高校物理 開管の気柱振動—変位の腹を両端に置いて共鳴列を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

両端が変位の腹となる条件から波長を数え、隣り合う共鳴の間隔と音速を結びつけ、筋道から捉える開管の気柱振動です。

よくあるのは、高校生が両端の腹を数え、腹が2個あるから基本振動の波長は管の長さと同じだと考える場面です。けれども、2つの地点を数えた個数と、その間に入る長さは別です。開いた両端の間には節が1個あり、腹から隣の腹までは半波長です。管の中の空気が管軸に沿って往復する様子を、端から順にたどってみましょう。

どの長さを数えるか

開管の問題では、管長と波長から振動数を求める型、共鳴した振動数の並びから音速を求める型、観測した共鳴が何番目かを判定する型が現れます。いずれも、まず開口部で空気の変位が腹になるという条件を使います。その後、腹と節を交互に並べ、管長に含まれる半波長の個数を数えます。

空気そのものが管の一端から他端へ運ばれるのではありません。平衡位置の周りを往復する空気の変位を考えます。以下では一様な管内の音速を一定とし、開口端の補正を無視した理想開管を扱います。管長を L、波長を λ、振動数を f、音速を v とします。長さは m、振動数は Hz、音速は m/s でそろえます。

開口端の条件から並びを作る

開いた端では外の空気と接しているので、理想化すると圧力の変化は端でほぼゼロです。ここは圧力変化の節に当たり、空気の変位は腹になります。変位の腹は空気の移動距離が時間を通じて最も大きくなる位置であり、常に端の空気が最大変位にあるという意味ではありません。変位と圧力の節と腹は対応が逆です。圧力の腹を端に置いて計算しないよう、どちらの量を描くか先に書きます。

図1のように、変位の腹と隣の節の間隔は λ/4、隣り合う腹の間隔は λ/2 です。これは進行波と反射波が重なった定常波の位置関係です。腹の間に節が1個あるという順序を数えると、両端の腹は半波長の整数個でつながります。図の曲線は最大変位の一方の向きを示す模式図で、もう半周期後には上下が反転します。縦方向は管軸方向の変位を表し、空気が横向きに振動するという意味ではありません。

図1では左端から右端へ腹、節、腹の順です。端の腹を2個数えても、腹から腹への区間は1個です。したがって基本振動では L = λ/2、つまり λ = 2L です。次の形では腹、節、腹、節、腹と並び、半波長が2個なので L = λ です。この違いは端点ではなく区間を数えることで見えます。

一般に、半波長が n 個入る形を n 次と定義します。n は 1 以上の整数で、

L = n・λₙ/2

λₙ = 2L/n

です。n = 0 とすると波長を決められず、ここで扱う振動の形にはなりません。音波の関係 v = f・λ に代入すると、

fₙ = n・v/(2L)

を得ます。基本振動は n = 1 で f₁ = v/(2L)、2次はその2倍、3次は3倍です。理想開管では正の整数倍が順に現れます。端の形を確認せずにこの列を他の管へ移すことはできません。片端を閉じた管では閉端が変位の節となり、端の組合せが異なります。

この式の意味を逆向きにも確かめましょう。λₙ = 2L/n なら管内に半波長が n 個入ります。各区間の両端は腹なので、最後の端も腹です。また、v/fₙ = 2L/n となり、波の速さと振動数から得た波長も一致します。式を暗記するときも、この2つの端の条件に戻して確認できます。

基本例題：長さから3つの音を求める

長さ 0.80 m の理想開管に音を送ります。管内の音速を 320 m/s とします。基本振動、2次、3次の波長を m、振動数を Hz で求め、それぞれ小数で表してください。数値は計算用の条件です。

図2のように、まず基本振動で管長が半波長に相当することを図に書きます。両端が腹で、中央が節です。波長の単位を確かめてから、音速と波長で振動数を求めます。

図2の1区間は 0.80 m なので、基本振動の波長は

λ₁ = 2・0.80 = 1.60 m

f₁ = 320/(1.60) = 200 Hz

です。2次では半波長が2区間入り、

λ₂ = 2・0.80/2 = 0.80 m

f₂ = 320/(0.80) = 400 Hz

です。3次では半波長が3区間入ります。

λ₃ = 2・0.80/3 = (1.60)/(3) m

f₃ = 320/((1.60)/(3)) = 600 Hz

3次の波長は、四捨五入して小数第3位までなら 0.533 m です。振動数の計算では丸めずに分数を使いました。3次の波長を戻すと、3・λ₃/2 = 0.80 m です。両端の条件と管長に合います。基本振動の波長を 0.80 m とした場合は、端の間に半波長が2個入るため、それは基本振動ではなく2次です。

