高校物理 弦の固有振動—長さと張力の変化から共鳴する振動数を比べる｜武蔵野個別指導塾

張力を4倍にしたときの速さや振動数を固定したときの次数を比べ、条件から捉える弦共鳴です。

よくあるのは、両端を固定した弦の張力を変えて共鳴を調べるとき、高校生が波の速さは変わらないとして振動数の比を出す場面です。弦に山がいくつ並ぶかは端の条件で決まりますが、その形が1秒間に何回振動するかは、波が弦を進む速さにも関係します。張力を変える前後で何が固定され、何が変わるかを、波長と速さに分けて追います。振動数を一定に保つ実験では、同じ形が必ず残るとは限りません。

まず何を固定して比べるか

問題の型は大きく二つあります。1つ目は、同じ次数の振動を比べ、弦の長さや張力が変わったときに固有振動数が何倍になるかを求める型です。次数が同じなら、弦の長さと波長の比が保たれます。速さも同じと考えてよいかは、張力と線密度を見て判断します。

2つ目は、振動器の振動数を変えずに、張力や長さを調節して次の共鳴を探す型です。このときは、波長を固定する前に、腹の数がいくつに変わるかを考えます。振動数が固定されていることと、次数が固定されていることは別の条件です。最後に、求めた速さと波長から振動数を戻し、指定された条件に合うかを確かめます。

ここでは、十分に一様で細い弦の横振動を考え、両端は動かないものとします。弦のたるみや振幅による張力の変化は小さく、張力と単位長さあたりの質量は弦の各部分で一定とします。固定端の間の長さを L、張力を F、線密度を μ、弦上の波の速さを v とします。実際の共鳴の鋭さには摩擦なども関係しますが、以下の計算では固有振動数の位置をこの理想化で求めます。

波の速さと端の条件をつなぐ

線密度 μ は、弦の質量をその長さで割った量です。単位は kg/m です。同じ長さで質量が大きい弦ほど、線密度は大きくなります。弦の波の速さは、以下の式で与えられるものとします。

v = √(F/μ)

F の単位を N とすると、F/μ の単位は m²/s² です。平方根を取ると速さの m/s になります。張力が4倍で線密度が同じなら、速さは4倍ではなく2倍です。反対に張力が同じで線密度が4倍なら、速さは半分です。平方根を取る前の比と、取った後の比を区別します。この速さは弦の上を進む小さな横波の速さであり、弦の各点が横に動く速さとは別の量です。

弦の左端を x = 0、右端を x = L とし、右向きを位置 x の正方向に取ります。変位の正方向は弦の平衡位置から上向きです。どの時刻でも両端の変位は0なので、両端は節です。図1のように、隣り合う節の間隔は波長の半分で、固定端の間にはその半波長が整数個入ります。図の曲線は振幅が最大となる瞬間の形を表し、上側の曲線が常に弦の形であるという意味ではありません。

腹の数を n とすると、n は1以上の整数で、n次の振動には n 個の半波長が入ります。したがって L = n・λₙ/2 です。例えば3次では、両端以外にも2個の節があり、3個の腹が並びます。ここから λₙ = 2L/n を得ます。節から隣の腹までの距離は λₙ/4 であり、腹を1個数えるごとに半波長を数えたことになります。

進行する波には v = f・λ が成り立ちます。反対向きに進む同じ速さ・振動数の波を重ねた定常波でも、その各進行波の波長と振動数の間にはこの関係があります。定常波の節が移動しないことと、成分の波の速さが0であることは違います。これらを合わせると、n次の固有振動数は次のように表せます。

fₙ = v/λₙ = (n/(2L))・√(F/μ)

固定端の条件から波長を出し、波の速さで振動数に直すという順序です。式中の n は振動の種類を示す整数で、外から加える振動数そのものではありません。n = 1 が基本振動、n = 2 がその2倍の振動数の振動です。理想的な弦では、このように固有振動数が基本振動数の整数倍に並びます。

