高校物理 波面とホイヘンスの原理—境界での振動数と波長の変化から屈折を描く｜武蔵野個別指導塾

遅い媒質へ進む波を同じ時間の距離で描き、振動数と波長を区別して読み解く波面屈折。

よくあるのは、波が遅い媒質へ入ると、波長だけでなく振動数まで小さくすると考える場面です。水面の波が深さの異なる部分に斜めに進む図では、進む向きも波面の間隔も変わります。変わったものを一度に追うと、境界に届く山の回数まで減ったように見えてしまいます。

境界の両側で波の速さが一定で、波源が一定の周期で振動し、境界も静止している場合を考えます。境界に次々と届く山の時間間隔と、ある瞬間に並ぶ山の空間間隔を分けると、図と式が同じ結論を示します。水面波を例にしますが、以下の関係は同じ仮定の下で他の波にも使えます。

どの量を先に決めるか

問題の型は主に3つあります。境界に対して斜めに進む波面から屈折後の向きを描く型、速さと振動数から波長を求める型、通過できる角度の条件を判断する型です。どの型でも、波面の進行方向は波面に垂直で、角は境界の法線から測ります。

目標は、式を覚えて代入するだけでなく、同じ時間に波が進む距離を使って、波面が傾く理由を説明できることです。速さが変わると、同じ周期の間に進む距離が変わります。斜め入射ではその差が波面の向きに現れ、垂直入射では向きは変わらず間隔だけが変わります。

波の重なりや反射も実際には起こり得ます。以下では、境界を通過する波に注目し、各媒質で向きによらず速さが一定、境界は平らとします。波面が細かく乱れていたり、境界が動いていたりする場合に、この図をそのまま当てはめてはいけません。

波面が回る理由を同じ時刻で追う

波面とは、波の振動が同じ位相にある点を連ねた面です。水面を上から見る図では、山を結んだ線のように表します。山から隣の山まで、波の進行方向に測った距離が波長です。波面に沿った距離は波長ではありません。

ホイヘンスの原理では、ある時刻の波面上の各点を新しい小さな波の出発点と考えます。短い時間の後、それぞれの点から広がった小さな波に共通して接する前方の面が、新しい波面です。小さな波の半径は、その媒質の速さに経過時間を掛けた距離です。図1は平面波を水面上で見た模式図で、太い直線が2つの時刻の波面、円弧が先に境界へ着いた点からの小さな波を表します。

図1のように、初めの波面の端Aが境界に達した時刻から考えます。そのとき、同じ波面上のBはまだ媒質1にあります。Bから進行方向に進んだ点Cが境界に達するまでの時間をtとすると、BC = v₁・tです。一方、Aから媒質2に出た小さな波は半径v₂・tに広がります。Cからこの円に引いた接線の接点をDとすれば、CDがその時刻の新しい波面です。

図ではABとBC、ADとDCがそれぞれ直角です。入射角iは媒質1の進行方向と法線の角、屈折角rは媒質2の進行方向と法線の角です。ともに、境界とそれぞれの波面のなす角に等しくなります。共通の斜辺ACを使って、2つの直角三角形から次のように書けます。

sin(i) = BC/(AC) = v₁・t/(AC)

sin(r) = AD/(AC) = v₂・t/(AC)

したがって、斜め入射でsin(r)が0でないとき、sin(i)/sin(r) = v₁/v₂です。比を使わず sin(i)/v₁ = sin(r)/v₂ と書けば、垂直入射のi = r = 0も含めて表せます。v₂がv₁より小さければsin(r)はsin(i)より小さく、0°から90°の範囲でrも小さくなります。波線は法線に近づきます。

この作図は、点Cから円への接線が引けて、境界の先に進む平面波を表せる場合に限ります。たとえば速い媒質への入射では、計算したsin(r)が1を超える場合があり、実数の角rは存在しません。数値だけを角度に直そうとせず、式が表す条件を先に調べます。

隙間の先にも波が広がる

同じ考え方は回折にも役立ちます。平面波が障害物の隙間を通ると、隙間の部分にある波面の各点から小さな波が広がります。隙間の端付近からは、直進方向の横にも小さな波が届くため、障害物の陰になる方向にも波が回り込みます。これは波面の向きが境界で変わる屈折とは、原因となる配置が異なります。

隙間の幅が波長に比べて十分広いと、中央付近では前方にほぼ平らな波面が続き、端では回り込みます。幅を波長と同程度にすると、隙間の先で横方向への広がりが目立ちます。これは定性的な比較です。隙間の幅だけを見て、横方向の強さや暗い位置を数値で断定することはできません。小さな波の重なり方や観測する場所も必要です。

