大学入試数学 相加相乗平均の項の分割—係数に合わせて項を分け等号が成立する比を設計する｜武蔵野個別指導塾

係数と指数がかみ合わない式は、項を等分して積が定数になるように組み直すと等号の点が見えてきます。x+4/x² の最小値3を導くのも項の分割です

「x が正のとき、x + 4/x² の最小値を求めてください。」よくあるのは、自習中のノートでこの一行の前で手が止まるという場面です。相加相乗平均を使おうとして、x と 4/x² の二項にそのまま当てると、右辺には √(4/x) が残り、x が消えません。そこで三項に分けようとして、x を x/4 と 3x/4 に割り、三つの項をすべて等しく置くと、x/4 = 3x/4 から x = 0 が出て、x > 0 とぶつかります。式は同じなのに、分け方ひとつで答案が止まります。ここを抜ける鍵が、係数と指数に合わせて項を等分し、等号が成り立つ比を先に設計するという順序です。

係数と指数がずれた式をどう押さえるか

この題材で出会う問いは、三つの型に整理できます。第一は、x + c/x² のように、二項のままでは積が定数にならない式の最小値を求める型です。第二は、最小値の値から正の定数 k を逆算する型で、x + k/x² の最小値が6になる k を探すといった形をとります。第三は、和が一定という条件のもとで x³y のような積の最大値を求める型で、こちらは項を分けて係数をそろえる操作がそのまま上限を作ります。

二項のままでは、なぜ足りないのでしょうか。x + 4/x² に二項の不等式を当てると、右辺は 2√(x・4/x²) = 4/√x になります。積 x・4/x² = 4/x が定数でないため、右辺が x に依存し、最小値を決められません。相加相乗平均で値を決めるには、掛けたときに x が消えて定数になる項の組を作る必要があります。その組を作る操作が、項を分けて等分するという作業です。

どの型でも、相加相乗平均を当てる前に準備が要ります。使う道具は、a≥0、b≥0 のとき a + b ≥ 2√(ab)、等号は a = b という二項の不等式です。三項や四項の形は、この二項から導いて使います。準備として、定義域を先に書き、式に現れる項がすべて正であることを確かめてください。分母に x があるなら x>0、根号があるなら中身が0以上、という確認です。負の項が混ざったまま当てはめると、√ の中が負になり、不等式そのものが意味を持ちません。

答える形も決まっています。最小値や最大値だけでなく、その値をとる x の値、二変数なら (x, y) の組まで書きます。値が存在しない場合や、等号が定義域の外でしか成り立たない場合には、その旨を答案に残します。

二項から三項・四項を作り、項を等分する

まず二項の不等式を確認します。a≥0、b≥0 のとき、(√a − √b)² ≥ 0 を展開すると a + b − 2√(ab) ≥ 0、すなわち a + b ≥ 2√(ab) です。等号は √a = √b、つまり a = b のときに限ります。証明はこの一行で終わりますが、「等号は二つが等しいとき」という部分が、後の分割の設計で主役になります。

四項の不等式は、二項を二回使って作れます。a、b、c、d がすべて0以上のとき、次の順に変形します。

a + b + c + d
  = (a + b) + (c + d)
  ≥ 2√(ab) + 2√(cd)          （二項の不等式を二回）
  = 2(√(ab) + √(cd))
  ≥ 2・2・⁴√(abcd)            （√(ab) と √(cd) に再び二項）
  = 4・⁴√(abcd)

等号は a = b、c = d、さらに √(ab) = √(cd) が同時に成り立つときなので、a = b = c = d です。四つの項を等しく置いたときにだけ、下界に届きます。

三項の不等式は、四項の不等式に余る項を一つ補って作ります。a、b、c が0以上のとき、d = ∛(abc) と置いて四項の不等式に当てはめます。

a + b + c + ∛(abc)
  ≥ 4・⁴√(abc・∛(abc))       （四項の不等式）
  = 4・∛(abc)                 （積 abc・∛(abc) の4乗根は ∛(abc)）

