(2 - 0)
                     = -2
[2, 5] の平均変化率 = (5 - (-4))/(5 - 2)
                     = 9/3
                     = 3
-2 < 3

[2, 5] の平均変化率の方が大きいです。それぞれの答えに区間の長さを掛けると -4 と9になり、両端の値の差に戻ります。変化量の単位が同じでも、割る長さはそれぞれの区間から取ります。

5. 平均変化率から係数を決める

両端の値を k で表して条件を式にします。

f(-1) = 1 - k
f(2) = 4 + 2k
平均変化率 = ((4 + 2k) - (1 - k))/(2 - (-1))
           = (3 + 3k)/3
           = 1 + k
1 + k = 4
k = 3

答えは k = 3 です。元の関数に戻すと f(-1) = -2、f(2) = 10 です。横の変化3に対する縦の変化は12なので、12/3 = 4 と指定された条件を満たします。

手元に残す要点

• 平均変化率は、同じ向きで求めた縦の変化を横の変化で割ります。
• 増分 h は正負どちらも可能ですが、0では割れません。
• 2点を結ぶ割線の傾きが、その区間の平均変化率です。
• 区間の比較では、それぞれの長さで割ってから比べます。

詰まった式から確かめる

答えの符号が予想と違うときは、始点と終点を紙に並べ、横と縦の引き算の順を声に出して確認します。個別指導の場なら、例えば負の h に対して「終点はどちらか」「分子の最初に置く値は何か」と順に説明してみます。分母が0になる条件を見落としたときは、両端の x 座標が異なるかを、約分前の式で確かめます。

変化量と平均変化率を混同するときは、得られた商に横の変化を掛け、元の縦の変化に戻るかを調べます。答えを場面へ戻す習慣があれば、符号や区間の長さの取り違えを見つけられます。割線の傾きは、2点の変化を同じ順に比べた数です。