高校物理 回折格子の明線—格子間隔と角度の条件から観測できる次数を数える｜武蔵野個別指導塾

格子本数を間隔に直し、波長と観測角から求める明線の次数です。

よくあるのは、回折格子に刻まれた1 mmあたりの本数を、そのまま格子間隔として式に入れてしまう場面です。本数が多いほど隣のすき間は近くなるはずなのに、計算では間隔が大きくなってしまいます。明線の式を覚えていても、本数と長さの関係を取り違えると、その先の角度も次数も変わります。単色光を正面から当てる状況を使い、間隔への換算から観測できる明線の数まで、順番に考えます。

何を数えるかを先に決める

回折格子には等間隔に細いすき間が並びます。ここでは、格子面に垂直な方向から単色光が入り、各すき間から出た光が遠方で重なるとします。問われる型は、格子の本数と波長から明線の方向を求めるもの、波長の異なる光の位置を比べるもの、観測角の範囲を指定して明線の個数を数えるものです。個々の線の明るさや幅は扱わず、主な明線の方向を調べます。

目標は、まず格子間隔と波長を同じ単位にそろえ、次に整数の次数に対する条件を立てることです。右側と左側の区別、中央の0次を含むか、観測装置が角度の端を含むかも答えの一部です。式を満たす候補と実際に指定された範囲に入る候補を分ければ、最大次数と本数を混同せずに済みます。

格子間隔から光路差を作る

長さ1 mmあたりにN本の格子があるとき、格子間隔dは (1 mm)/(N) です。たとえば1 mmにN本が等間隔に並ぶと考えれば、1本あたりに割り当てる長さは本数で割って求まります。Nの単位を本/mmと表すなら、d = 1/N mmです。本数は間隔そのものではなく、長さあたりの本数の逆数が間隔です。

光の進行方向を格子面の法線から測った角をθとします。正面入射なので、入射時には各すき間に同じ位相で光が届きます。図1のように、隣り合うすき間から同じ方向へ進む光の経路の差は、間隔dを進行方向に射影した長さd・sin(θ)です。反対側の角は負とし、経路差にも符号を付けます。

光の波長をλとすると、隣同士の経路差がλの整数倍なら、波の山と山が重なります。格子が等間隔なので、隣同士が同位相であれば、その先のすき間からの光も同位相で重なります。したがって、主な明線の条件は次の式です。

d・sin(θ) = m・λ　（mは整数）

mを次数と呼びます。m = 0は正面の中央明線、正と負の同じ絶対値の次数は、法線の両側の対称な方向です。これは多くのすき間の光が同じ位相になる条件であり、隣の2本だけを選んで他のすき間を無視した式ではありません。すき間の数が有限なら明線には幅がありますが、ここでは式の与える方向で数えます。

式はいつでも整数mに解があるわけではありません。角度の実数解には -1 ≦ sin(θ) ≦ 1 が必要です。さらに、格子の前方に置いた平面スクリーン上で見る場合は、光が格子面に沿って進むθ = ±90°を有限の位置で受け取れません。この条件では -1 < m・λ/d < 1 を使います。装置が±90°の方向まで含むかどうかは問題の観測条件に従い、等号を勝手に捨てたり加えたりしないことが重要です。

条件の境目を図なしでも判定する

正側の最大次数を求めるとき、d/λが整数でないなら、それより小さい最大の整数が前方の最大次数です。たとえば比が4と5の間なら4次までは前方にあります。比が整数に一致するときは、その整数次がちょうど90°に当たります。前方の有限のスクリーンを指定された場合には、最大次数はその整数より1小さくなります。整数部分を取る操作を無条件に使うと、この境界で1本ずつ余分に数えます。

観測角が0°からある正の角までに限られる場合も同じです。角度の上限をθ₀とすると、正側の候補はm・λ/d ≦ sin(θ₀)です。上限を含まなければ不等号は < に変わります。負側まで同じ幅で観測するなら正側と同数を反対側に置けますが、片側だけの装置や左右で範囲が異なる装置では、両側を別々に列挙する必要があります。

格子の本数が増えるとdは小さくなります。同じ波長と次数ではsin(θ)が大きくなり、明線は法線から離れます。ただし、dが小さすぎてm・λ > dとなれば、その次数の方向は存在しません。明線が外側へ動くことと、どの次数も必ず残ることは別の話です。波長を長くしたときも、同じ次数に対して同様に条件を確かめます。

