高校物理 定常波の端の組合せ—節と腹の間隔を並べて許される波長を数える｜武蔵野個別指導塾

固定端と自由端に節と腹を配置し、振動数の並びと腹の個数を比べる定常波です。

よくあるのは、両端を固定した弦の図で腹を3個数えた高校生が、片端が自由な場合も腹が3個なら3倍振動だと考える場面です。腹の個数は図の特徴ですが、端の条件が変わると、その個数と基本振動に対する倍率との対応も変わります。どちらの端が動けないか、どちらが最も大きく動けるかを先に確かめ、端から端までを波長の何分のいくつとして数えましょう。

端を見てから番号を付ける

求められる型には、長さと波の速さから許される波長と振動数を求める問題、節や腹の位置から振動の種類を決める問題、観測された振動数の並びから端の条件を推測する問題があります。いずれも出発点は端の状態です。図の山の数を先に数えて公式に入れると、自由端の腹を数え落とすことがあります。

ここでは、長さ L の一様な媒質中を進む波の速さを v とし、両端で理想的に反射する場合を考えます。反対向きに進む同じ振動数の波が重なり、位置ごとの振幅が時間によらず定まる状態を扱います。損失や端の補正は無視します。固定端は変位が常にゼロの節、理想自由端は変位の振幅が最大となる腹です。気柱の話に置き換える際は、ここでの節と腹を空気の変位について読む必要があります。圧力の節と腹は逆の位置です。

到達点は、端の記号を置き、隣り合う節と腹の間を数え、波長と振動数を条件へ戻して照合することです。番号は振動数の低い順に 1、2、3 と付けます。ただし両端自由では、全体が同じ向きに動く空間的に一様な零振動数の状態を除き、正の振動数を持つ定常波を数えます。

四分の一波長を端から並べる

節はいつでも変位がゼロの位置です。腹はその定常波で振幅が最も大きい位置です。節の間がいつも静止した壁で区切られているわけではありません。また腹の変位も時刻によって変化し、全体が平衡位置を通る瞬間には腹も変位ゼロです。振幅がゼロである節と、ある瞬間の変位がゼロである点を区別します。

隣り合う節と腹の距離は λ/4、隣り合う節どうし、または腹どうしの距離は λ/2 です。たとえば節から出発して波形の一つの山を越えると、次の節に達します。この区間が半波長であり、その中央の腹までが四分の一波長です。これは同じ周波数の波の重ね合わせでできる定常波の空間配置を使った関係です。瞬間波形が平らになる時刻でも、節と腹の位置の定義は変わりません。

図1のように左端から右端へ節と腹を交互に置きます。線は節と腹の位置を示す模式図で、ある瞬間の波形ではありません。両端の記号が等しければ四分の一波長の区間は偶数個、異なれば奇数個です。両端自由でも、両端が同じ腹だから長さがゼロという意味ではなく、正の振動数を持つ波では少なくとも腹と腹の間に節が1個あります。

図1の固定・固定では、n を 1 以上の整数として L = nλ/2 です。したがって λ = 2L/n、f = v/λ = nv/(2L) となります。両端自由も正の振動数に限れば同じ式です。どちらも最小の振動数から n 倍の列になりますが、端の節と腹が異なるため位置の図は同じではありません。

固定・自由では、固定端の節から始め、自由端の腹で終わります。四分の一波長の区間数は 1、3、5、… なので L = (2n − 1)λ/4 です。よって λ = 4L/(2n − 1)、f = (2n − 1)v/(4L) となります。n は低い順の番号で、基本振動に対する倍率は 2n − 1 です。n = 3 なら3番目のモードですが、基本振動の5倍です。

式を記憶する前に、各式で n = 1 を試します。固定・固定は節、腹、節の順で L = λ/2、固定・自由は節、腹の順で L = λ/4、自由・自由は腹、節、腹の順で L = λ/2 です。端の条件と合わない式は、その時点で戻って直せます。

基本例題：両端固定の弦

長さ 1.2 m の一様な弦の両端を固定します。弦上を進む波の速さは 24 m/s とします。正の振動数の低い順に n = 1、2、3 と番号を付け、n = 3 の波長、振動数、内部の節の位置を求めてください。位置 x は左端から右向きを正とし、左端を x = 0 m とします。数値は有効数字2桁で示します。

固定端はどちらも節です。図2のように左端の節から右端の節まで半波長を3個並べます。腹は3個で、端を含む節は4個です。腹の数と番号が一致するのは、この両端固定の条件と番号の付け方による結果です。

