高校数学II 微分係数の定義—増分を零に近づける計算を式と図でつなぐ｜武蔵野個別指導塾

差商を約分する際の h ≠ 0 と、左右から同じ値へ近づく条件を、自作の二次式と三次式で確かめます。

よくあるのは、差商に現れた h に、約分する前から 0 を代入してしまう場面です。分子も分母も 0 になり、そこで計算が止まります。けれども、求めたいのは h が 0 のときの割り算ではありません。0 ではない h を小さく動かしたとき、割り算の値がどこへ近づくかです。この違いを押さえると、式の操作とグラフ上の傾きがつながります。

何を固定して、何を動かすか

問題には、関数 f と基準となる x の値 a が与えられます。a は固定し、もう一方の点の x 座標を a + h と置きます。h は横の増分です。負の h なら動く点は基準点の左にあり、正の h なら右にあります。縦の増分は f(a + h) − f(a) です。横の増分で割った差商を調べ、その極限を求めます。

問われ方には、具体的な点で数を求める型、文字 a を残して式を求める型、差商がある値に近づくための条件を調べる型があります。いずれも先に f(a) を計算し、差を取るときには後ろの括弧全体に負号を配ります。特に三次式では、展開で h の項を落とさないことが大切です。

答えが数か文字を含む式かは問題の指定で決まります。途中で h が消えても、もとの差商が h = 0 で定義されるようになったわけではありません。等しいのは h ≠ 0 の範囲での値です。範囲を保ったまま簡単にした式を使って、近づく先を求めます。

差商から一点の傾きへ

f が x = a の近くで定義されているとします。h ≠ 0 として、差商を次のように置きます。

(f(a + h) - f(a))/h

h を 0 に限りなく近づけたとき、この差商が有限な一定の値に近づくなら、その値を f の x = a における微分係数といいます。このとき f は x = a で微分可能です。記号では f′(a) = lim[h→0] (f(a + h) − f(a))/h と書きます。極限が存在するには、正の h からの近づき方と負の h からの近づき方が同じ値に落ち着く必要があります。

図1のように、固定した点 P と動く点 Q を結ぶ直線の傾きが差商です。Q を左右から P に近づけると、割線の傾きが一定値に近づきます。その値が接線の傾きです。図の横の矢印は h の符号を示し、長さを 0 にした点で割り算を実行することを示すものではありません。

図1では、Q が左にある場合には横の増分が負です。縦の増分にも向きがあるので、縦だけを正の長さとして扱うと符号が変わることがあります。差商は向きのある 2 つの変化量の比として考えます。

多項式なら展開後に分子の定数部分が消え、残る各項に h が含まれます。h ≠ 0 でその共通因子を取り除いた式は多項式ですから、h を 0 に近づけた値は簡単にした式に 0 を代入して求められます。これは元の分数への 0 の代入とは別の操作です。左右から近づけても同じ多項式の値に近づくため、この場合は左右の値が一致します。

基本例題：二次式の差をほどく

関数 f(x) = x² + 2x について、x = 1 における微分係数を定義から求め、整数で答えます。

まず基準点の関数値を出し、次に動く点の値を展開します。

f(1) = 1² + 2・1
     = 3
f(1 + h) = (1 + h)² + 2(1 + h)
         = 1 + 2h + h² + 2 + 2h
         = 3 + 4h + h²

h ≠ 0 で差商を作ります。分子の 3 は固定点の値を引くことで消えます。

(f(1 + h) - f(1))/h = (3 + 4h + h² - 3)/h
                      = (4h + h²)/h
                      = 4 + h

ここで初めて極限を取ります。

f′(1) = lim[h→0] (4 + h)
      = 4

答えは 4 です。たとえば h = 1/2 では差商が 9/2、h = -1/2 では 7/2 です。正と負の側で値は異なりますが、どちらも h を 0 に近づければ 4 に近づきます。左右で同じ値を取る必要があるのは途中の差商ではなく、その極限です。

図2のように、基準点 P は (1, 3) です。h = 1 では Q は (2, 8) となり、縦の増分 5 を横の増分 1 で割ると傾きは 5 です。これは極限の 4 と区別します。h を小さくすると割線の傾きが 4 に近づきます。

