高校物理 薄膜とくさび形の干渉—反射の位相反転を数えて膜厚と縞の位置を決める｜武蔵野個別指導塾

接触部の明暗を反射時の位相反転から判定し、縞の間隔と膜厚を結び付ける薄膜干渉。

よくあるのは、2枚の板の間にできた空気の薄い層を見て、光が往復する距離がゼロの接触部は必ず明るいと考える場面です。確かに2本の光の通る距離の差はゼロです。しかし、反射するときに波の向きが反転するかどうかは、それとは別に調べなければなりません。接触部の判定を出発点にすると、薄い膜の色や、厚さが少しずつ変わるところに並ぶ縞の位置を、同じ手順で考えられます。

最初に分けたい3つの問い

透明な膜に光がほぼ垂直に入ると、上の面で反射した光と、膜内を往復して下の面で反射した光が重なります。問われるのは、指定された厚さで明るいか暗いか、最も薄い膜の厚さはいくらか、厚さが変わる膜のどこに縞が出るか、といったことです。これらは同じ式に数を入れる前に、反射の向きと光路差をそれぞれ決める問題です。

ここでは単色光、透明な媒質、垂直入射を扱い、上面と下面で1回ずつ反射する2つの光を比較します。多重反射による明るさの詳細や斜めに入る場合の厳密な式は扱いません。膜内の吸収は無視します。暗くなるという表現は、比較する2つの光の振幅が等しい理想条件では完全に打ち消し、振幅が異なるときは弱め合うことを意味します。

光路の増加と反射時の反転

真空中の波長をλ、膜の屈折率をn、膜厚をtとします。同じ振動数の光は膜の中では波長がλ/nになります。膜内を往復する距離は2tなので、往復による位相の進みは真空中の距離2ntに相当します。この2ntを光路差と呼びます。幾何学的な距離の差2tと、光路差2ntを区別してください。

反射時には、光が低屈折率側から高屈折率側に向かう界面で反射すると位相が半周期、すなわちπだけ反転します。高屈折率側から低屈折率側へ向かう界面の反射では反転しません。透過による追加の反転はこの高校物理の扱いでは考えません。上下の反射がともに反転するか、ともに反転しないなら、反射による相対的な位相差はゼロです。一方だけが反転すれば、相対的な位相差は半周期です。

図1のように、空気から膜へ入り、膜より屈折率の大きい下地に達する場合を考えます。上面でも下面でも低屈折率側から高屈折率側への反射ですから、両方が反転します。反射による相対的な反転はありません。膜内往復の位相差は2π・(2nt)/(λ)です。2πは1周期の位相を表します。

2nt = mλなら往復による位相差は整数周期で、反射光は強め合います。2nt = (m + 1/2)λなら半周期ずれて弱め合います。mは0以上の整数とし、厚さが正という指定があればt = 0を除きます。この2つの式の分数は、例えば (m + 1/2)λ = ((2m + 1)λ)/(2) を意味します。

これに対し、空気中の膜の下が空気より高屈折率の板で、膜自体が空気のくさびなら、上の板から空気への反射は反転せず、空気から下の板への反射は反転します。相対的に半周期ずれるので、強弱の条件が入れ替わります。空気層ではn = 1ですから、反射光の暗線は2t = mλ、明線は2t = (m + 1/2)λです。接触部t = 0では光路差がゼロでも反射の相対的な反転が残るので暗線です。実際の接触付近では膜厚や表面状態、反射光の振幅によって見え方が変わる点にも注意します。

基本例題：一様な膜の最小の厚さ

空気、屈折率1.5の透明な膜、屈折率1.8の透明な下地がこの順に重なっています。真空中の波長が600 nmの単色光を垂直に当てます。膜の上下で反射する2つの光が弱め合う、正の膜厚の最小値をnmの整数で求めてください。吸収は無視します。

図2のように、光が向かう側の屈折率は上面で1.0から1.5、下面で1.5から1.8に増えます。どちらの反射も位相が反転し、相対的な反転はありません。したがって弱め合う最初の条件は、往復が膜内で半波長になる条件です。

2nt = λ/2

t = λ/(4n)

t = 600/(4・1.5) = 100 nm

膜内波長は600/1.5 = 400 nmです。膜を往復する距離は200 nmで、その半分になっています。反射による相対的な反転がないので、位相が半周期ずれて弱め合うという元の条件に戻ります。t = 0では往復による差がゼロで、2つの反射が相対的に同位相ですから、この問題の弱め合う答えにはなりません。

