高校物理 動く音源のドップラー効果—放出位置の間隔から前後の波長を別々に求める｜武蔵野個別指導塾

放出の間に音源が進む距離を波面の間隔から引く理由を、到着時刻と図でたどり、動く音源の波長を読み解きます。

よくあるのは、高校生が音源の前進した距離を波の前進距離に足して、前方の波長を求める場面です。先に出た波面は確かに先へ進みますが、次の波面を出す場所も先へ移っています。同じ時刻に2つの波面がどこにあるかを描くと、前方ではその移動分だけ間隔が狭くなります。後方では反対に広がります。放出と到着を区別し、距離と時間の両方から確かめましょう。

何を比べるか

音源が静かな空気中を一直線に進み、一定の高さの音を出す場面を考えます。空気は地面に対して静止し、音の速さも一定とします。観測者は空気に対して静止し、音源の速さは音速より小さいものとします。音源の前方にいる観測者には接近中、後方にいる観測者には遠ざかる途中の音が届きます。観測者の移動や反射は扱いません。

問題の型は、音源の速さと振動数から前後の波長や観測振動数を求める型、観測振動数から音源の速さを逆算する型、前後の測定値を比べて未知量を分ける型です。いずれも、まず音を出した時刻の間隔を決め、同時刻の波面間隔を描きます。音源の振動数と観測振動数がどちらの時計で数えた回数かを言えることが到達点です。

放出位置を残して波面を追う

音速を V、音源の速さを u、音源の振動数を f とします。V と u はともに静止した媒質に対する速さで、0 ≤ u < V です。周期 T は 1/f です。音源が同じ位相の波面を1つ出してから次を出すまでに、先の波面は距離 V・T だけ進み、音源は距離 u・T だけ前進します。

図1のように、次の波面を出した瞬間を基準にして、先の波面の位置と新しい放出位置を比べます。前方では両者が同じ向きに進むので、その間隔は V・T − u・T です。後方では先の波面が音源と逆向きに進むため、間隔は V・T + u・T です。図1の左右の矢印は放出点からの波面の移動を表し、中心の矢印は音源の移動を表します。

したがって前方と後方の波長を λ前、λ後とすると、

λ前 = (V − u)/f

λ後 = (V + u)/f

です。波長は同じ時刻に並ぶ同位相の波面の間隔です。先の波面の進行距離だけを答えると、新しい波面の出発点が移ったことを落とします。放出からさらに同じ時間が過ぎても、同じ側の波面はともに音速 V で進むので、その間隔は変わりません。

静止観測者には、波面間隔を音が V で進む時間ごとに1つずつ波面が届きます。したがって観測振動数を F前、F後とすると、

F前 = V/λ前 = V・f/(V − u)

F後 = V/λ後 = V・f/(V + u)

です。分母の V − u は音そのものの速さではありません。連続する放出点のずれを波面間隔に換算したときの差です。音源が静止する u = 0 では両方とも f に戻ります。接近側は f より大きく、後方は f より小さいことも式の符号の点検になります。

この関係は、波面の並びを正面から見ると波長の問題、固定された場所で数えると到着間隔の問題です。途中で音源が向きを変える場合や速さを変える場合には、連続した放出ごとに位置を追う必要があり、一定速度で導いた上の式をそのまま全区間に使えません。音源と観測者が同じ位置を通過する瞬間も、前後のどちらかを固定して数える説明から外して考えます。

基本例題：前方の波面を数える

静止した空気中を音源が右向きに一定の速さ 20 m/s で動き、400 Hz の音を出します。空気中の音速を 340 m/s とします。音源の十分前方に静止する観測者が聞く音の波長と振動数を求め、波長は小数第2位まで、振動数は整数で表してください。右を正方向とし、音源は観測者に接近中です。図2は連続する放出の位置を模式的に示します。

周期は T = 1/400 s です。この間に先の波面は右へ 340/400 = 0.85 m、音源は右へ 20/400 = 0.05 m 進みます。次の波面は先の放出点ではなく、そこから 0.05 m 右で生まれます。図2の間隔は 0.85 − 0.05 = 0.80 m です。

λ前 = (340 − 20)/400 = 0.80 m

F前 = 340/0.80 = 425 Hz

観測者には1秒あたり425個の波面が通過します。答えを場面に戻すと、波面間隔 0.80 m を音が進む時間は 0.80/340 = 1/425 s です。放出間隔 1/400 s より短く、接近時に高く聞こえる結果と一致します。図2の 0.85 m は先の波面が進んだ距離であり、求める波長ではありません。