境界で変わる間隔、変わらない時間

波源が1秒間に出す振動の回数を振動数f、1回の振動にかかる時間を周期Tとします。T = 1/fです。静止した境界の同じ点には、入射波の山が周期Tごとに届きます。通過する波の境界での振動もこの周期に合わせられるので、定常的に通過する波の振動数は両側で同じfです。媒質に入った直後の複雑な一時的変化ではなく、一定周期で続く波を扱っています。

1周期に波が進む距離は波長ですから、λ₁ = v₁・T = v₁/f、λ₂ = v₂・T = v₂/fです。よって λ₂/λ₁ = v₂/v₁ となります。遅い側では山の到着回数が減るのではなく、同じ周期に進む距離が短くなり、波面同士が詰まります。

逆に、波源が一定でなくなったり境界が動いたりする条件は、この説明の前提から外れます。また、距離を波面に垂直な方向以外で測ると、その間隔をそのままλとして計算できません。図に波線を加え、何をどの方向に測ったかを先に示しましょう。

基本例題：先に着いた端から接線を引く

平らな境界を境に、媒質1での波の速さは5.0 cm/s、媒質2では3.0 cm/sです。一定振動数2.0 Hzの平面波が媒質1から入射し、入射角は30°です。sin(30°) = 1/2とします。通過する波の振動数、両側の波長、屈折角の正弦を求め、波面を作図してください。数値は小数第1位まで、正弦は小数第2位まで示します。

図2では、Aが境界に達してから1.0 s後にBがCへ達します。図は距離の比と直角を表す模式図です。境界の下は遅い媒質なので、Aからの小さな波の半径は、Bが進んだ距離より短くなります。

図2のBCは5.0 cm、ADは3.0 cmです。振動数は境界を通過しても2.0 Hzのままなので、

λ₁ = (5.0 cm/s)/(2.0 Hz) = 2.5 cm

λ₂ = (3.0 cm/s)/(2.0 Hz) = 1.5 cm

です。Hzは1/sですから、単位もcmになります。1秒に2回という時間の情報を固定し、その間に進む距離から波長を求めています。

角度については sin(r) = (v₂/v₁)・sin(30°) なので、

sin(r) = (3.0/5.0)・(1/2) = 0.30

です。0°より大きく30°より小さい角が答えに対応します。作図では、Aを中心として半径3.0 cmの円弧を描き、Cからその円弧への接線CDを引きます。AからDに引いた線が通過後の進行方向です。

答えを条件に戻すと、2.0 Hzと1.5 cmの積は3.0 cm/s、2.0 Hzと2.5 cmの積は5.0 cm/sです。またACはBC/sin(30°) = 10.0 cmで、AD/AC = 3.0/10.0 = 0.30となり、作図と式が一致します。求めたのは角そのものではなく、その正弦です。

標準例題：波長から進む向きを決める

波面が直線として見える波が、静止した境界を媒質Pから媒質Qへ斜めに通過します。Pでの速さは12 cm/s、波長は3.0 cm、Qでの波長は2.0 cmです。入射角は60°で、sin(60°) = √3/2、sin(30°) = 1/2とします。Qでの速さと屈折角を求めてください。速さは整数、角度は正弦で表します。

Pの振動数は f = 12/3.0 = 4.0 Hzです。境界が静止し、周期が保たれるので、Qでも4.0 Hzです。したがって vQ = 4.0・2.0 = 8.0 cm/sであり、指定の形では8 cm/sです。

sin(r) = (8/12)・(√3/2) = √3/3 となります。sin(30°)より大きく、sin(60°)より小さいので、rは30°と60°の間です。遅いQで法線に近づくこととも整合します。正弦が√3/3だからといって、rを30°と決めることはできません。

別解では、速さを先に数値化せず、振動数が等しいことから vQ/vP = λQ/λP = 2/3 を使います。これを sin(r) = (vQ/vP)・sin(60°) に代入すれば同じ結果です。どちらの道でも、Qの答え8 cm/sを4.0 Hzで割ると2.0 cmに戻り、波長の条件を満たします。

発展例題：接線が引けない条件を見分ける

別の平らな境界で、一定振動数の波が媒質Xから媒質Yへ進みます。速さはXで4.0 cm/s、Yで8.0 cm/s、入射角は45°です。sin(45°) = √2/2とします。この条件で、境界を越えて進む平面波の屈折角があるか判断してください。ある場合は正弦で、ない場合は理由を述べます。

屈折則の右辺を作ると sin(r) = (8.0/4.0)・(√2/2) = √2です。実数の角度の正弦は1以下ですから、この値を持つ屈折角はありません。したがって、仮定した形で境界を越えて進む平面波は得られません。境界では反射を考える必要があります。