図2の点の値を元の式に戻すと、f(1) = 3、f(2) = 8 です。二点の差が 5 であることから、その割線の表示も確かめられます。図は差商の一例であり、1 本の割線をそのまま接線と読む図ではありません。

標準例題：基準点を文字のまま残す

関数 g(x) = x³ − 2x について、x = a における微分係数を a の式で求めます。a は任意の実数です。

g(a) = a³ - 2a
g(a + h) = (a + h)³ - 2(a + h)
         = a³ + 3a²h + 3ah² + h³ - 2a - 2h

差を取ると a だけの項が消えます。h ≠ 0 を保ち、共通因子 h で割ります。

g(a + h) - g(a) = 3a²h + 3ah² + h³ - 2h
(g(a + h) - g(a))/h = (3a²h + 3ah² + h³ - 2h)/h
                      = 3a² + 3ah + h² - 2

したがって、固定した a に対して次のようになります。

g′(a) = lim[h→0] (3a² + 3ah + h² - 2)
      = 3a² - 2

答えは 3a² − 2 です。a を変数として動かす前に、1 つの基準点を固定して極限を取ったことに注意します。たとえば a = 0 を戻すと g(h) = h³ − 2h、g(0) = 0 です。実際の差商は h² − 2 で、左右から -2 に近づき、答えに a = 0 を入れた値と一致します。

三次の展開では 3a²h と 3ah² の両方が必要です。後者は極限では消えますが、最初から捨てると h ≠ 0 での差商が元の式と一致しません。途中の等式を正しく保ち、最後に初めて消える項を判断します。

発展例題：左右を分けて存在を調べる

実数 k に対し、関数 p を x ≥ 0 では p(x) = x² + kx、x < 0 では p(x) = 2x と定めます。x = 0 で微分可能となる k を求め、そのときの微分係数を整数で答えます。

基準点では右側の式を使うので p(0) = 0 です。h の符号によって p(h) に使う式が変わります。まず h > 0 とします。

(p(h) - p(0))/h = (h² + kh - 0)/h
                  = h + k
lim[h→0, h>0] (h + k) = k

次に h < 0 では次の通りです。

(p(h) - p(0))/h = (2h - 0)/h
                  = 2
lim[h→0, h<0] 2 = 2

両側の極限が一致する条件は k = 2 です。このとき両側から差商が 2 に近づくので、微分係数は 2 です。逆に k ≠ 2 なら右側と左側の極限が異なり、微分係数は存在しません。右側だけの計算で k を答えとしてはいけません。

条件に戻して確かめます。k = 2 なら右側の関数値は h² + 2h、左側は 2h で、いずれも 0 に近づくと基準点の値 0 に近づきます。差商はそれぞれ h + 2 と 2 なので、両側で傾きの極限は 2 です。境界 x = 0 の値をどちらの定義で採るかも問題文で確認します。

0 を入れてしまった答えを直す

基本例題で「h = 0 を最初に入れると 0/0 だから微分係数は 0」とする答えを考えます。0/0 は 0 という数ではなく、分母が 0 のため定義されない式です。そこから値を決めることはできません。

図3のように、元の差商の h = 0 の位置には穴があると考えます。h ≠ 0 の点では 4 + h と一致し、穴の両側から高さ 4 へ近づきます。穴を埋めた値を元の差商の値と呼ぶのではなく、近づく先を極限と呼びます。

修正するときは、まず分子を展開し、h を因数としてくくります。次に h ≠ 0 と書いて約分し、最後に簡単な式の極限を求めます。差商が一定にならない場合も、左右からの値が同じか確かめます。左右が食い違えば、計算を続けて無理に 1 つの数にまとめず、微分係数は存在しないと答えます。

もう 1 つの誤りは、f(a + h) − f(a) の後半で括弧を外す際に符号を変え忘れることです。基準点の値が負なら、その値を引く操作は正の項になります。代入した値を一度括弧に入れてから符号を変えると、展開後の定数項が正しく消えるかを点検できます。