別の求め方では、まず f₁ = 320/(2・0.80) = 200 Hz とし、2次と3次をそれぞれ 2・200、3・200 とします。波長を先に求める方法は図との対応を確認しやすく、整数倍を使う方法は共鳴列を素早く確認できます。どちらでも同じ音速と同じ管長を使っていることが前提です。

標準例題：隣り合う共鳴の差から音速へ

長さ 0.70 m の理想開管で、振動数を上げながら共鳴を調べます。隣り合う2つの共鳴が 720 Hz と 960 Hz でした。音速を m/s で、共鳴の次数を整数で求めてください。共鳴は理想開管の列に従い、途中に見落とした共鳴はないものとします。

連続する次数を n と n + 1 とおくと、

fₙ₊₁ − fₙ = (n + 1)・v/(2L) − n・v/(2L) = v/(2L)

です。次数 n は差を取ると消えます。観測した差は 960 − 720 = 240 Hz なので、

v = 2・0.70・240 = 336 m/s

です。基本振動の振動数は 240 Hz ですから、720/(240) = 3、960/(240) = 4 です。したがって3次と4次です。答えを条件に戻すと、336/(2・0.70) = 240 Hz で、3倍と4倍はそれぞれ 720 Hz、960 Hz です。正の整数次数と隣接の条件をともに満たします。

隣接していない可能性を残したまま差を基本振動とすることはできません。例えば1つ共鳴を見落とし、次数が2つ離れていたなら、その差は基本振動の2倍です。観測記録に欠落がないかという条件は、計算を始める前に読む必要があります。共鳴の強さが小さい場合もあり、音が小さいという理由だけで共鳴が存在しないと結論することは避けます。

発展例題：飛び飛びの共鳴と整数条件

長さ 1.20 m の理想開管で、ある2つの共鳴が 420 Hz と 700 Hz でした。この2つの次数は3つ離れているとします。音速と、それぞれの次数を求めてください。音速は m/s で小数第1位まで、次数は整数で表し、途中では丸めません。

振動数の差は 280 Hz です。次数が3つ離れているので、差は基本振動の3倍です。

f₁ = 280/3 Hz

v = 2・1.20・(280/3) = 224.0 m/s

ところが次数は 420/(280/3) = 4.5、700/(280/3) = 7.5 となります。正の整数でなければならない条件に合いません。したがって、この観測値と「次数が3つ離れる」という条件を同時に満たす理想開管の振動は存在しません。224.0 m/s は差だけから得た候補であって、問題全体の答えとして採用できません。

別解として、低い方を n 次とおけば、420 = n・f₁、700 = (n + 3)・f₁ です。比を取ると 700/420 = (n + 3)/n となり、n = 4.5 です。整数ではないので同じ結論です。測定値が厳密な設定である以上、途中で次数を5に丸めてはいけません。実測値として誤差が示された場合は、各数値の範囲を使って整数の候補を調べます。

波形の読み違いを直す

図3のように、基本振動の両端に腹が2個あることから「波長は管長」とする誤答を考えます。腹の個数には両端を含みますが、波長に対応するのは距離です。両端の間には腹から腹への区間が1個あり、その長さは λ/2 です。腹が2個だから1波長という対応は成り立ちません。

図3の正しい読みでは L = λ/2 です。もし L = λ と置いたなら、同じ長さに腹、節、腹、節、腹の順序を描くことになり、中央にも腹ができます。その形は2次なので、中央が節である基本振動の図とは一致しません。式から描き直して矛盾を見つけることも、図から式へ戻すこともできます。

もう1つの誤りは、隣り合う共鳴の差を2倍して基本振動とすることです。開管では n 次から次へ進むたび、管の中の半波長が1個増えます。振動数の差も基本振動の1倍です。片端が閉じた管の並びと混同した場合は、両端に何を置いたかに戻ります。公式の名前より、端の条件と区間の数を先に確認してください。