基本例題：本数から左右の明線へ

1 mmあたり500本の透過型回折格子に、波長500 nmの単色光が正面から入射します。格子の前方に十分広い平面スクリーンを置き、-90° < θ < 90°の主な明線を数えます。中央を含む本数と最大次数を整数で答え、2次の角度は度で答えてください。sin(30°) = 1/2とします。図2は2次の方向を示す模式図です。

まず格子間隔を求めます。1 mm = 10⁻³ m、1 nm = 10⁻⁹ mですから、

d = (10⁻³ m)/(500) = 2.0・10⁻⁶ m

λ = 500 nm = 5.0・10⁻⁷ m

となります。間隔を波長で割れば、d/λ = 4です。これを角度の範囲に戻すと、

-1 < m・λ/d < 1

-4 < m < 4

です。整数の候補はm = -3、-2、-1、0、1、2、3なので、最大次数は3、中央を含む明線は7本です。m = 4を式に入れるとsin(θ) = 1、つまりθ = 90°です。図2のような前方の有限位置にあるスクリーンには届かないため、この条件では数えません。m = -4も同様です。

2次ではsin(θ) = (2・λ)/(d) = 1/2です。前方の範囲で正の角を取るとθ = 30°、反対側の-2次はθ = -30°です。答えを式へ戻すと、d・sin(30°) = 2.0・10⁻⁶ m・((1)/(2)) = 1.0・10⁻⁶ mで、2λと一致します。図2の角度は法線から測っています。格子面から測った60°をθとして入れると、別の方向を計算してしまいます。

本数の計算を別の単位でも確かめられます。1 mm = 10⁶ nmなので、d = (10⁶ nm)/(500) = 2000 nmです。波長500 nmの4倍であり、mの範囲は同じになります。単位をそろえる前に500と500を割って1とすることはできません。一方は本数、もう一方は長さで、表している量が違うからです。

標準例題：見える角度を絞る

1 mmあたり400本の格子に、波長600 nmの単色光を正面から当てます。検出器が受け取る範囲は法線の両側で -30° ≦ θ ≦ 30°です。中央を含む明線の次数と本数を整数で答えてください。sin(30°) = 1/2とし、角度の端も観測に含めます。

格子間隔はd = (10⁶ nm)/(400) = 2500 nmです。指定範囲では -(1)/(2) ≦ sin(θ) ≦ 1/2なので、明線の条件を代入して、

-(1)/(2) ≦ (m・600)/(2500) ≦ (1)/(2)

-(25)/(12) ≦ m ≦ (25)/(12)

を得ます。整数はm = -2、-1、0、1、2で、答えは5本です。2次ではsin(θ) = (1200)/(2500) = 12/25で、1/2より小さいので範囲内です。3次では18/25となり、角度の上限を超えます。3次は前方に存在する方向ではありますが、この検出器には入りません。

別の見方では、片側で許される光路差の最大値はd・sin(30°) = 1250 nmです。600 nmずつ積み上げると、1次は600 nm、2次は1200 nm、3次は1800 nmです。1250 nm以下の正の整数倍は2個あり、反対側の2個と中央1個を加えて5本です。角度の端でちょうど整数倍になった場合は、今回のように等号を含む条件ならその線も加えます。検出器の範囲が端を含まない設定なら、同じ等号の線を除きます。

この方法は、sinの値が角度とともに単調に増える前方の範囲で使えます。角度の上限を最初に確認せず、単にd/λから最大次数を求めると、格子が作る方向と検出器に入る方向を混同します。逆に、算出した次数をそれぞれ元の角度条件に戻せば、数え漏れと余分な線の両方を検査できます。

発展例題：波長による並びと重なり

1 mmあたり250本の格子に、波長400 nmの光Aと波長600 nmの光Bをそれぞれ正面から入射します。両方の光は格子の同じ位置を通り、前方の -90° < θ < 90°を観測します。各光の最大次数と、中央以外で両者の明線が同じ方向になる次数の組をすべて整数で答えてください。明線の強度は問わないものとします。

d = (10⁶ nm)/(250) = 4000 nmです。光Aについては -10 < m < 10 ですから最大次数は9、光Bについては -(20)/(3) < n < (20)/(3) ですから最大次数は6です。ここでm、nはそれぞれA、Bの符号付き次数です。光Aの10次は90°なので含めませんが、光Bの6次はsin(θ) = 9/10で前方にあります。