両辺から ∛(abc) を引くと a + b + c ≥ 3・∛(abc) です。等号は a = b = c = ∛(abc)、つまり三つが等しいときに成り立ちます。補った ∛(abc) は不等式を作るための一時的な項で、最後に引いて元の三項に戻します。余分な項を足してから戻す、という運びを覚えておくと、四項と三項の関係が一本につながります。

ここからが分割の設計です。x>0、c>0 として、x を n 等分すると、一つ分は x/n です。n 個の積に c/x² を掛けると、x の指数は n − 2 になります。これが0になれば積が定数になり、相加相乗平均の右辺から x が消えます。だから x + c/x² では n = 2、x + c/x³ では n = 3 と、指数が打ち消し合う個数が分ける数を決めます。x² と c/x⁴ の組なら、x² を2等分すると指数は 2・2 − 4 = 0 です。係数 c は、この後で下界の値を決める役割を担います。

分ける対象の選び方も、指数で決まります。x² と 2/x のように、指数の大きい項と小さい項が混ざる式では、小さい側の 1/x を二つに分けます。x² をそのまま残し、2/x を 1/x と 1/x に割ると、積 x²・(1/x)・(1/x) = 1 で定数になります。逆に x² を分けようとすると、指数の差2に対して項数が整数になりません。どちらの項を分けるかは、指数の比が整数になる側で決めます。

等分が要る理由は、等号の方程式が解けるかどうかで決まります。一つの項を p と q の比に分けたとすると、等号条件は p・x = q・x となり、p と q が違えば x = 0 しか残りません。等分して p = q にしておけば、この食い違いが消え、残る条件は分けた項と定数項の一致だけになります。

具体例で確かめます。x を x/4 と 3x/4 に分けると、積が定数になるように見えても、等号条件は x/4 = 3x/4 = c/x² となり、最初の二つから x = 0 が出ます。x>0 では成り立たないので、その下界はどの点でも達成されません。等分しておけば、等号条件は x/2 = c/x² の一本になり、解いた値がそのまま候補になります。

手順を並べます。第一に、定義域と項の符号を確認します。第二に、指数が打ち消し合うように、分ける項と個数を決めます。第三に、その項を等分して並べ、項数を数えます。第四に、項数に合う相加相乗平均を当て、積を計算します。第五に、等号条件を解き、定義域に入るかを代入で確かめます。第六に、余る項があれば別の条件で評価し、二つの等号が同時に成り立つか確かめます。

図1のように、x + 4/x² は x/2、x/2、4/x² の三つの項になり、積が1になって x が消えます。

基本例題　x + 4/x² を三つの項に等分する

難しさは標準です。x>0 のとき、f(x) = x + 4/x² の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。

x を二つに等分し、三項の相加相乗平均を当てます。各式の右に、何をしたかを添えます。

f(x) = x + 4/x²
     = x/2 + x/2 + 4/x²             （x を等しい二つに分けた）
     ≥ 3・∛((x/2)・(x/2)・(4/x²))    （三項の相加相乗平均）
     = 3・∛1
     = 3

積を確かめると、(x/2)・(x/2)・(4/x²) = (x²/4)・(4/x²) = 1 です。x が消えて定数になったので、右辺は3で固定されます。等号条件は三つの項がすべて等しいこと、すなわち x/2 = 4/x² です。両辺に 2x² を掛けると x³ = 8 となり、実数の範囲で x = 2 です。x > 0 を満たし、分母も0になりません。元の式に戻すと f(2) = 2 + 4/4 = 2 + 1 = 3 で、下界の3と一致します。

したがって最小値は3で、その値をとる x は2です。二項のまま x + 4/x² ≥ 2√(4/x) = 4/√x と変形すると、右辺にまだ x が残り、最小値を読み取れません。項を分けて積を定数にしたことが、値の決定につながりました。

下界を出しただけでは、その値を実際にとる点があるかは別の話です。等号の点が定義域に入ることを確かめ、代入して下界と一致するまでを見て、初めて最小値と言えます。ここでは x = 2 で f(2) = 3 となり、下界と一致しました。代入を省くと、達成されない下界を答えにしてしまう誤りに気づけません。