観測を計画し、グラフを読む

学校の指導の下で、一様な管に音を送り、振動数を少しずつ変えながら共鳴の位置を調べる計画を考えます。管長は端から端まで測り、同じ条件で複数の共鳴を記録します。横軸に振動数、縦軸に音の応答の大きさを取ると、共鳴の近くに山が現れます。山の高さは励振や測定位置にも左右されるので、山の高さを次数と取り違えず、横軸の山の位置を読みます。

山が幅を持つときは、最大の場所を読み取る幅が不確かさになります。振動数を粗く変えると頂点を飛び越えることもあります。複数回の測定で山の位置が変わるか確かめ、読取りの範囲を記録します。大きな音で調べる必要はなく、聞こえる音量や器具の扱いは学校の指導に従います。

共鳴の次数を横軸、振動数を縦軸に取ると、理想モデルでは原点を通る直線となり、傾きは v/(2L) です。隣り合わない2点を使う場合は、振動数の差を次数の差で割って傾きを求めます。点が直線から外れたときは、読み取り誤差、共鳴の見落とし、管長の測定、温度による音速の違い、開口端を理想化した影響を候補として調べます。ずれを直ちに1つの原因に決めることはできません。

たとえば共鳴の間隔を Δf、管長を L と測ったとき、音速の推定は 2L・Δf です。L が大きめ、Δf が小さめに読まれれば影響は互いに打ち消し合う場合もあります。測った値の桁を増やすだけでは誤差は消えません。管長と振動数のそれぞれについて、どの程度の幅で読み取れるかを先に考えます。理想式で求めた値と実測値のずれを判断するときも、モデルの仮定と測定の幅の両方を見ます。

練習：条件から図と数を作る

次の5問では開口端の補正を無視し、音速を一定とします。計算途中で丸めず、指定された形で答えてください。

1. 長さ 0.60 m の理想開管で、基本振動の波長を m で小数第2位まで求め、中央が変位の節か腹か答えてください。
2. 長さ 1.00 m、音速 340 m/s の理想開管の4次の振動数を整数の Hz で求めてください。
3. 長さ 0.50 m の理想開管で隣り合う共鳴が 900 Hz と 1200 Hz でした。音速を整数の m/s で、低い方の次数を整数で求めてください。
4. 同じ理想開管の2次が 280 Hz です。5次の振動数を整数の Hz で求めてください。
5. 長さ 0.90 m、音速 324 m/s の理想開管について、500 Hz と 540 Hz のうち共鳴する振動数を選び、次数を整数で答えてください。

練習の答えと途中式

1. λ₁ = 2・0.60 = 1.20 m です。中央は変位の節です。1.20/2 = 0.60 m となり、両端の腹を1区間で結びます。
2. f₄ = 4・340/(2・1.00) = 680 Hz です。波長は 340/680 = 0.50 m で、半波長4個は 4・0.50/2 = 1.00 m です。
3. 差は 1200 − 900 = 300 Hz です。v = 2・0.50・300 = 300 m/s、低い方は 900/300 = 3 次です。3次と4次は 900 Hz と 1200 Hz に戻ります。
4. 基本振動は 280/2 = 140 Hz です。5次は 5・140 = 700 Hz です。140 Hz の2倍が与えられた 280 Hz と一致します。
5. 基本振動は 324/(2・0.90) = 180 Hz です。500/180 は整数ではなく、540/180 = 3 です。共鳴するのは 540 Hz の3次です。波長 324/540 = 0.60 m の半分を3個並べると 0.90 m です。

手元に残す4行

開口端は変位の腹、圧力変化の節です。 隣り合う変位の腹の間隔は λ/2 です。 理想開管の n 次は L = n・λₙ/2、fₙ = n・v/(2L) です。 隣り合う共鳴の差は v/(2L) です。

自分の図を使って確かめる

式が出てこないときは、まず横線の両端に腹を書き、間に節と腹を交互に置いてください。基本振動と2次を並べ、端点の数ではなく半波長の区間を指で数えます。個別指導で確認する場合も、L = n・λ/2 の n が図のどの区間を数えているか、自分の言葉で説明すると誤りの場所が見えます。

共鳴間隔の問題で止まったときは、振動数の列を f₁、2f₁、3f₁ と書き、与えられた2点の間に何段あるかを示します。最後に求めた音速と次数を元の振動数に戻し、両端が腹となる図と照合します。開管の音は、端の条件と区間の数を結び付けると読み取れます。