弦を外から周期的に揺らすと、外からの振動数が固有振動数に近いところで振幅が大きくなる共鳴が見られます。固定した振動数で調節する場合、どの次数が条件に合うかを選びます。単に強く揺れた位置だけで次数を決めず、節と腹の配置も確かめます。

基本例題：張力を増やした同じ次数

長さ 1.2 m、線密度 0.010 kg/m の一様な弦の両端を固定します。張力を 36 N にしたときの3次の固有振動数を求めます。次に長さと線密度を変えず、張力を 144 N にしたときの3次の固有振動数を求めます。数値は与えた値を正確な条件として扱い、答えは Hz の整数で表します。

最初の波の速さは次の通りです。

v = √(36/0.010) = √3600 = 60 m/s

3次なので、図2のように 1.2 m の間に半波長が3個並びます。よって波長は次の値です。

λ₃ = (2・1.2)/3 = 0.80 m

f₃ = 60/0.80 = 75 Hz

両端のほかの節は左端から 0.40 m、0.80 m にあります。腹はその間の 0.20 m、0.60 m、1.0 m です。図2の曲線は、これらの腹が同時に最大変位をとる瞬間を示します。上下の向きはその半周期後に逆になりますが、節の位置は変わりません。

張力を 144 N にした後も、同じ長さの3次振動なので波長は 0.80 m のままです。新しい速さと固有振動数は次の通りです。

v′ = √(144/0.010) = 120 m/s

f₃′ = 120/0.80 = 150 Hz

元の条件へ戻して確かめると、75 Hz と 0.80 m の積は 60 m/s、新しい 150 Hz と 0.80 m の積は 120 m/s です。さらに μ・v² はそれぞれ 36 N、144 N です。波長の条件と張力の条件を両方満たします。

比を使う別解では、長さ・線密度・次数が同じなので、振動数の比は速さの比です。張力比は 144/36 = 4 ですから、振動数比は √4 = 2 です。75 Hz の2倍が 150 Hz となり、個別に求めた結果と一致します。最初から振動数を4倍にすると、張力を16倍にした場合の速さの比になってしまいます。

標準例題：振動数を保って長さを変える

線密度 0.010 kg/m の弦を 36 N で張り、両端を固定します。固定端間の長さ 1.0 m で、振動数 120 Hz の振動器により共鳴しています。張力、線密度、振動数を保ったまま長さを 1.5 m にしたときにも共鳴するか、するなら次数を求めます。次数は整数で答えます。

速さは √(36/0.010) = 60 m/s です。与えられた振動数が一定なので、各進行波の波長は 60/120 = 0.50 m です。最初に入る半波長の数は (2・1.0)/0.50 = 4 で、4次です。長さを変えた後は (2・1.5)/0.50 = 6 となり、6次で共鳴します。6個の半波長の長さは 6・0.25 = 1.5 m で、端の条件にも戻ります。

別の見方では、速さと振動数が一定なら波長も一定です。長さの比が 1.5 倍なので、半波長の個数も4個から6個に増えます。逆に、長さを変えた後も4次に固定するなら波長は 0.75 m となり、固有振動数は 60/0.75 = 80 Hz です。この 80 Hz は 120 Hz の振動器とは一致しません。何を固定した比較かを言葉で記してから式を使うと、二つの答えを混ぜずに済みます。

もし長さが 1.4 m なら、同じ波長での半波長の数は 5.6 です。整数ではないため、理想的な固定端の固有振動としては 120 Hz に一致しません。実物では振幅が有限の範囲で大きく見えることもありますが、整数でない次数を解答にしてはいけません。

発展例題：振動数一定で張力の候補を絞る

長さ 1.0 m、線密度 0.010 kg/m の弦を両端で固定し、90 Hz の振動器で揺らします。張力を 25 N 以上 100 N 以下の範囲で変えます。この理想的な弦が共鳴する張力をすべて求め、対応する次数も答えます。張力は N の整数で表します。

n次に共鳴するとき、波長は 2.0/n m です。振動数が 90 Hz なので、速さは v = 90・(2.0/n) = 180/n m/s です。張力は F = μ・v² から、F = 324/n² N となります。n は1以上の整数です。