別解として、最初の放出位置から観測者までの距離を L m とします。最初の波面の到着は放出から L/340 s 後です。次は 1/400 s 後に 0.05 m 近い位置から出るため、到着時刻は 1/400 + (L − 0.05)/340 s です。差を取ると 1/425 s となります。L が消えるのは、両波面が残りの距離を同じ速さで進むからです。この別解では波長を先に使わず、放出時刻と到着時刻の差を直接比べています。

標準例題：後方から速さを逆算する

静止した空気中を一定速度で右へ進む音源が 600 Hz の音を出します。音速は 330 m/s、音源の後方で静止する観測者が聞く振動数は 550 Hz です。音源は音速未満とします。速さを整数の m/s で求めてください。

後方では波長が広がるので、550 = 330・600/(330 + u) です。両辺に正の 330 + u を掛けると、330 + u = 360 となり、u = 30 m/s です。音源は1周期 1/600 s に 0.05 m 進みます。後方の波面間隔は 330/600 + 0.05 = 0.60 m です。音速をこの間隔で割れば 330/0.60 = 550 Hz となり、与えられた観測値に戻ります。30 m/s は音速未満という条件にも合います。

もし前方の式を使えば負の速さが出ます。これは後方という位置関係と、右向きの速さを正として与えた条件が合わない印です。負の値を絶対値に直して採用するのではなく、どちらの波面を追ったかを描き直します。観測振動数が音源の振動数より低いことも後方の選択を支えます。

発展例題：前後の値から分けて求める

静止した媒質中で、右向きに一定速度で進む音源の前方と後方に静止観測者を置きます。音速は 360 m/s です。前方の観測振動数が 600 Hz、後方が 400 Hz でした。音源の速さを整数の m/s、音源の振動数を整数の Hz で求めてください。音源は音速未満で、各値はそれぞれ接近中と遠ざかる途中に測ったものとします。

前後の式に同じ V・f が現れるので、600・(360 − u) = 400・(360 + u) です。これを整理すると 200・360 = 1000・u となり、u = 72 m/s です。前方の式に戻すと、f = 600・(360 − 72)/360 = 480 Hz です。

別の見方では、波長はそれぞれ 360/600 = 0.6 m、360/400 = 0.9 m です。前後の波長の平均は V/f なので、(0.6 + 0.9)/2 = 0.75 m、よって f = 360/0.75 = 480 Hz です。差 0.9 − 0.6 = 0.3 m は2周期分ではなく、1周期に音源が進む距離の2倍です。したがって u = 0.3・480/2 = 72 m/s となります。

検算では周期を 1/480 s とし、音源の移動距離を 72/480 = 0.15 m、波面の移動距離を 360/480 = 0.75 m と戻します。前後の間隔は 0.75 − 0.15 = 0.60 m と 0.75 + 0.15 = 0.90 m です。それぞれ音速で割った到着間隔の逆数は 600 Hz、400 Hz となり、両観測値を再現します。

足す向きを図で修正する

基本例題で「先の波面が 0.85 m、音源が 0.05 m 進むから、前方の波長は 0.90 m」としたとします。この計算は後方の間隔に対応し、前方の2つの位置の差になっていません。図3のように、先の放出点を基準にすると、新しい放出点は先の波面に近づきます。前方の差は 0.85 − 0.05 = 0.80 m です。

誤りの原因は、2つの移動距離を見て、同じ時刻の位置の差を取る前に足したことです。図3の両端を読み、求める間隔の両端が新旧どちらの波面かを指で示してから式にします。後方の場合は先の波面が左へ、新しい放出点が右へ移るため、同じ位置の差を取っても足し算になります。前後を暗記で選ぶより、両端の座標を並べると符号を検査できます。

測定とグラフで確かめる

紙上の実験として、一定振動数の音源を直線上で動かし、進路上の離れた2地点に静止センサーを置く設計を考えます。音源の速さと音速は媒質に対して別に測り、各センサーでは通過前後を分けて連続する波面の到着間隔を調べます。安全に配慮し、実際に装置を動かす場合は学校の指導の下で行います。音源の速さが一定でない区間や通過直近の記録を混ぜると、一定速度の式と比較しにくくなります。

