高校物理 屈折による見かけの深さ—平行平板の光線を追って実際の位置と像を比べる｜武蔵野個別指導塾

水底の像の位置と平行平板を通る光の横ずれを、光線の延長と近軸近似から読み解く見かけの深さ。

よくあるのは、水底の小さな印を斜め上から見る場面です。高校生が水面を境にした深さの比を逆にし、印の像を実物より深く描いてしまうことがあります。実際に目に届く光は水面で折れ曲がります。目が受け取る光を水中へ直線でさかのぼった位置と、光が出た実際の位置は同じではありません。まず実際に通る道を描き、その次に逆向きの延長を描くと、像が浅く見える理由を追えます。

深さと横ずれを区別する

問題には大きく分けて2つの型があります。1つは、水中の点を空気中から見たとき、像が水面からどれだけ下にあるかを求める型です。もう1つは、平行な2面を持つ透明板に斜めから光を入れ、出射光が元の直線からどれだけ離れるかを求める型です。前者は逆延長の交点、後者は2本の平行な直線の距離を扱います。どちらも屈折則を使いますが、求める距離の向きが違います。

この説明では、境界は平らで、媒質は一様とします。角度は境界面ではなく法線から測ります。像の位置を単一の数で表す公式には、境界付近をほぼ垂直に通る光に限る近軸の条件が必要です。斜めの光まで同じ位置に集まると考えると、正しい図から誤った結論を出してしまいます。

光の道と逆延長の役割

水面を水平とし、水の絶対屈折率を n、空気の絶対屈折率を 1 とします。n は 1 より大きい正の数です。点 P が水面から深さ h にあり、P の真上の水面上の点を O とします。P から出た光が O から水平距離 x の点 Q で水から空気へ出て、上方の目に届くとします。水中の光と法線の角を r、空気中の光と法線の角を i とすると、屈折則は n・sin(r) = sin(i) です。角が小さくとも、この式自体は近似ではありません。

図1のように、実線は光が実際に進む経路、破線は出射光を水中へ逆に延ばした線です。破線と P を通る鉛直線との交点を P′ とし、水面から P′ までの深さを h′ とします。P′ は光が実際に集まる場所ではなく、この方向から見ると光が来たように見える位置です。

図1の三角形から、近似する前に x = h・tan(r)、x = h′・tan(i) が成り立ちます。したがって h′ = h・tan(r)/tan(i) です。水から空気に出る光では i は r より大きく、出射できる範囲では h′ は h より小さくなります。視線を水中へ延長すると、水底より上で鉛直線と交わるわけです。

角が十分小さいとき、同じ単位で測った角について sin と tan の値は互いにほぼ等しくなります。屈折則から sin(i)/sin(r) = n ですから、tan(i)/tan(r) もおよそ n となり、h′ ≒ h/n を得ます。この式は厳密な屈折則に近軸近似を加えた結果です。n を掛けるか割るかを暗記する前に、P′ が P より水面に近いという図を使って向きを点検してください。

一般には、方向を変えると tan(r)/tan(i) の値も変化します。そのため、異なる斜めの光の逆延長が厳密に1点に交わるとは限りません。近軸では差が小さくなり、ほぼ同じ深さ h/n を像の位置として扱えます。境界からの垂直距離が深さであり、光が斜めに走った距離ではないことにも注意します。

透明板の場合は別の距離が必要です。周囲を同じ空気とする平行平板の厚さを t、入射角を i、板内の屈折角を r とします。2面の法線は平行なので、入射面と出射面で屈折則を使うと出射角は i です。出射光は入射光と平行になりますが、同じ直線上とは限りません。板内の光路の長さは t/cos(r) であり、そこから2直線に垂直な成分を取ると、横ずれ d = t・sin(i − r)/cos(r) です。ここでは角を法線から測り、横ずれは直線に垂直な最短距離と定義します。

基本例題：印の深さを求める

水平な水面の下に印 P があり、実際の深さは 24 cm です。水の絶対屈折率を 4/3、空気を 1 とします。水面の真上付近から近軸の光で見たときの像の深さと、水底から像までの鉛直距離を求めてください。答えは cm 単位の整数とします。

図2のように、水面を基準に実物と虚像を区別して置きます。見かけの深さを a とすると、近軸では a = 24/(4/3) です。分母の分数で割るので、

a = 24・3/4 = 18 cm

となります。印から像までの距離は 24 − 18 = 6 cm です。像は印より 6 cm 水面に近い位置にあります。

図2の深さを逆算すると、18・(4/3) = 24 cm で、元の条件に戻ります。また、虚像が水面と印の間にあるので図の向きとも一致します。仮に 24・(4/3) = 32 cm とすれば、像が印より深くなり、水から空気へ出る光が法線から離れるという屈折の向きに反します。