範囲の下端から、324/n² が 25 以上、すなわち n² は 12.96 以下です。上端から、324/n² が 100 以下、すなわち n² は 3.24 以上です。両方を満たす整数は n = 2、3 です。n = 2 では F = 81 N、n = 3 では F = 36 N です。n = 1 は 324 N で範囲を超え、n = 4 では 20.25 N で範囲を下回ります。n が大きくなるほど 324/n² は小さくなるため、4以上も下端を満たしません。

条件に戻すと、2次では波長 1.0 m、速さ 90 m/s なので振動数は 90 Hz です。3次では波長 2/3 m、速さ 60 m/s で、同じく 90 Hz です。μ・v² は順に 81 N、36 N になり、両方とも指定範囲に入ります。同じ振動数を保って次数を増やすには波長を短くし、それに合わせて速さと張力を小さくする必要があります。

測定値とグラフは何を示すか

学校の指導の下で、一様な弦の固定端間の長さを測り、張力を調節しながら振動数を変えて共鳴を探す実験を考えます。まず弦の長さ、質量から求めた線密度、張力を記録します。振動数を小さい側と大きい側の両方向からゆっくり変え、振幅が大きい範囲と節の数を記録します。振動器や支持部が完全な固定端でない場合は、見かけの端の位置も確かめます。

横軸を次数 n、縦軸を固有振動数 fₙ とするグラフを考えます。理想式では原点を通る直線になり、傾きは v/(2L) です。例えば傾きが 30 Hz で長さが 1.0 m なら、速さの推定値は 60 m/s です。次数を横軸にした点は離散的な整数の位置にあり、その間の値を別の次数と解釈しません。縦軸の単位が Hz、横軸が無単位なので、傾きの単位も Hz です。

測定点が直線からずれるときは、次数の数え違い、固定端の位置の読み違い、張力や線密度の一様性、振幅の最大を決める幅を順に点検します。共鳴が広い場合、最大と思った1点だけを厳密な固有振動数とせず、近くの振動数でも振幅を比べます。往復で異なる値になれば、その差を記録し、読み取りの不確かさの目安にします。誤差の原因を区別するには、振幅を小さくした場合や長さの測り方を変えた場合を比較します。測定点のばらつきだけで原因を一つに断定しません。

横軸を張力 F、縦軸を同じ次数の f にすると、式から f は F に比例せず √F に比例します。一方、横軸を F、縦軸を f² にすれば、他の条件が同じ限り原点を通る直線です。縦軸を変えると単位も Hz² に変わります。異なる次数の測定値を一つの直線に混ぜると傾きが変わるので、各点で腹の数をそろえます。

間違えた式を条件まで戻す

基本例題で、張力を4倍にしたのに「同じ弦なので波の速さは 60 m/s のまま」とする答えを考えます。同じ長さの3次なら波長が 0.80 m のままという部分は正しいのですが、速さが同じという部分が誤りです。図3のように、固定される量と変更した量を分けてから、速さを計算し直します。

変更後の張力 144 N と線密度 0.010 kg/m を式に戻すと、速さは 120 m/s です。したがって同じ波長に対応する振動数は 150 Hz です。もし 60 m/s を使い続けるなら、それに対応する張力は 0.010・60² = 36 N となり、新しい条件と食い違います。答えを条件へ戻す検算が、誤りの場所を示します。

別の誤りは、振動数が固定された問題で次数も勝手に固定し、共鳴する長さや張力を1つに決めることです。まず n を整数の文字として残し、範囲に入る候補を調べます。次に各候補で半波長の個数と振動数を確認します。候補がない場合は、理想条件で一致する共鳴はないと判断します。条件に合わない数を無理に丸めて次数にしないことが修正の要点です。