図2は、この関数のグラフと最小値をとる点を示しています。曲線は x = 2 で底を打ち、そこでの値が3です。

例題で分け方と項数を選び分ける

例題2から例題5では、分ける項の選び方と項数、余る項の扱い、積の最大値への応用を順に見ます。どの例でも、式を変形する前に定義域と項の符号を書き、変形の根拠を一行ずつ添えます。

例題2　x + 27/x³ を四つの項に分ける（標準）

x>0 のとき、f(x) = x + 27/x³ の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。

指数の差が3なので、x を三つに等分し、項数は4になります。四項の相加相乗平均を当てます。

f(x) = x/3 + x/3 + x/3 + 27/x³
     ≥ 4・⁴√((x/3)・(x/3)・(x/3)・(27/x³))
     = 4・⁴√((x³/27)・(27/x³))
     = 4・⁴√1
     = 4

積は (x/3)³・(27/x³) = (x³/27)・(27/x³) = 1 です。等号は四つの項がすべて等しいときで、x/3 = 27/x³ から x⁴ = 81、x > 0 より x = 3 です。f(3) = 3 + 27/27 = 4 で、下界と一致します。最小値は4、そのときの x は3です。x = -3 は x>0 に反するので除きます。

分ける個数は係数ではなく指数で決まる、という点に注意してください。係数の27は、x を3等分したときの分母27と打ち消し合って、積を1にしています。もし係数が27のままで x を2等分すると、積には x が残り、右辺が定数になりません。

例題3　逆数の項を分けて指数をそろえる（標準）

x>0 のとき、f(x) = x² + 2/x の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。

指数の大きい x² はそのまま残し、2/x を二つに分けます。2/x を 1/x と 1/x に割ると、三項の積が定数になります。

f(x) = x² + 1/x + 1/x
     ≥ 3・∛(x²・(1/x)・(1/x))
     = 3・∛1
     = 3

積は x²・(1/x)・(1/x) = 1 です。等号は x² = 1/x から x³ = 1、x > 0 より x = 1 です。f(1) = 1 + 2 = 3 で下界と一致します。最小値は3、そのときの x は1です。分ける項を逆数の側に選んだのは、x² を分けると指数の差2に対して項数が整数にならないからです。係数の2は、2/x を二つに分けたときの 1/x と 1/x に吸収され、積を1にしています。

例題4　余る項を区間の条件で評価する（やや難）

0 < x ≤ 2 のとき、f(x) = x + 4/x² + 2/x の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。

前半の三項は基本例題と同じ形です。分けた後に 2/x が余るので、これも評価します。

f(x) = (x/2 + x/2 + 4/x²) + 2/x
     ≥ 3・∛1 + 2/x
     = 3 + 2/x
     ≥ 3 + 1
     = 4

最後の変形は、0 < x ≤ 2 から 1/x ≥ 1/2、すなわち 2/x ≥ 1 を使いました。等号は、前半の三項から x/2 = 4/x²、つまり x = 2、後半から 2/x = 1、つまり x = 2 です。二つの条件が同じ x = 2 でそろうので、この点で下界に届きます。f(2) = 2 + 1 + 1 = 4 です。最小値は4、そのときの x は2です。

余る項を落として「最小値は3」とするのは誤りです。x = 2 では前半が3でも、2/x が1だけ残ります。下界を出すたびに、等号の点で元の式の値と一致するかを代入で確かめてください。ここでは区間の上限 x ≤ 2 が、余る項の評価に効いています。上限がなければ 2/x はいくらでも0に近づき、下界4は成り立ちません。

例題5　和が一定のときの積の最大値（難）

x>0、y>0、x + y = 8 のとき、x³y の最大値と、その値をとる (x, y) の組を求めてください。

x³ の指数3に合わせて、x を三つに等分します。和も四つの項に分けて一定になります。

x³y = 27・(x/3)・(x/3)・(x/3)・y

四つの数 x/3、x/3、x/3、y に相加相乗平均を当てます。和は (x/3) + (x/3) + (x/3) + y = x + y = 8 です。

(x/3)・(x/3)・(x/3)・y ≤ ((x/3 + x/3 + x/3 + y)/4)⁴
                      = (8/4)⁴
                      = 16