図2の区間を式にすると、1.2 = 3λ/2 です。したがって λ = 2・1.2/3 = 0.80 m です。振動数は f = v/λ = 24/0.80 = 30 Hz です。節の間隔は λ/2 = 0.40 m なので、内部の節は x = 0.40 m、0.80 m にあります。両端 x = 0 m、1.2 m も節ですが、内部の節には含めません。

別の確かめ方として、波長 0.80 m の半分は 0.40 m であり、3区間の長さは 1.2 m です。また 30 Hz の波が1周期に進む距離は 24/30 = 0.80 m です。長さと速さの両条件に戻るので、式の変形だけで終わるよりも間違いを見つけやすくなります。

標準例題：片端自由の番号と倍率

長さ 0.90 m の一様な媒質の左端を固定し、右端を理想自由端とします。波の速さは 36 m/s です。正の振動数の低い順に番号を付け、2番目の波長と振動数、内部の節の位置を求めてください。位置は左端から右向きを正とし、数値は有効数字2桁で示します。

左端は節、右端は腹です。基本振動では節から腹までの1区間、2番目では節、腹、節、腹の3区間が並びます。よって 0.90 = 3λ/4、λ = 1.2 m です。f = 36/1.2 = 30 Hz です。節の間隔は 0.60 m ですから、左端以外の内部の節は x = 0.60 m です。右端 x = 0.90 m は節でなく腹です。

別解では基本振動の波長は 4・0.90 = 3.6 m、基本振動数は 36/3.6 = 10 Hz です。2番目は3倍なので 30 Hz になります。逆に 30 Hz と速さ 36 m/s から波長を求めると 1.2 m で、3λ/4 は 0.90 m に戻ります。2番目という番号と3倍という倍率の違いを、数の上でも確認できます。

発展例題：両端自由と観測範囲

長さ 1.5 m の一様な媒質の両端を理想自由端とします。波の速さは 30 m/s で、零振動数の状態は数えません。20 Hz 以上 45 Hz 以下にある正の固有振動数をすべて求め、それぞれの内部の節の個数を整数で答えてください。端の効果と損失は無視します。

両端自由の正の振動数は f = n・30/(2・1.5) = 10n Hz です。20 ≦ 10n ≦ 45 から 2 ≦ n ≦ 4.5 です。n は正の整数なので 2、3、4 が該当し、答えは 20 Hz、30 Hz、40 Hz です。上限に近い 50 Hz は範囲の外です。

腹から腹まで半波長の区間が n 個あり、その各区間の中央に節が1個あります。したがって内部の節は順に2個、3個、4個です。20 Hz では λ = 30/20 = 1.5 m、半波長2個で全長 1.5 m となります。同様に30 Hz では λ = 1.0 m の半分が3個、40 Hz では λ = 0.75 m の半分が4個です。いずれも端は腹で、指定の範囲にも入ります。

両端固定と両端自由は、理想条件で長さと速さが同じなら正の振動数の列が一致します。したがって振動数の列だけで両者を区別することはできません。端が動くか、端付近に節があるかという情報を加えて判定します。片端自由の列が奇数倍になることも、他の条件をそろえたときの比較です。

腹の個数から倍率を急がない

誤答の例は、片端固定・片端自由の3番目のモードに腹が3個あるのを見て、基本振動の3倍とするものです。原因は、両端固定で腹の個数と倍率が一致した経験を、端の違う図にそのまま持ち込んだことです。固定・自由では右端の腹も数に入り、3番目の長さは四分の一波長5区間です。基本振動は1区間ですから倍率は5です。

図3のように、同じ腹3個でも固定・固定では半波長3個、固定・自由では四分の一波長5個です。横の長さをそろえた模式図で、上下は同じ波長を描いているわけではありません。まず端の記号を確かめ、次に区間数を数えます。図3の右端が節か腹かを指で追うと、3倍と5倍を取り違える原因が見えます。

端を含む節の数と内部の節の数を混同する誤りもあります。両端固定の n 番目なら節は両端を含めて n + 1 個、内部は n − 1 個です。片端固定・片端自由の n 番目なら腹は自由端を含め n 個、内部の節は n − 1 個です。問われた「内部」が端を含むかを確認し、図で数え直します。

観測とグラフで条件を確かめる

学校の指導の下で、両端の固定された弦を一定の張りで振動させる観測を考えます。長さを測り、振動数を少しずつ変え、定常的な形が見える振動数と節の位置を記録します。基本振動と次の振動について、内部の節の数がそれぞれ0個と1個になるかを確かめます。大きく振動する位置だけを見ると、端の節や全体が平衡位置を通る瞬間を見落とします。複数の時刻を観察し、ほぼ動かない位置と振幅の大きい位置を分けます。