答えを出すまでに使った 4/3 は、水に対する空気の値ではなく、空気を 1 とした水の値です。別の媒質を通して観察する場合、観察側の屈折率も式に入れます。値が与えられたときは、どちらの媒質を分子に置くかを確認します。

標準例題：2種類の媒質の境界

透明な液体 A の中の点が、平らな境界から 30 cm 下にあります。境界の上には透明な液体 B があり、B 側から近軸で点を見ます。絶対屈折率は A が 3/2、B が 5/4 です。境界から像までの深さと、実物と像の間の鉛直距離を cm 単位の整数で求めてください。

A 側の角を r、B 側の角を i と置くと、屈折則は (3/2)・sin(r) = (5/4)・sin(i) です。近軸では tan(i)/tan(r) ≒ (3/2)/(5/4) = 6/5 です。幾何から像の深さは実際の深さに tan(r)/tan(i) を掛けます。よって

像の深さ ≒ 30・(5/6) = 25 cm

実物と像の間は 30 − 25 = 5 cm です。B 側の屈折率を分子に置く形は、両側の屈折率が等しい極限でも確認できます。同じ値なら光は折れず、像の深さは元の 30 cm のままです。この例の答えを 25・(6/5) と戻すと 30 cm となり、条件に一致します。

別の考え方では、同じ横距離 x に注目します。A 側では x = 30・tan(r)、B 側の光の逆延長では x = a・tan(i) です。両式を等しくし、角の比に近軸の屈折則を入れれば a = 25 cm が出ます。公式を覚えていなくても、2つの直角三角形を描けば分子と分母を決められます。

発展例題：平行板を抜ける光

空気中に厚さ 4√3 cm の平行平板があります。板の絶対屈折率は √3、空気は 1 とします。空気からの入射角が 60° のとき、出射角と横ずれを求めてください。横ずれは入射光をそのまま延長した直線と出射光の直線との垂直距離とし、答えは角度を度、距離を cm の整数で表します。sin(60°) = √3/2、sin(30°) = 1/2、cos(30°) = √3/2 を使います。

入射面の屈折則は sin(60°) = √3・sin(r) です。よって sin(r) = 1/2、板内の角は r = 30° です。出射面でも法線は入射面の法線と平行なので、√3・sin(30°) = sin(i′) から出射角 i′ = 60° です。光は元の向きに戻ります。

横ずれの式に代入すると、

d = 4√3・sin(60° − 30°)/cos(30°)

d = 4√3・(1/2)/(√3/2) = 4 cm

となります。近軸近似はここでは使っていません。板内の経路の長さは 4√3/(√3/2) = 8 cm で、その経路と入射方向との角は 30° です。垂直成分を 8・sin(30°) = 4 cm と別に計算しても同じです。出射角を屈折則に戻すと sin(60°) = √3・sin(30°) が成立します。

横ずれを板の面に沿った距離と取り違えると、異なる長さを求めることになります。何を測るかを文章で定義し、直線間に垂線を引くことが先です。垂直入射なら i = r = 0° なので式から d = 0 となり、ずれない図とも一致します。

逆にしてしまう答案を直す

図3のように、実物より深い位置に像を置いた図を考えます。誤答の原因は、光を実物から目へ追わず、深さの比だけを入れ替えたことにあります。水中から空気へ出る光は法線から離れます。その出射光を逆延長すると、元の水中の光線より水面に近い位置で鉛直線と交わります。

図3の左では水中の実物より下に像が置かれ、右では水面と実物の間に像が置かれています。まず実線と逆延長を区別し、次に像の位置を直してください。n が 1 より大きい場合、h/n は h より小さく、図と式が両方で同じ向きを示します。

もう1つの失敗は、近軸の式を大きな角にそのまま使うことです。屈折則と三角形の式を先に書けば、厳密には h′ = h・tan(r)/tan(i) です。近似の指定がなければ角を使ってこの式で計算します。全反射が起きる角では空気へ出る光自体がないため、出射光の逆延長で像を決める手順も使えません。

観察の設計と読み取り

深さの関係を調べる紙上の計画として、平らな透明容器の底に小さな印を置き、同じ液体で深さを複数変えることを考えます。表面に近い方向から印の像を観察し、表面から実物までの距離 h と、表面から像までの距離 h′ を同じ向きの軸で測ります。器具の扱いは学校の指導の下で行います。観察位置を大きく横にずらすと近軸から外れるので、視線の条件も記録します。