左辺は x³y/27 なので、両辺に27を掛けて x³y ≤ 432 です。等号は x/3 = y のときで、x = 3y を x + y = 8 に代入すると 4y = 8、y = 2、x = 6 です。このとき x³y = 216・2 = 432 で、上限と一致します。最大値は432、そのときの (x, y) は (6, 2) です。

ここでも項数は指数で決まります。x³ を3等分して4項にすると、和の分母が4になり、係数27は3³として式の外に出ます。y を分けて項数を変えると、x の指数3を打ち消せません。和が一定でない問題では、この形の上限は作れないので、条件を先に読むことが大切です。

等号が解けない分け方をしていないか

よくある誤答から始めます。x>0 で x + 4/x² を、x/4 と 3x/4 に分ける解答です。積は (x/4)・(3x/4)・(4/x²) = 3/4 で一定になるので、三項の相加相乗平均から x + 4/x² ≥ 3・∛(3/4) と書けます。小数第2位までで数値にすると約2.72です。この不等式自体は正しいのですが、これを最小値とするのは誤りです。

破綻するのは等号条件です。三つの項が等しいと置くと x/4 = 3x/4 = 4/x² で、最初の二つから x = 0 が出ます。x > 0 の範囲に解がなく、4/x² も定義できません。つまり、この下界2.72はどの x でも達成されません。実際の最小値は基本例題で求めた3で、2.72より大きい値です。達成されない下界は、最小値の候補にはなりません。

直し方は、分ける項を等分することです。x/2、x/2、4/x² と等しく分ければ、等号条件は x/2 = 4/x² の一本になり、x = 2 と解けます。その点で値が3になり、下界と一致します。図3は、左の分け方では等号が解けず、右の等分では解けることを並べています。

二つ目の誤りは、余る項を無視することです。例題4の形で前半の三項だけを評価し、最小値3と答える答案があります。しかし等号の点 x = 2 では 2/x が1残るので、実際の値は4です。下界と等号の点での値がずれたら、評価していない項を探します。余る項があるときは、その項を区間の条件で評価し、二つの等号が同じ点で成り立つかを確かめます。

三つ目は、係数の見た目で項数を決める誤りです。係数が4だから4等分するのではなく、指数の差が項数を決めます。x + c/x² は2等分、x + c/x³ は3等分です。分けた後に積を計算し、x が消えたことを確認してから不等式を当ててください。

四つ目は、項の符号の確認を飛ばす誤りです。x の範囲が負を含むときに同じ変形をそのまま使うと、x/2 と 4/x² の符号がそろわず、相加相乗平均の前提から外れます。範囲が負を含むなら、符号を反転して正の変数に直すか、場合を分けます。定義域の確認は計算の前に行い、変形の途中で前提が崩れていないかも見直します。

練習問題

次の5問を、まず自分の手で解いてください。答えと解き方はこの後にまとめます。

1. x>0 のとき、2x + 125/x² の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。
2. x>0 のとき、x² + 108/x⁴ の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。
3. 0 < x ≤ 4 のとき、x + 32/x² + 8/x の最小値と、その値をとる x の値を求めてください。
4. x>0、y>0、x + y = 12 のとき、x²y の最大値と、その値をとる (x, y) の組を求めてください。
5. x>0 のとき、x + k/x² の最小値が6になるような正の定数 k と、そのときの x の値を求めてください。

解答

1. 2x を x と x に分け、三項で押さえます。

2x + 125/x² = x + x + 125/x²
            ≥ 3・∛(x・x・125/x²)
            = 3・∛125
            = 3・5
            = 15

等号は x = 125/x²、すなわち x³ = 125 から x = 5 です。x>0 を満たし、2・5 + 125/25 = 10 + 5 = 15 で下界と一致します。最小値は15、そのときの x は5です。

2. x² を二つに等分し、指数 2・2 − 4 = 0 とそろえます。

x² + 108/x⁴ = x²/2 + x²/2 + 108/x⁴
             ≥ 3・∛((x²/2)・(x²/2)・(108/x⁴))
             = 3・∛((x⁴/4)・(108/x⁴))
             = 3・∛27
             = 3・3
             = 9