両者が同じ方向なら、同じ格子間隔に対してm・400 = n・600です。整理すると2m = 3nですから、整数の組はm = 3k、n = 2kと表せます。各光の許容範囲を使うと -10 < 3k < 10、-(20)/(3) < 2k < 20/3です。中央以外ではk = -3、-2、-1、1、2、3となり、組は

(m, n) = (-9, -6)、(-6, -4)、(-3, -2)、(3, 2)、(6, 4)、(9, 6)

です。例えば正側の最も外側の組では、Aの経路差は9・400 nm = 3600 nm、Bも6・600 nm = 3600 nmです。両方ともsin(θ) = (3600)/(4000) = 9/10を満たし、指定された前方に入ります。その次のk = 4ではsin(θ) = 6/5となるので方向自体が存在しません。

同じ正の次数で比べると、波長の長いBの方がsin(θ)が大きく、前方では法線からの角も大きくなります。ただし、異なる次数なら同じ方向に重なる場合があります。波長の大小と次数の大小をひとまとめにせず、各光のm・λを比べるのが決め手です。中央では両方とも0次で重なりますが、問題では中央以外を数えています。

測る計画とグラフでの点検

紙上で測定を設計するなら、既知の波長の光を正面から格子に当て、法線から左右の同じ次数までの角を別々に読みます。強い光源を扱う場合は、目に光が入らないよう学校の指導の下で行います。左右の角の絶対値が大きくずれるときは、格子が正面を向いているか、中央の位置や角度の基準がずれていないかを見直します。左右の読みを使うと片側だけの読み違いを発見しやすくなります。

既知のλについて横軸を次数m、縦軸をsin(θ)として点を並べると、理想的には原点を通る直線で、傾きはλ/dです。角度θそのものを縦軸にすると、一般には直線とは限りません。傾きからd = λ/(傾き)を求め、さらに1 mmあたりの本数に戻して表示と比較します。直線の傾きが大きければdは小さく、本数は多いという逆の関係です。

角度の読み取りには目盛りや明線の幅による不確かさがあります。中央の基準のずれは左右に異なる影響を与え、格子の傾きは正面入射という前提を崩します。点が原点を通らない、左右が対称でない、次数に対して曲がるといった様子を見たら、直線の傾きだけで間隔を決めずに配置と記録を点検します。スクリーン上の距離から角度を求めるなら、格子からスクリーンまでの距離Lと中央からの横距離xを測り、tan(θ) = x/Lを使います。x/Lをそのままsin(θ)とするのは、角度が十分小さいときの近似です。大きい角度では近似のずれが無視できず、三角形からsin(θ) = x/√(L² + x²)と求めます。

スクリーンの読みを角度に戻す

スクリーンが格子面と平行な場合、中央からの横距離xが大きいほど観測角は大きくなります。しかし、xと次数が常に比例すると考えるのは早すぎます。明線の条件はsin(θ)が次数に比例する式であり、画面上の位置はx = L・tan(θ)で決まるからです。角が大きくなるほどsin(θ)とtan(θ)の差が広がり、隣り合う明線の画面上の間隔も一般に一定ではありません。

横距離の測定から次数を判定するには、まずxとLからsin(θ)を計算し、それをd・sin(θ)/λに代入します。測定には誤差があるので、計算結果が整数から少しずれただけで直ちに別の次数と決めず、明線の幅や距離の読みの範囲と照合します。逆に、ずれが測定の幅で説明できないなら、中央位置や格子の向き、単位換算を再確認します。数値を整数に丸める前に、どの程度のずれを許すかを測定条件で定めることが必要です。

誤答から条件を取り戻す

基本例題で「d = 500 nm、波長も500 nmだから1次まであり、中央と合わせて3本」とした答案を見ます。まず、格子の500は1 mmあたりの本数であって500 nmという長さではありません。次に、仮にd = λであっても1次はθ = ±90°であり、前方の有限のスクリーン上にはありません。換算と角度の端という別々の誤りが重なっています。

図3のように、正側の候補をsin(θ)の軸に並べると、基本例題の1次、2次、3次はそれぞれ1/4、(1)/(2)、3/4で、4次は端の1に当たります。0から1までの間にある候補を数え、反対側を加えてから中央を1本加えると7本です。正側の最大次数3を、そのまま全体の本数とする誤答も防げます。

修正するときは、本数の単位を本/mmと書き、逆数を取った長さをnmに直します。その後にd/λを求め、実数の不等式を満たす整数を列挙します。図3の端の扱いは、この例のスクリーンの条件によります。角度の端が観測に含まれる別の問題では、端に一致する候補を条件に沿って判定してください。