横軸を h、縦軸を h′ としたグラフは、屈折率と観察条件を一定とする近軸モデルでは原点を通る直線です。その傾きは 1/n です。例えば傾きが小さいほど、同じ実際の深さに対して像は浅くなります。傾きの逆数から屈折率を推定できますが、切片が大きくずれた場合はすぐに物性の変化と決めず、水面の基準位置や目盛りの読み取りを点検します。

像は手で触れられず位置を合わせる操作に幅が出ます。液面の揺れ、容器の底の厚さ、斜めからの観察、目盛りを斜めに読む誤差も結果に影響します。測定を繰り返してばらつきを記録し、観察角を小さくしたときに結果が変わるか比較します。条件を変えたのに傾きが安定しなければ、単一の近軸式で表せる範囲かを再検討します。グラフが直線に見えることは、その式の厳密な成立を証明するものではありません。

練習問題

いずれも境界は平面で、媒質は一様とします。深さの問題は近軸で見ます。整数で表せるものは整数、その他は既約分数で答え、単位を付けてください。

1. 空気を 1、液体を 5/4 とします。液中の印が水面から 35 cm 下にあるとき、空気中から見た像の深さを求めてください。
2. 空気から見た液中の点の像が液面から 12 cm 下にあります。液体の絶対屈折率を 3/2 として、点の実際の深さを求めてください。
3. 絶対屈折率 8/5 の媒質中にある点を、絶対屈折率 6/5 の媒質から見ます。実際の深さが 20 cm のとき、像の深さと浮き上がった鉛直距離を求めてください。
4. 厚さ 6√2 cm、絶対屈折率 √2 の平行平板に空気から 45° で光を入れます。sin(45°) = √2/2、sin(30°) = 1/2、cos(30°) = √3/2、sin(15°) = (√6 − √2)/4 として、出射角と横ずれを求めてください。横ずれは光の直線間の垂直距離です。
5. 液中の点の深さを横軸、像の深さを縦軸として近軸のグラフを描いたところ、原点と (40 cm, 32 cm) を通りました。空気を 1 として液体の絶対屈折率を求めてください。さらに実際の深さが 15 cm のときの像の深さを求めてください。

練習の解答と照合

1. 像の深さは 35/(5/4) = 28 cm です。28・(5/4) = 35 cm と戻り、像は実物より浅い位置です。
2. 実際の深さは 12・(3/2) = 18 cm です。18/(3/2) = 12 cm と戻るので、与えられた像の深さに合います。
3. 観察側の屈折率を実物側の屈折率で割ると (6/5)/(8/5) = 3/4 です。像の深さは 20・(3/4) = 15 cm、浮き上がりは 20 − 15 = 5 cm です。15・(4/3) = 20 cm と戻ります。
4. sin(r) = sin(45°)/√2 = 1/2 なので r = 30°、出射角は 45° です。横ずれは 6√2・sin(15°)/cos(30°) = 6 − 2√3 cm です。板内経路は 6√2/(√3/2) = 4√6 cm、その垂直成分も 4√6・(√6 − √2)/4 = 6 − 2√3 cm です。出射時に √2・sin(30°) = sin(45°) が成り立ちます。
5. 傾きは 32/40 = 4/5 です。これが 1/n なので n = 5/4 です。深さ 15 cm では像の深さは 15・(4/5) = 12 cm です。40・(4/5) = 32 cm と元の点にも戻ります。

手元に残す要点

• 水中の点の像は、出射光を逆延長して求めます。
• 近軸では、像の深さは実際の深さに観察側と物体側の屈折率の比を掛けます。
• 大きな角では近軸式を使わず、屈折則と三角形の関係を使います。
• 平行平板では出射光は入射光と平行で、横ずれは2直線の垂直距離です。

つまずいた場所を見つける

像を実物より深く描いた場合は、光がどちらからどちらへ進むかを口に出し、境界で法線から離れるか近づくかを図に書きます。図は合うのに式の比が逆になる場合は、同じ横距離 x を2つの三角形で表し、分母を決め直します。平行板で出射方向は合っても距離が合わない場合は、何に垂直な距離を測ったかを確かめます。

個別指導で確認するときは、まず作図だけを示して実線と逆延長の意味を説明し、次に式の各文字が指す距離を図に記します。最後に近軸の条件を外したらどの式まで残るかを説明できれば、公式の適用範囲も見えてきます。像の位置は、光の向きと距離の定義から決まります。