横軸を位置 x、縦軸を変位とするグラフは、1つの時刻の形です。グラフの横軸には m、縦軸には変位の単位を付け、時刻も記します。異なる時刻のグラフを重ねたとき、全時刻でゼロとなる位置が節です。ある時刻に曲線が軸と交わるだけでは節と決められません。振幅の最大値を位置ごとに示した線は包絡線で、ある瞬間の波形とは別のものです。

節の位置の読み取りには目盛りの幅、撮影の間隔、端の固定の不完全さが影響します。観測時間が短ければ一時的に動きが小さい場所を節と誤ることがあります。振動数が高いと節の間隔が狭くなり、同じ位置の読み取り誤差でも波長に対する割合は大きくなります。複数区間の長さをまとめて測って区間数で割る方法と、個々の区間を測る方法を比べれば、読み取りのばらつきを調べられます。

理想式と観測が合わない場合は、ただちに番号を変更せず、長さを端から端まで測ったか、両端の拘束が保たれたか、記録した振動数で形が十分に落ち着いていたかを順に確認します。隣接する共鳴が重なって区別しにくい場合や、装置の損失が大きい場合は、理想的な節腹のモデルで精密に扱えないことがあります。観測した値と計算値の差をそのまま残し、仮定を変える根拠を別に考えます。

練習：先に端と番号を書く

次の5問では理想境界を仮定し、波の速さはそれぞれの問題で一定とします。正の振動数の低い順に番号を付けます。数値は指定がなければ有効数字2桁で答え、位置は左端から右向きを正とします。

1. 長さ 2.0 m、波の速さ 40 m/s の両端固定の弦について、2番目の波長と振動数を求めてください。
2. 長さ 0.80 m、波の速さ 32 m/s の左端固定・右端自由の媒質について、3番目の波長と振動数を求めてください。
3. 長さ 2.4 m の両端自由の媒質で、2番目の内部の節の位置をすべて求めてください。
4. 両端固定で基本振動数が 12 Hz のとき、36 Hz のモード番号と内部の節の個数を整数で答えてください。
5. 片端固定・片端自由で基本振動数が 8.0 Hz のとき、30 Hz 以下の正の固有振動数をすべて求めてください。

練習の答えと戻し方

1. L = 2λ/2 なので λ = 2.0 m、f = 40/2.0 = 20 Hz です。半波長 1.0 m を2個並べると長さ 2.0 m に戻り、20・2.0 = 40 m/s です。両端は節になります。
2. L = 5λ/4 なので λ = 4・0.80/5 = 0.64 m、f = 32/0.64 = 50 Hz です。5区間で 5・0.64/4 = 0.80 m となり、節から始めて腹で終わります。50・0.64 = 32 m/s も元の速さです。
3. L = 2λ/2 より λ = 2.4 m、腹の間隔は 1.2 m です。腹は x = 0 m、1.2 m、2.4 m にあり、その各中点の節は x = 0.60 m、1.8 m です。2つの節の左右に腹を置くと端も腹になります。
4. 36/12 = 3 なので3番目です。内部の節は 3 − 1 = 2 個です。半波長3区間を並べると両端を含む節は4個となり、端の2個を除くと2個です。3・12 = 36 Hz も条件に戻ります。
5. 奇数倍の列は 8.0 Hz、24 Hz、40 Hz、… です。30 Hz 以下は 8.0 Hz と 24 Hz です。次の 40 Hz は上限を超えます。各々の倍率は1と3で、端をつなぐ四分の一波長の区間数に対応します。

端から確かめる要点

固定端は変位の節、理想自由端は変位の腹です。 隣り合う節と腹の間隔は λ/4 です。 同種の端は半波長の整数個、異種の端は四分の一波長の奇数個です。 片端固定・片端自由の n 番目は基本振動の 2n − 1 倍です。

つまずきの場所を見つける

答えが合わないときは、まず端に節と腹を書き込めるかを確認します。次に、腹の個数から倍率を直接決めていないか、隣接する節と腹の間を λ/4 と数えているかを調べます。式を暗記していても、右端が腹になる理由を図で説明できなければ、番号と倍率が入れ替わりやすくなります。

個別に確認するときは、同じ長さの線に両端固定と片端自由の3番目をそれぞれ描き、区間数と端の記号を声に出して比べる方法があります。波長を出した後に v = fλ へ戻し、端の位置と指定された単位も照合します。端の条件を絵に置くと、許される波長の列が見えてきます。