高校物理 波形の二つの横軸—位置と時刻を固定して波長と周期を読み分ける｜武蔵野個別指導塾

位置の目盛りを秒と取り違えた例から、同じ波の波長と周期を読み分ける二つの横軸。

よくあるのは、高校生が波の位置の目盛りを秒として読み、山から次の山までの間隔を周期とする場面です。見た目が同じ山の並びでも、横軸が位置なら一瞬に並んだ場所を比べ、時刻なら一か所での変化を追っています。山と山の間に引いた線の長さは、前者では距離、後者では時間です。どちらを固定した図なのかを書き添えるだけで、求める量の単位も計算の道筋も変わります。

何を比べたグラフか

波形を読む問題では、まず横軸と縦軸の量と単位を確認します。縦軸を媒質の平衡位置からの変位 y とすると、横軸が位置 x の図は、ある時刻の各位置の変位を並べたものです。一方、横軸が時刻 t の図は、ある位置での変位の時間変化です。二つの図は、同じ波でも一般に同じ形の向きにはなりません。

典型的な問いは、位置グラフから波長を読むこと、時間グラフから周期を読むこと、両方から波の速さを求めることです。山や谷の数だけを数えるのではなく、何周期分の隔たりなのかを明示するところまでが到達点です。ここでは形を保って一定の速さで進む周期的な波を扱い、反射や重ね合わせは考えません。

固定する量と繰り返しの間隔

図1のように、位置グラフでは時刻を固定し、時間グラフでは位置を固定します。どちらも縦軸は変位ですが、横方向に動くとき何が変わるかは異なります。軸の単位が m なら距離、s なら時間として読みます。

波長 λ は、同じ時刻に波形が位置方向へ1回繰り返す距離です。例えば隣り合う山の位置の差が λ です。周期 T は、同じ位置で変位の振動が時間方向へ1回繰り返す時間です。隣り合う山の時刻の差が T です。山と谷は半周期分離れますが、任意の同じ高さの2点が必ず1周期分離れているわけではありません。上りと下りでは振動の状態が異なるためです。

正弦波の山を目印にすると、1周期後には隣の山が同じ場所に到着します。その間に山は1波長だけ進みます。したがって、波の速さを v とすれば

v = λ/T

です。距離を時間で割った式なので、λ が m、T が s なら v は m/s です。振動数 f は1秒あたりの繰り返し回数で、f = 1/T、単位は Hz です。よって v = fλ とも書けます。媒質の各点の速さと、山の進む速さは別の量です。

位置グラフから進行方向がわかっている場合、少し後の波形は進行方向へ平行移動します。右向きに進むとき、固定点に少し後に来るのは、その点の少し左にあった形です。したがって位置グラフの傾きが正なら、その瞬間の固定点の変位は時間とともに減ります。左向きなら対応は逆です。山の高さだけでは進行方向を判定できず、時間変化などの追加条件が必要です。

基本例題：写真と記録を照らし合わせる

右向きに一定の形で進む正弦波を考えます。x の正方向は右、変位 y の正方向は上です。時刻 t = 0 s の位置グラフで、山は x = 1 m と x = 5 m にあります。固定点 x = 1 m の時間グラフでは、t = 0 s に山、その次の山は t = 2 s です。波長、周期、振動数、速さを求め、振動数は既約分数、他は整数で単位を付けて答えてください。図2はこの条件を表します。

図2の上段は同時刻の写真です。山の位置の差は 5 − 1 = 4 m なので、波長は λ = 4 m です。下段は同じ場所を観察した記録で、山の時刻の差は 2 − 0 = 2 s です。周期は T = 2 s です。

振動数は f = 1/T = 1/2 Hz です。速さは v = λ/T = 4/2 = 2 m/s です。

逆向きの確認も行います。2 m/s で2 s に進む距離は4 mで、隣の山までの距離に戻ります。さらに x = 1 m にあった山は1 s後に x = 3 m、2 s後に x = 5 m に進みます。固定点 x = 1 m に2 s後に来る山は、初め x = -3 m にあった山です。写真中の右側の山が左へ戻るわけではありません。