等号は x²/2 = 108/x⁴、すなわち x⁶ = 216 です。x>0 より x² = 6、x = √6 です。このとき x² + 108/x⁴ = 6 + 108/36 = 6 + 3 = 9 で一致します。最小値は9、そのときの x は√6です。

3. 前半の三項を等分で押さえ、余る 8/x を区間で評価します。

x + 32/x² + 8/x = (x/2 + x/2 + 32/x²) + 8/x
                 ≥ 3・∛((x/2)・(x/2)・(32/x²)) + 8/x
                 = 3・∛8 + 8/x
                 = 6 + 8/x
                 ≥ 6 + 2
                 = 8

最後の変形は 0 < x ≤ 4 から 8/x ≥ 2 を使いました。等号は前半から x/2 = 32/x²、つまり x³ = 64、x = 4 です。後半も 8/x = 2 から x = 4 で、同じ点にそろいます。このとき 4 + 2 + 2 = 8 です。最小値は8、そのときの x は4です。

4. x² の指数2に合わせて x を二つに分け、y と合わせて三項にします。和は (x/2) + (x/2) + y = x + y = 12 です。

x²y = 4・(x/2)・(x/2)・y
    ≤ 4・((x/2 + x/2 + y)/3)³
    = 4・(12/3)³
    = 4・64
    = 256

等号は x/2 = y で、x = 2y を x + y = 12 に代入すると 3y = 12、y = 4、x = 8 です。このとき x²y = 64・4 = 256 で上限と一致します。最大値は256、そのときの (x, y) は (8, 4) です。

5. 最小値の式を先に作り、そこから k を決めます。x を二つに等分します。

x + k/x² = x/2 + x/2 + k/x²
         ≥ 3・∛((x/2)・(x/2)・(k/x²))
         = 3・∛(k/4)

等号は x/2 = k/x²、すなわち x³ = 2k のときです。最小値が6なので 3・∛(k/4) = 6、∛(k/4) = 2、両辺を3乗して k/4 = 8、k = 32 です。このとき x³ = 64 から x = 4 で、4 + 32/16 = 6 となり、条件を満たします。求める k は32、そのときの x は4です。

覚えておくこと

• 二項の相加相乗平均から、四項は二回の適用で、三項は ∛(abc) を補ってから引くことで作れます。
• 積を定数にする項数は指数で決まります。x と 1/x² なら2等分、x と 1/x³ なら3等分します。
• 分けるときは等分します。等しくない分け方では等号条件が食い違い、解が定義域から外れます。
• 余る項は消さず、区間の条件で評価し、二つの等号が同じ点で成り立つか確かめます。
• 最後に等号の点を元の式へ代入し、下界や上限の値と一致することを確かめます。

つまずきの見分け方

答案が止まったときは、どこで止まったかで直す場所が変わります。不等式の右辺に x が残っているなら、積が定数になっていません。分ける個数が指数の差に合っているか、等分した項をすべて掛けたかを確認します。等号を解いた値が0や負になったなら、等分していないか、項数がずれています。等号の点で元の式の値が下界と一致しないなら、余る項の評価が抜けているか、二つの等号が別の点でしか成り立ちません。

見分けの例を二つ挙げます。右辺が 3・∛(3/4) のように係数を含む値になったのに、等号の方程式が x = 0 を返すなら、等分が崩れています。逆に、等号は x = 2 と解けたのに、その値を代入した結果が下界と違うなら、評価していない項が残っています。どちらも、分けた項の一覧と等号の式を並べて書けば、その場で気づけます。

指導の場では、次の三つを順に書かせると原因を切り分けられます。まず、分けた後の項をすべて掛けた式を書かせ、x が消えることを見せます。次に、等号条件を一つの方程式にまとめさせ、解が定義域に入るか確かめさせます。最後に、その値を元の式へ代入させ、下界や上限と一致するか照合させます。この三つがそろえば、分け方の設計は自分で点検できます。

ノートには、分けた項の数、等号を解いた式、代入した値の三つを並べて残しておくと、どこで止まったのかを後からたどれます。