練習：5つの条件を読み分ける

各問の光は単色光で、格子に正面から入射します。明線は主な明線を指し、光の強度は考えません。指定がなければ前方の -90° < θ < 90°を観測します。途中で丸めず、個数と次数は整数、角度は度、長さは指定された単位で答えてください。

1. 1 mmあたり200本の格子があります。格子間隔をnmで求めてください。波長750 nmの光を当てるとき、最大次数と中央を含む明線の本数を求めてください。
2. 格子間隔が2400 nm、波長が800 nmです。1次の角をsin(θ)の値で、2次の角を度で求めてください。sin(θ) = 1/3の角は逆三角関数で求めず、その値のまま答えます。sinの値が2/3となる角をαと定義し、0° < α < 90°とします。
3. 格子間隔が3000 nm、波長が500 nmです。観測範囲は -30° < θ < 30°で、両端を含みません。sin(30°) = 1/2として、見える次数と中央を含む本数を求めてください。
4. 格子間隔が3600 nmの格子で、波長450 nmの光Cと波長600 nmの光Dを比べます。中央以外で同じ方向となる次数の組をすべて求めてください。両光とも前方で観測します。
5. 波長700 nmの光を当てた格子について、2次の明線がθ = 30°で観測されました。sin(30°) = 1/2として、格子間隔をnmで求め、1 mmあたりの格子本数が整数となるか判定してください。

練習の答えと途中の点検

1. d = (10⁶ nm)/(200) = 5000 nmです。d/λ = 20/3なので -(20)/(3) < m < 20/3です。最大次数は6、m = -6から6までの13本です。6次の経路差4500 nmは間隔より小さく、7次の5250 nmは間隔を超えるため、答えを元の条件に戻しても境界が合います。

2. 1次ではsin(θ) = (800)/(2400) = 1/3です。2次ではsin(θ) = (1600)/(2400) = 2/3なので、定義によりθ = α度です。実際に2400 nm・sin(α) = 1600 nm = 2・800 nmとなります。1次と2次のsinの値は2倍ですが、角度そのものを2倍とする必要はありません。

3. -(1)/(2) < m/6 < 1/2から -3 < m < 3です。m = -2、-1、0、1、2の5本です。3次は経路差1500 nmで、d・sin(30°)と一致しますが、指定範囲の端を含まないので除きます。2次の経路差1000 nmは端の1500 nmより小さく、範囲の内部です。

4. 同方向の条件は450m = 600n、つまり3m = 4nです。m = 4k、n = 3kと置けます。Cは -8 < m < 8、Dは -6 < n < 6なので、中央以外の整数kは -1、1です。したがって組は(-4, -3)、(4, 3)です。正側を戻すと、どちらの経路差も1800 nmで、sin(θ) = 1/2です。k = 2は90°となり、前方の範囲から外れます。

5. d・((1)/(2)) = 2・700 nmより、d = 2800 nmです。1 mmあたりの本数は (10⁶ nm)/(2800 nm) = (2500)/(7) 本です。整数にはならないため、この測定条件から整数本数を厳密に答えることはできません。近似の指定がなく、勝手に整数へ丸めることもできません。求めた間隔を元の式に戻すと2800 nm・((1)/(2)) = 1400 nmで2波長です。格子本数を整数にするという問題文の要求と条件が両立しないことを見抜く必要があります。

覚えておくこと

格子間隔は単位長さあたりの本数の逆数です。 正面入射ではd・sin(θ) = m・λを使います。 次数は整数で、角度と観測範囲を満たすものに限ります。 正負の次数と中央の0次を分けて数えます。 同方向に重なる条件は、それぞれの次数と波長の積が等しいことです。

どこで止まったかを確かめる

答えが合わないときは、最初に本数の単位とdの単位を声に出して読みます。本/mmを長さに変えられなければ、1 mmを等しい区間に分けた図を描くと、逆数を取る理由を確認できます。次に法線と角を図に入れ、隣のすき間による経路差をd・sin(θ)と説明できるかを見ます。

個別指導で解答を見直すなら、最大次数を出した式だけで終えず、負の次数と0次を含む候補の一覧、端の等号、検出器の範囲を書いてもらいます。波長の異なる線が重なる問題では、それぞれの経路差を別に計算し、同じ方向に戻して照合します。格子の本数から明線の位置へ進む道筋は、単位と角度の条件を一つずつつなぐと見えてきます。