位置グラフで、横軸の数字の差 4 を 4 s と読むと、時間の記録と単位が食い違います。山の間隔を測る前に固定量と目盛りを読み上げると、この誤りを止められます。

標準例題：山を飛ばして測る

同じ形で進む周期波を、ある時刻に沿って撮影します。x の正方向を右、変位の正方向を上とし、山が x = 0.3 m、1.5 m、2.7 m にあります。同じ波の固定点の記録では t = 0.4 s に山があり、次の山は t = 1.0 s です。波長と周期を小数、速さを小数で単位付きで求めてください。時刻の原点は最初の山の0.4 s前です。

隣り合う山の差は 1.5 − 0.3 = 1.2 m です。端の2つを使うなら、2.7 − 0.3 = 2.4 m は2波長なので、λ = 2.4/2 = 1.2 m です。山の個数は3個ですが、その間の区間は2個です。周期は T = 1.0 − 0.4 = 0.6 s、速さは v = 1.2/0.6 = 2.0 m/s です。

別解では、端の山の間隔 2.4 m を、2周期にあたる 1.2 s で割ります。すると 2.4/1.2 = 2.0 m/s です。答えを戻すと、0.6 sで 2.0・0.6 = 1.2 m 進みます。端の間ではその2倍の 2.4 m となり、写真の位置と整合します。

山が連続していると条件で示されない場合は注意が必要です。途中に見落とした山がある可能性を除けなければ、端の距離を何波長で割るか決まりません。図の表示範囲、目盛り、連続する山という条件を一緒に確認します。

発展例題：向きと時刻を対応させる

右向きに進む正弦波の速さは 3 m/s、波長は 6 m です。x の正方向は右、変位の正方向は上、振幅は 2 cm とします。t = 0 s で x = 0 m の変位は 0 cm、位置グラフはそこで右上がりです。同じ時刻に x = 1.5 m は山です。固定点 x = 0 m の変位を t = 0.5 s、1.0 s、1.5 s、2.0 s について求め、整数と単位で答えてください。

周期は T = λ/v = 6/3 = 2 s です。右向きに進むので、原点の少し後の状態は、初めに原点の左にあった状態です。初期波形は正弦波で原点を右上がりに通るため、x = -1.5 m に谷、x = -3 m に変位0、x = -4.5 m に山があります。これらが順に原点へ来ます。

0.5 sでは波形が 3・0.5 = 1.5 m 右へ進み、原点の変位は -2 cm です。同様に1.0 sでは0 cm、1.5 sでは2 cm、2.0 sでは0 cmです。初期の x = 1.5 m の山が原点に来るのではなく、左側の谷が来る点に注目します。

別の読み方は、原点での1周期を4等分する方法です。最初に下がると判断してから、0、谷、0、山、0の順に並べます。各間隔は T/4 = 0.5 s です。2 s後には元の状態に戻り、移動距離も 3・2 = 6 m で1波長に等しくなります。振幅2 cmは上下の最大変位であり、速さ3 m/sと同じ種類の量ではありません。

間違いを図で直す

図3のように、横軸が位置の波形で山の間の 4 m を「周期 4 s」とするのは誤答です。形が時間グラフに似ていても、m を s に置き換える根拠はありません。位置の差から先に得られるのは波長4 mです。

周期を求めるには、同じ点での時間記録か、波の速さなどの追加条件が必要です。例えば速さが2 m/sなら T = 4/2 = 2 s です。逆に波長だけが与えられた場合、速さが1 m/sなら周期4 s、2 m/sなら周期2 sも可能です。したがって位置の写真だけで周期を確定することはできません。

別の誤りは、山から谷までを1波長とすることです。正弦波で隣の山から谷までは半波長です。波形の繰り返しをたどり、山から次の山までを指で示してから距離を測ると修正できます。同じ高さを選ぶ場合も、上りか下りかまでそろえます。

時間グラフで隣り合う2つのゼロ点を周期とする誤りもあります。正弦波なら、一方は上向きに通り、もう一方は下向きに通るので半周期です。次に同じ向きにゼロを通るまで追うと1周期になります。逆に、単に山と山の間の時間が長い場合でも、その間に見落とした山がないかを確認します。記録が途切れていれば、周期を一意に定めるには追加の観測が必要です。