到着順を横軸、到着時刻を縦軸にとると、一定の条件では点は直線上に並び、傾きは1周期の到着間隔です。前方では傾きが小さく、後方では大きくなります。振動数は傾きそのものではなく、その逆数です。複数の到着間隔をまとめて測れば、1区間の時刻読み取りのずれが結果に及ぼす割合を小さくできます。

センサーの時刻の読み取り幅、音源の速度の揺れ、周囲の反射音は測定値のずれの候補です。温度などの条件で音速が変わることもあるため、その場の音速を条件に合う方法で評価します。音源の振動数自体が一定かを静止時に確かめ、前後の結果が両方とも予測から同じ向きにずれるのか、片側だけずれるのかを比べると原因を切り分けやすくなります。観測値が合わない場合に音速を勝手に変えて合わせるのではなく、測定条件と不確かさを先に点検します。

練習問題

以下は静止媒質中の直線運動で、観測者は媒質に対して静止し、音源の速さは音速未満です。振動数は整数 Hz、波長は指定した桁、速さは整数 m/s で表してください。途中では丸めません。

1. 右に 30 m/s で動く音源が 300 Hz の音を出します。音速は 330 m/s です。前方の波長を小数第2位まで、観測振動数を整数で求めてください。
2. 左に 40 m/s で動く音源が 500 Hz の音を出します。音速は 340 m/s です。後方の波長を小数第2位まで、観測振動数を整数で求めてください。
3. 音速 320 m/s、音源の振動数 560 Hz です。前方の静止観測者が 640 Hz を聞きます。音源の速さを求めてください。
4. 音速 300 m/s の媒質で、音源の速さは 60 m/s です。後方の観測振動数が 250 Hz のとき、音源の振動数を求めてください。
5. 音速 300 m/s の媒質で、前方と後方の観測振動数はそれぞれ 500 Hz、250 Hz です。音源の速さと振動数を求めてください。

練習の答えと途中式

1. 1周期に波面は 330/300 = 1.10 m、音源は 30/300 = 0.10 m 進みます。前方の波長は 1.10 − 0.10 = 1.00 m、観測振動数は 330/1.00 = 330 Hz です。1.00 m の通過時間は 1/330 s で、放出周期より短くなります。
2. 後方の波長は (340 + 40)/500 = 0.76 m、振動数は 340/0.76 = 8500/19 Hz です。指定に従い整数に丸めると 447 Hz です。丸める前の到着間隔は 0.76/340 = 19/8500 s で、音源の周期 1/500 s より長くなります。
3. 640 = 320・560/(320 − u) から、320 − u = 280、u = 40 m/s です。1周期に波面は 4/7 m、音源は 1/14 m 進み、前方の間隔は 1/2 m です。320/(1/2) = 640 Hz と条件に戻ります。
4. 250 = 300・f/(300 + 60) より f = 300 Hz です。周期は 1/300 s、後方間隔は 1 + 0.2 = 1.2 m です。300/1.2 = 250 Hz を得ます。
5. 500・(300 − u) = 250・(300 + u) より u = 100 m/s です。f = 500・(300 − 100)/300 = 1000/3 Hz となります。整数指定では 333 Hz です。丸める前の周期 3/1000 s に音源は 0.3 m、波面は 0.9 m 進み、前方 0.6 m、後方 1.2 m から 500 Hz と 250 Hz が戻ります。丸めた値を途中に使うと元の値から少しずれるため、最後まで分数を保ちます。

手元に残す要点

前方の波長は (V − u)/f、後方は (V + u)/f です。 静止観測者の振動数は音速 V をその側の波長で割ります。 音源の周期は放出間隔、観測周期は到着間隔です。 音源が音速未満か、観測者が前後のどちらかを先に確かめます。

つまずいた位置を見つける

符号で迷うときは、2回の放出点と、2回目の放出時の先の波面を一直線上に置きます。図の両端の座標を引き算できれば、前後で符号が変わる理由を説明できます。振動数が逆になるときは、波長を音速で割った時間と、その逆数の単位を声に出して区別します。逆算で負の速さが出たときは、観測者の位置と進行方向を問題文に戻して点検します。

個別指導で確認するなら、まず本人に放出時刻と到着時刻を別の行に書いてもらい、次に波面間隔を図に記入してもらいます。式が合っていても、どの2点の距離かを説明できなければ、数値を変えた図で再確認します。接近と遠ざかりの聞こえ方は、移動した放出位置から生まれる波面間隔の違いで決まります。