別の見方では、光路差2nt = 2・1.5・100 = 300 nmです。真空中の波長の半分なので、同じ判定が得られます。膜内波長で距離を数える方法と真空中の波長で光路を数える方法を混ぜなければ、どちらからも同じ結果になります。

標準例題：空気くさびの縞

屈折率1.5の2枚の透明な板の間に、接触端から膜厚が直線的に増える空気層があります。接触端からの距離xが12 mmの位置で空気層の厚さは3.0 μmです。真空中の波長600 nmの単色光を垂直に当てます。反射光の暗線の間隔と、接触端から4本目の暗線までの距離をmmの小数第1位で求めてください。接触端の暗線を0本目とします。

空気層の上面の反射は板から空気へ向かうので反転なし、下面は空気から板へ向かうので反転ありです。光路差が整数波長のとき暗くなります。位置xでの厚さは比例関係から t = (3.0 μm)・x/(12 mm) です。隣の暗線では2tが600 nm増えるため、厚さは300 nm、すなわち0.30 μm増えます。厚さが3.0 μm増える距離が12 mmなので、その10分の1である1.2 mmが暗線間隔です。

4本目の暗線は接触端から4間隔離れ、4.8 mmです。戻して確かめると、その位置の厚さは3.0・4.8/12 = 1.2 μmです。往復の光路差2.4 μmは600 nmの4倍で、反射の半周期のずれと合わせて暗線になります。接触端を1本目と呼ぶ数え方なら答えの番号が変わります。問題文の番号の定義を図の端に書いてから数えます。

別解では暗線の位置を先に式にします。xをmm単位の数値とすると、厚さは250x nmです。2・250x = m・600からx = 1.2m mmとなります。mを1増やしたときの差が1.2 mmで、m = 4なら4.8 mmです。距離と厚さの単位をそろえてから比例式を立てると、換算の誤りを見つけやすくなります。

発展例題：反転の数が変わるとき

空気中に屈折率1.4の透明な膜があり、その下地の屈折率は1.2です。真空中の波長560 nmの単色光を垂直に入れます。膜の上下からの反射光が強め合う正の膜厚のうち、200 nm以下のものをnmの整数ですべて求めてください。吸収は無視します。

上面では空気から膜へ向かうため反転し、下面では膜から下地へ向かうため反転しません。反射による相対的な位相差が半周期です。強め合うには、往復の光路差でも半周期の奇数倍だけずれて、合わせて整数周期になる必要があります。

2・1.4・t = (m + 1/2)・560

t = (m + 1/2)・200 nm

m = 0, 1ならtは100 nm、300 nmです。mは0以上の整数であり、次はさらに厚くなります。指定範囲に残るのは100 nmです。実際に戻すと光路差は280 nmで波長の半分です。反射の半周期と合わせて1周期となり、強め合います。膜がゼロに近い極限では光路差がゼロに近く、相対的な反転により弱め合う側になります。

同じ膜でも下地の屈折率を膜より大きくすると、下面の反射も反転し、条件は基本例題の型に変わります。屈折率の数値を式に入れる前に、大小関係の矢印を上下それぞれに記すと、境界条件が変わったことを見落としません。

誤答を接触部へ戻す

空気くさびに対し「接触部は往復距離がゼロだから明線、次の明線は2t = λ」と書く誤答を考えます。往復距離に関する観察は正しいのですが、それだけで2本の光の位相を比較したことにはなりません。下面での反射が上面に対して半周期反転することが抜けています。

図3のように、接触部で光路差によるずれは0、反射による相対的なずれは半周期です。両方を合わせると弱め合います。修正後は2t = mλが暗線、2t = (m + 1/2)λが明線です。まずm = 0を入れ、接触部が暗線に含まれるかを確認します。この点検は、明暗の式を逆に覚えた場合にも役立ちます。

一方、上下とも低屈折率から高屈折率への反射なら、接触に近い極限で相対的な反転はありません。接触部が常に暗いと覚え直すのも誤りです。膜が消える極限の実際の反射は2光線の振幅や界面の扱いにも注意し、ここでは位相条件の照合として用います。

縞を測る設計とグラフ

学校の指導の下で、2枚の透明な板にできた薄い空気層を単色光で照らし、反射光の縞を記録する測定を考えます。光源を直接のぞかず、安全な装置と観察方法を指導者に確認します。接触端の位置と縞の方向を決め、端から複数の暗線までの距離を同じ向きに測ります。1区間だけでなく複数間隔をまとめて測り、その距離を間隔数で割れば、端の読み取り誤差の影響を小さくできます。