測定を設計するとき

長いばねなどを用いて学校の指導の下で波を観察する場合、位置の測定と時間の測定を分けて設計します。位置グラフには同じ時刻の画像を使い、時間グラフには固定した位置の連続記録を使います。位置の基準と正方向、時刻の基準、平衡位置を先に決めます。観察区間では波がほぼ一定の形で進み、反射した波が重ならない条件を選びます。

山の位置や時刻は頂点が広いと読み取りに幅が生じます。隣接する山の差を1回測るだけでなく、複数周期にまたがる間隔を測って区間数で割り、繰り返した結果のばらつきも見ます。ただし波形が途中で変わる場合や、山を数え違えた場合には、長い区間を取るだけで誤りは消えません。画像の時間間隔や目盛りの粗さが、最も短い周期や波長を区別できる程度かも確かめます。

山の位置と時刻を複数記録できるなら、同じ山を追った位置対時刻のグラフの傾きから速さを求め、λ/T と照合できます。これは変位対位置の波形とは縦軸が違います。山の番号を途中で取り違えた点や、傾きが一定でない区間があれば、一定速度の仮定や追跡を見直します。

測定値から速さを割り算で求める際は、読み取りの幅が結果にも伝わります。波長を長めに、周期を短めに読めば速さは大きく出ます。逆の読み方では小さく出ますから、最後の桁まで確実と考えず、測定の幅とともに比較します。

練習：軸から判断する5問

各波は正弦波で形を保ち、x の正方向を右、変位の正方向を上とします。数値は指定された形で答え、単位を付けてください。

1. 時刻 t = 0 s の位置グラフで、連続する山が x = 2 cm、8 cm にあります。波長を整数で求めてください。時刻原点では左の山が x = 2 cm にあります。
2. x = 0 m の時間グラフで、t = 1 s に山があり、連続する次の山が t = 5 s にあります。周期を整数、振動数を既約分数で求めてください。
3. 時刻 t = 0 s に山が x = 0 m、12 m、24 m に連続して並びます。固定点 x = 0 m では t = 0 s に山、次の山は t = 3 s です。速さを整数で求めてください。
4. 左向きに進む波の速さは 4 cm/s、波長は 8 cm、振幅は 3 cm です。t = 0 s の位置グラフで x = 0 cm の変位は0、そこで右上がりです。t = 0.5 s の x = 0 cm の変位を整数で求めてください。
5. t = 0 s に山が x = 0 m と x = 10 m に連続してあります。速さは 5 m/s です。周期を整数で求め、1周期後に初め x = 0 m にあった山が右向きに進んだ場合の位置を整数で求めてください。

解答と途中式

1. 山の差は 8 − 2 = 6 cm です。波長は 6 cm です。2 cmから6 cm進むと8 cmになり、与えられた隣の山に戻ります。
2. 周期は 5 − 1 = 4 s、振動数は 1/4 Hz です。1 sから4 s後は5 sであり、山の時刻と一致します。
3. 隣の山の差から λ = 12 m、山の時刻の差から T = 3 s です。v = 12/3 = 4 m/s です。3 sで 4・3 = 12 m 進み、連続する山の間隔に戻ります。
4. 左向きなので、原点には初め右側にあった形が来ます。0.5 sに進む距離は 4・0.5 = 2 cm で、波長の4分の1です。初期の x = 2 cm は山なので、変位は 3 cm です。2 cmを4 cm/sで進む時間も0.5 sと一致します。
5. λ = 10 m、T = 10/5 = 2 s です。山は2 sに 5・2 = 10 m 右へ進み、位置は x = 10 m です。もとの山があった位置とは別の山が原点に到着します。

覚えておくこと

位置を横軸にすれば、同時刻の繰り返しから波長を読む。 時刻を横軸にすれば、同じ位置での繰り返しから周期を読む。 一定の形で進む周期波では、1周期に1波長進むので v = λ/T。

つまずきを見分ける

答えの単位が求める量に合っているか、まず確かめます。m の目盛りから s を直接答えたなら、固定した量と横軸の意味を言葉で説明し直します。山の個数で割ったなら、山と山の間の区間に印を付け、何周期分か数え直します。

個別指導で確認するなら、位置グラフに進行方向の矢印を描き、少し後に固定点へ来る部分を示してもらいます。その後、時間グラフの最初の増減と v = λ/T の単位を説明できるか確かめます。二つの横軸を区別すると、同じ波の距離と時間が一本の式で結ばれます。