自分で試す5問

以下では、弦は一様で両端を固定し、小振幅の理想的な横振動とします。与えられた数値は正確な条件とします。各問は途中で丸めず、指定された形で答えてください。

1. 長さ 1.25 m、線密度 0.0064 kg/m、張力 16 N の弦があります。基本振動と2次の固有振動数を、Hz の整数で求めてください。
2. ある弦の長さを元の 3/2 倍、線密度を4倍、張力を9倍にします。同じ次数の固有振動数は元の何倍ですか。整数で答えてください。
3. 長さ 0.80 m、線密度 0.0050 kg/m の弦を 100 Hz で揺らします。2次と4次にそれぞれ共鳴する張力を、N の整数で求めてください。
4. 長さ 1.0 m、線密度 0.0025 kg/m、張力 25 N の弦があります。3次の固有振動数を Hz の整数で求め、両端以外の節の位置を左端からの距離として m の分数で答えてください。
5. 長さ 1.5 m、線密度 0.0050 kg/m の弦で、低い方から順に1次、2次、3次の共鳴振動数が 24 Hz、48 Hz、72 Hz と測れたとします。理想式に一致するとして波の速さを m/s の整数で、張力を N の小数で求めてください。

5問の答えと途中の考え方

1. v = √(16/0.0064) = 50 m/s です。基本振動の波長は 2・1.25 = 2.5 m、2次の波長は 1.25 m です。したがって基本振動は 50/2.5 = 20 Hz、2次は 50/1.25 = 40 Hz です。それぞれ振動数と波長の積は 50 m/s となり、張力も 0.0064・50² = 16 N に戻ります。

2. 同じ次数では、振動数の比は速さの比を長さの比で割ったものです。速さの比は √(9/4) = 3/2 なので、振動数の比は (3/2)/(3/2) = 1 倍です。波長は長さと同じ 3/2 倍、速さも 3/2 倍になり、速さを波長で割った値は変わりません。

3. 2次では波長が 0.80 m、速さが 100・0.80 = 80 m/s です。張力は 0.0050・80² = 32 N です。4次では波長が 0.40 m、速さが 40 m/s なので、張力は 0.0050・40² = 8 N です。各波長にそれぞれ2個、4個の半波長を入れると、いずれも弦の長さ 0.80 m に戻り、速さを波長で割れば 100 Hz です。

4. v = √(25/0.0025) = 100 m/s、3次の波長は 2/3 m です。したがって振動数は 100/(2/3) = 150 Hz です。節は半波長ごとにあるので、両端以外は左端から 1/3 m と 2/3 m です。そこから右端までの区間も 1/3 m で、3個の半波長が長さ 1.0 m に入ります。

5. 1次の波長は 3.0 m なので、速さは 24・3.0 = 72 m/s です。張力は 0.0050・72² = 25.92 N です。2次の波長 1.5 m に 48 Hz を掛けても、3次の波長 1.0 m に 72 Hz を掛けても、速さは 72 m/s です。3個の測定値と同じ張力が両立します。

手元に残す要点

両端固定のn次では、長さに半波長が n 個入り、λₙ = 2L/n です。 速さは v = √(F/μ)、固有振動数は fₙ = (n/(2L))・√(F/μ) です。 同じ次数の比と、振動数を固定して次数を選ぶ問題を分けます。 次数は正の整数とし、求めた値を端の条件と振動数に戻します。

つまずきの位置を見つける

答案で波長の比は合っているのに振動数の比が合わない場合は、張力と線密度から速さを計算した行を見直します。平方根を取る前後で比が変わることを、単位と具体的な数で説明できるかが目印です。逆に速さは正しいのに次数が合わない場合は、固定端を節として描き、半波長の個数を数え直します。

個別指導で確認するなら、変更前後の L、F、μ、n、f を並べ、一定の欄に印を付けてから式を口頭で説明します。振動数一定の問題では、整数の候補が範囲に入る理由と、範囲外の候補を除く理由まで図と式で確認します。弦の共鳴は、端に収まる波長と、その波が進む速さを結んで判断できます。