横軸を暗線の次数m、縦軸を接触端からの位置xとすると、厚さがxに比例する理想的なくさびでは点は直線上に並びます。傾きは暗線間隔です。原点がずれる場合は接触端の読み違いや、板の間に異物がある可能性を調べます。曲がりが続く場合は板のたわみなどで膜厚が位置に比例していない可能性があります。ただし、グラフだけで原因を一つに断定することはできません。

照明が完全な垂直入射でないこと、縞の幅が有限で中心を選びにくいこと、複数の波長が混ざることも誤差や縞の見えにくさにつながります。位置を繰り返し読み、どの程度ばらつくかを示してから傾きを比較します。単位を取り違えると傾きは1000倍も変わるので、nmとμm、μmとmmの換算も記録に残します。

練習問題

いずれも透明な媒質への垂直入射で、指定された2つの反射光を考えます。吸収は無視し、答えは指定単位の整数または分数で表してください。光の波長は真空中の値です。

1. 空気、屈折率1.25の膜、屈折率1.6の下地の順に重なります。波長500 nmの光で反射光が弱め合う最小の正の膜厚をnmで求めてください。
2. 空気、屈折率1.5の膜、屈折率1.1の下地の順です。波長480 nmの光で反射光が強め合う最小の正の膜厚をnmで求めてください。
3. 屈折率1.4の板2枚に挟まれた空気くさびに波長400 nmの光を当てます。膜厚が1.0 μmの位置は反射光の明線と暗線のどちらですか。接触端から数えた暗線の次数も答えてください。
4. 空気くさびの厚さが接触端から20 mmで2.0 μmになります。波長500 nmの光を使うとき、隣り合う反射光の暗線の間隔をmmで求めてください。板の屈折率は両方とも1.5です。
5. 空気、屈折率2.0の膜、屈折率1.5の下地の順です。膜厚180 nmで反射光が強め合うとき、真空中の波長が400 nm以上800 nm以下の候補をnmで求めてください。

練習問題の答えと照合

1. 上下とも反転するので、最初の弱め合いは2・1.25・t = 500/2です。t = 100 nmです。光路差は250 nmで、元の波長の半分に戻ります。
2. 上面のみ反転するので、最初の強め合いは2・1.5・t = 480/2です。t = 80 nmです。光路差240 nmと反射の半周期を合わせると1周期です。
3. 片方だけが反転し、2t = 2.0 μm = 2000 nm = 5・400 nmです。したがって暗線、次数は5です。接触端を0次とすると、厚さが200 nm増えるたびに次数が1増え、1.0 μmで5次と一致します。
4. 暗線間の厚さの増加は250 nm = 0.25 μmです。全体の厚さ2.0 μmの8分の1なので、間隔は20/8 = 5/2 mmです。8区間で20 mmとなり、与えた厚さの変化に戻ります。
5. 上面のみ反転するので2・2.0・180 = (m + 1/2)λ、すなわち720 = (m + 1/2)λです。m = 0ではλ = 1440 nmで範囲外、m = 1ではλ = 480 nm、m = 2ではλ = 288 nmで範囲外です。それ以降はさらに短くなるので候補は480 nmです。720 nmはその1.5倍で、反射による半周期と合わせて2周期になります。

覚えておくこと

光路差は膜内の往復距離に屈折率を掛けた2ntです。 反射の位相反転は、上面と下面で屈折率の大小を別々に見ます。 相対的な反転が1回なら、光路差だけで決めた明暗が入れ替わります。 空気くさびの反射光では、接触端を暗線として次数と位置を照合します。

どこで止まったかを見分ける

式は合っているのに答えの明暗が逆なら、光路差の計算と反射の判定を別の行に書き、各界面で光がどちら側から来るかを矢印で確かめます。縞の位置だけがずれるなら、接触端を何次と呼んだか、隣の暗線までの膜厚の変化が波長の半分かを点検します。

個別指導で確認するなら、膜の断面図に3つの屈折率を入れ、2本の反射光について反転の有無を口頭で説明してもらいます。続いて2ntの式の各文字に単位を添え、求めた位置を膜厚に戻します。接触端の判定と途中の縞の判定がつながれば、暗記した式の向きが変わっても自分で立て直せます。薄い層の縞は、道のりと反射の両方を数えると読めます。