作図でも確かめられます。BがCへ着く時間の間に、Aからの小さな波の半径はAD = vY・tです。AC = vX・t/sin(45°)なので AD/AC = √2 となり、Cは円の内側にあります。円の内側の点から円への接線は引けません。逆にsin(r)が1ちょうどなら、屈折方向は境界に沿う90°の限界で、境界を越える向きには進みません。

この判定は、遅い側から速い側へ向かう場合に必要です。振動数を小さくしてsin(r)を1以下に直すことはできません。振動数を変えずに同じ時間の進行距離を比べると、図を作れる条件まで見えます。

間違った答えを図で直す

ある人が、速さ8 cm/s、振動数2 Hzの波が4 cm/sの媒質へ入るとき、「速さが半分だから振動数も1 Hz、波長は4 cmのまま」と答えました。元の媒質では8/2 = 4 cmで、計算そのものは一見合っています。しかし境界の一点に2 Hzで山が届くという条件を、通過後に捨てています。

図3の上段は正しい対応です。1秒に2回届く周期を保つため、通過後の波長は4/2 = 2 cmとなり、波面の間隔は半分です。下段の誤答では間隔4 cmと速さ4 cm/sから周期が1秒になり、1秒に1回しか山が通りません。静止した境界で毎秒2回届く条件と一致しません。

別の誤りは、境界線と波線の角を入射角としてしまうことです。法線との角と合わせて90°になるため、代入前にどちらの線から測ったかを図に書きます。さらに、波面に沿って隣の山を探しても波長は測れません。進行方向に垂直な波面と、進行方向に沿う波長の測定線を区別します。

観察の設計とグラフの読み方

学校の指導の下で、水槽に深さの異なる領域を設け、一定周期で直線状の波を出す実験を考えます。上から短い時間間隔で撮影し、境界の両側で同じ時刻の複数の波面をたどります。波線は波面に垂直に引き、法線を基準に角度を測ります。水槽内の反射波が重なると山の位置を読み取りにくくなるため、反射が観察範囲へ戻る前の画像を選びます。

それぞれの領域で、隣り合う山の間隔を波線に沿って複数回測り、平均します。境界に沿う間隔を波長と誤認しないよう、測定線と波面の直角を確認します。別に、各領域の固定点で山が通る時刻を記録し、連続する複数周期の時間を周期数で割ります。両側の周期が誤差の範囲で一致するか、λ/Tから求めた速さの比と角度からの比が合うかを比べます。

水面が揺れて山の位置がぼやける、境界の場所が幅を持つ、撮影の時間間隔が粗い、といった事情は読みの誤差になります。短い距離や1周期だけで測ると、その読み違いが比に大きく響きます。複数間隔をまとめて測る方法と測定範囲を変える方法を比べ、波面が平らでない画像は同じ式に無理に代入しません。

振動数を一定にして媒質の条件を変え、横軸に速さv、縦軸に波長λを取ると、λ = v/fより原点を通る直線が予想されます。傾きは1/fで、単位は秒です。縦軸に周期を取れば、同じ波源での理想的な値は横向きの直線です。測定点が少しずれた場合は測定誤差を検討し、直線を通るという期待だけで測定値を作り替えてはいけません。

練習：図と条件を自分でつなぐ

各問は平らな静止境界、一定振動数、各媒質内で一定の速さを仮定します。数値は自作の条件です。指定がなければ分数または整数で答え、途中では丸めません。

1. 媒質Aの速さが18 cm/s、振動数が3 Hz、媒質Bの速さが12 cm/sです。各媒質の波長をcmで求め、Bの振動数をHzで答えてください。
2. 媒質MからNへ進む波の入射角は30°、速さはMで10 cm/s、Nで20 cm/sです。sin(30°) = 1/2として、屈折角を度で求め、向きを説明してください。
3. 境界に入る前の波面上の端Eが先に到着し、もう一方の端Fは2.0 s後に境界のGに到達します。入射側の速さは6.0 cm/s、通過側は4.0 cm/sです。EG = 15.0 cmのとき、FGと、Eを中心とする小さな波の半径をcmで小数第1位まで求め、Gからその円に接線を引けるか答えてください。
4. 媒質CからDに波が進み、Cでの波長は9 cm、Dでは6 cmです。入射角の正弦は3/5です。屈折角の正弦を分数で求め、その角が入射角より大きいか小さいか答えてください。
5. 一定の波源による波について、速さが15 cm/sの領域で波長が5 cmです。同じ波源のまま速さが9 cm/sの領域に変えるとき、波長と周期をそれぞれcm、秒で求めてください。また、速さを横軸、波長を縦軸としたグラフの傾きを秒で答えてください。