練習：差商を自分で作る

次の 5 問は定義から解きます。微分係数は指定された形で答えてください。分母が 0 でない条件を途中に書き、左右の極限も意識します。

1. f(x) = x² − 3x の x = 2 における微分係数を整数で求めます。
2. g(x) = 2x² + x の x = -1 における微分係数を整数で求めます。
3. u(x) = x³ + x の x = 2 における微分係数を整数で求めます。
4. v(x) = 3x² − 4 の x = b における微分係数を b の式で求めます。
5. w(x) を x ≥ 1 では w(x) = (x − 1)² + 3(x − 1)、x < 1 では w(x) = c(x − 1) と定めます。x = 1 で微分可能となる実数 c と、そのときの微分係数を整数で求めます。

練習の答えと確かめ

1

f(2) = 4 - 6 = -2
f(2 + h) = 4 + 4h + h² - 6 - 3h
             = -2 + h + h²
(f(2 + h) - f(2))/h = (h + h²)/h
                      = 1 + h
lim[h→0] (1 + h) = 1

約分は h ≠ 0 で行いました。答えは 1 です。元の関数の 2 点を使うと、h = 1 では f(3) = 0、f(2) = -2 なので差商は 2 です。式 1 + h に h = 1 を入れた値と一致します。

2

g(-1) = 2 - 1 = 1
g(-1 + h) = 2(1 - 2h + h²) - 1 + h
              = 1 - 3h + 2h²
(g(-1 + h) - g(-1))/h = (-3h + 2h²)/h
                        = -3 + 2h
lim[h→0] (-3 + 2h) = -3

h ≠ 0 で約分したので、答えは -3 です。h = 1 なら動く点は 0 で、g(0) = 0 です。差商は (0 − 1)/1 = -1 となり、簡単にした式の値と合います。

3

u(2) = 8 + 2 = 10
u(2 + h) = 8 + 12h + 6h² + h³ + 2 + h
           = 10 + 13h + 6h² + h³
(u(2 + h) - u(2))/h = (13h + 6h² + h³)/h
                      = 13 + 6h + h²
lim[h→0] (13 + 6h + h²) = 13

h ≠ 0 で割り、答えは 13 です。h = -1 を戻すと u(1) = 2 です。差商は (2 − 10)/(-1) = 8 で、13 + 6(-1) + (-1)² と一致します。負の増分でも符号を保って計算します。

4

v(b) = 3b² - 4
v(b + h) = 3(b² + 2bh + h²) - 4
           = 3b² + 6bh + 3h² - 4
(v(b + h) - v(b))/h = (6bh + 3h²)/h
                      = 6b + 3h
lim[h→0] (6b + 3h) = 6b

答えは 6b です。h ≠ 0 で約分しています。b = 1、h = 1 とすると v(2) = 8、v(1) = -1 です。差商 9 は 6b + 3h に戻した値と合い、極限の答えは b = 1 で 6 になります。

5

w(1) = 0 です。h > 0 と h < 0 で式を分けます。

h > 0 のとき (w(1 + h) - w(1))/h = (h² + 3h)/h
                                      = h + 3
lim[h→0, h>0] (h + 3) = 3
h < 0 のとき (w(1 + h) - w(1))/h = ch/h
                                      = c
lim[h→0, h<0] c = c

左右が一致する条件は c = 3 です。そのとき微分係数は 3 です。元の定義に戻すと、右側の差商は h + 3、左側は 3 で、双方の極限は確かに 3 です。c が別の値なら左右の極限が異なるため、微分可能ではありません。

手元に残す要点

差商は h ≠ 0 で作り、分子を展開して h を約分します。 簡単にした式で h → 0 の極限を取り、左右が一致するか確かめます。 得た数は指定された基準点での微分係数です。

つまずいた式から確認する

途中で 0/0 が出たら、まず代入の順序を見直します。分子の展開に戻り、f(a) を引いた後の定数項が消えるか、残りの各項に h があるかを調べます。消えないときは、固定点の関数値か括弧の符号を計算し直します。約分後の式には元の差商と違い h = 0 を入れられますが、その代入は極限を求めるための操作です。

左右で式が変わる問題なら、個別指導の場では h > 0 と h < 0 のそれぞれで、動く点がどの範囲にあるかを式に書いて説明してみます。例えば基準点が a なら、h < 0 から a + h < a と言えることを確かめます。左右の差商を別々に計算し、その極限を比べれば、存在しない場合も理由を示せます。微分係数は、点へ近づく過程を保って初めて定まります。