練習の解答と照合

1. λA = 18/3 = 6 cm、λB = 12/3 = 4 cmです。Bの振動数は3 Hzです。逆に6・3 = 18、4・3 = 12で、それぞれ指定された速さに戻ります。波長が2/3になっても振動数を2/3にしてはいけません。

2. sin(r) = (20/10)・(1/2) = 1ですから、r = 90°です。波は境界に沿う向きが限界で、媒質Nの内部へ向かう角度にはなりません。逆算すると sin(30°) = (10/20)・sin(90°) = 1/2となります。この条件を超えてsin(r)が1を超えたときは、実数の屈折角を答えとして作れません。

3. FG = 6.0・2.0 = 12.0 cm、半径は4.0・2.0 = 8.0 cmです。EG = 15.0 cmは半径8.0 cmより大きいので、Gは円の外にあり、接線を引けます。また、EGはFGの12.0 cmより長いため、入射側の直角三角形も作れます。答えを2.0 sで割ると、各距離は与えられた6.0 cm/sと4.0 cm/sに戻ります。

4. 振動数が同じなので、速さの比vD/vCは6/9 = 2/3です。sin(r) = (2/3)・(3/5) = 2/5となり、0°から90°の範囲で屈折角は入射角より小さくなります。逆に (2/5)/(3/5) = 2/3で、指定された波長比に一致します。比を逆に取ると遅い側なのに法線から遠ざかる答えになります。

5. 振動数は15/5 = 3 Hz、周期は1/3秒です。新しい波長は9/3 = 3 cm、グラフの傾きは1/f = 1/3秒です。3 cmを1/3秒で進む速さは9 cm/sになり、元の5 cmと1/3秒からは15 cm/sになります。横軸と縦軸を入れ替えると傾きは振動数になるので、軸の確認が必要です。

答えを疑うための5つの照合

計算が最後まで進んでも、最初の条件の取り違えは残ります。次の照合は、答えが条件を満たす場合と、似た手順が成立しない場合を対にして見るためのものです。練習の数値を使わなくても、図や単位の段階で確認できます。

1. 振動数を確かめるときは、境界の固定点を一定時間に通る山を数えます。入射側と通過側で同じ時間に同じ回数なら、周期が引き継がれたと判断できます。一方、境界が動く設定や波源の周期が変わる設定では、この一定周期の説明をそのまま使えません。最初に静止境界と一定の波源を問題文で確認します。
2. 波長を比べるときは、同じ時刻の隣り合う波面の間を、それぞれの進行方向に測ります。直角に測った長さを周期で割ればその媒質の速さになります。波面に斜めの線で測った長さを使うと、同じ2本の波面の間でも実際の波長より長くなります。測定線を引き直してから比を作ります。
3. 屈折角を計算するときは、まず sin(r) = (v₂/v₁)・sin(i) を書き、正弦が0以上1以下かを調べます。範囲内なら0°から90°までの角に対応させられます。1を超えるなら角を丸めたり、分母と分子を入れ替えたりせず、通過する平面波の作図が成り立たないと判断します。
4. 作図の接点では、中心から接点に引く半径が接線に垂直であることを確かめます。Cから円に接する線で、かつ前方へ進む面を選べば、波面と波線の直角がそろいます。円を横切る線を引いた場合は新しい波面として使えません。接点と直角を確かめて引き直します。
5. グラフを使うときは、固定した振動数の下で、速さと波長の単位をそろえて傾きを読みます。横軸がcm/s、縦軸がcmなら傾きは秒で、周期と比較できます。横軸が媒質ごとに異なる振動数のデータでは、1本の直線の傾きを共通の周期と解釈できません。条件をそろえた点を分けて調べます。

手元に残す4行

• 波面と進行方向は垂直で、入射角と屈折角は法線から測ります。
• 同じ時間の距離v₁・tとv₂・tを使い、sin(i)/v₁ = sin(r)/v₂を導きます。
• 静止境界と一定周期の下では振動数は等しく、波長は速さに比例します。
• 求めた正弦が1を超えたら、通過する平面波の角は作れません。

図を見ながら考え直す

答えが合わないときは、まず境界上の一点に注目し、山が届く周期を声に出して説明してみます。次に、波面と波線を直角に描き、法線から角を測れているか、同じ時間に進む距離が各媒質の速さに対応しているかを確かめます。計算の前に向きを予想すると、比を逆にした誤りを見つけやすくなります。

個別指導で確認するなら、波面の両端の到着時刻を書き込み、接線を引く手順とsin(i)/v₁ = sin(r)/v₂の各項を対応させます。さらに、λ = v/fに答えを戻して元の速さを再現できるかを見ます。同じ時間に届く振動と、同じ時刻に並ぶ波面を区別すれば、屈折の図は自分の手で描けます。