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大学入試数学相加相乗とコーシーの選択—固定される量と等号の形から有効な評価を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

同じ制約の下でも、足し算が固定されるか平方の和が固定されるかで使う不等式が変わります。二つの目的式を並べ、等号の点まで確かめて、どちらを使うかの選択です。

【舞台】よくあるのは、高2から高3の読者が自習中に、覚えている不等式を上から順に当てはめてしまうという場面です。相加相乗平均を書いてみて右辺に文字が残り、次にコーシー・シュワルツを書いてみて、今度は等号の点が条件から外れる。二つの式はどちらも正しいのに、目的の値に届かないまま時間が過ぎていきます。式の正しさと、その式が今の問題で役に立つかどうかは別の話です。ここで見るべきなのは、問題文の中でどの量が動かずに残っているか、そして目的の式がその量からどう組み立てられているかです。

何を問われるか — 評価の前に固定されている量を書き出す

不等式の問題で最初に手を動かすのは、式変形ではなく、問題文から動かない量を抜き出す作業です。たとえば x + 2y = 8 の下で xy の最大値を聞かれたら、動かないのは x と 2y の和です。x² + 4y² = 20 の下で 3x + 2y の最大値を聞かれたら、動かないのは x と 2y の平方の和です。この二つは似た形をしていますが、固定されている量が違うため、使う不等式も、等号を取る点も変わります。

出方の型は大きく三つに分かれます。一つは、項の和が固定されていて積の最大を聞く型です。二つ目は、平方の和が固定されていて一次式の最大や最小を聞く型です。三つ目は、積が固定されていて和の最小を聞く型です。どの型でも、答える前に「何が固定か」「目的式はその固定量からどう作られているか」「等号の点は条件を満たすか」の三つを順に確かめます。

使える道具は、正の数に対する相加相乗平均、実数に対するコーシー・シュワルツ、そして一変数に直したうえでの平方完成です。平方完成は地味ですが、二つの不等式のどちらもしっくりこないときに必ず戻れる場所になります。逆に、知っている不等式を順に当てはめる進め方は、当てはめた式が目的の形を含んでいなければ無駄になり、含んでいても等号の点が条件の外にあれば答えになりません。式の正しさと、その式が今の問題で鋭いかどうかは、別に確かめる必要があります。

用語と考え方 — 固定の形と等号の形で道具を選ぶ

相加相乗平均は、二つの正の数 a, b に対して (a + b)/2 ≥ √(ab) と書かれます。両辺を 2 倍した形 a + b ≥ 2√(ab) で使うことも多い式です。証明は (√a − √b)² ≥ 0 を展開するだけで、a + b − 2√(ab) ≥ 0 が残ります。等号は √a = √b、つまり a = b のときだけです。左辺が和、右辺が積ですから、和が固定されていれば積の上界が、積が固定されていれば和の下界が出ます。不等号の向きは同じでも、目的が最大なら上界、最小なら下界として使います。

コーシー・シュワルツは、四つの実数 a, b, c, d に対して (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² と書かれます。証明は一つの恒等式です。(a² + b²)(c² + d²) − (ac + bd)² = (ad − bc)²。右辺は平方なので 0 以上、したがって左辺の差も 0 以上になります。等号は ad = bc のときです。この形なら a や c が 0 でもそのまま判定できるので、割り算を書く必要はありません。比率で言えば a と b の比が c と d の比に等しい場合で、a = b = 0 のような零の組が混ざっていても等号は成り立ちます。

この不等式の左辺は平方の和の積、右辺は二つの積の和の二乗です。ですから、平方和が固定されていれば、一次結合 ac + bd の上界と下界が出ます。c, d は自分で選ぶ数なので、目的式の係数をそのまま置きます。2x + 3y を押さえたいなら、a, b に x, y を、c, d に 2, 3 を置く形です。

二つの不等式は無関係ではありません。相加相乗平均は、コーシー・シュワルツで (c, d) = (b, a) と置いた場合に一致します。実際 (a² + b²)(b² + a²) ≥ (ab + ba)² は (a² + b²)² ≥ 4a²b² となり、a² + b² ≥ 2ab が残ります。A = a², B = b² と読み替えれば A + B ≥ 2√(AB) です。同じ平方の恒等式から二つの道具が出ているので、選択の基準も一つにまとまります。目的式に項の積が現れるなら項をそろえて相加相乗、目的式が平方和から作った一次結合なら係数をそろえてコーシーです。

選ぶときに見るのは、固定されている量と、等号を取る点の二つです。固定が項の和なら、その項の積を押さえる相加相乗が向いています。項は目的式に現れる形にそろえます。x と 2y の和が固定されているなら、x と y ではなく x と 2y を組にします。固定が平方の和なら、一次結合を押さえるコーシーが向いています。こちらは係数の二乗の和を掛ける相手にします。2x + 3y を押さえるなら 2 と 3 を係数として置き、2² + 3² = 13 が相手の平方和になります。

等号の形も道具ごとに違います。相加相乗は組にした項どうしが等しいとき、コーシーは二組の数の比がそろうときです。どちらも、等号の条件を制約式に代入して点を求め、その点が定義域に入っているかを確かめて初めて最大や最小になります。x > 0 のような開いた条件では、端点に近づくだけで到達しない値があります。たとえば x + 2y = 8, x > 0, y > 0 の下で xy は 0 にいくらでも近づきますが、x = 0 は定義域にないので 0 にはなりません。最小値を聞かれたら存在しないと答える場面です。

図1は、固定されている量から道具を選び、最後に等号の点を制約へ戻すまでの順序をまとめたものです。式を覚えるのではなく、この順序を答案の最初に置くと、当てはめの迷いが減ります。

図1のように、最初に見るのは固定されている量で、次にその量から目的式を作る不等式を選び、最後に等号の点を制約へ代入します。この三つの段階を飛ばすと、式は正しいのに答えが決まらない答案になります。

基本例題 — 項をそろえて積の最大を押さえる

正の実数 x, y が x + 2y = 8 を満たします。xy の最大値と、そのときの x, y の値を求めてください。

固定されているのは x + 2y です。目的は xy なので、積に x と 2y が現れるように項をそろえます。x と y を組にすると、和 x + y は固定されていないので、右辺に文字が残ってしまいます。

x > 0 かつ y > 0 なので 2y > 0。相加相乗平均を使う条件がそろっています。
x + 2y ≥ 2√(x・2y) = 2√(2xy)。
左辺は 8 なので 8 ≥ 2√(2xy)。
両辺を 2 で割って 4 ≥ √(2xy)。
両辺は 0 以上なので二乗して 16 ≥ 2xy。
両辺を 2 で割って xy ≤ 8。
等号は x = 2y のとき。制約に代入すると 2y + 2y = 8 で y = 2, x = 4。
(x, y) = (4, 2) は正で、4 + 2・2 = 8 を満たす。このとき xy = 8。

答えは、最大値 8、(x, y) = (4, 2) です。求めた点を元の式へ戻すと、x + 2y は 4 + 2・2 = 8、xy は 4・2 = 8 となり、どちらも条件と一致します。

項をそろえるという操作は、見た目を整えるためではなく、固定されている量をそのまま使うために必要です。x と y を組にして相加相乗平均を当てはめると xy ≤ ((x + y)/2)² となり、右辺に y が残ります。x + y は固定されていないので、この式は定数での評価になりません。

図2は、直線 x + 2y = 8 と、積が一定になる曲線 xy = k の関係を示したものです。k を 8 より少し大きくすると曲線は直線に触れず、k = 8 のときに点 (4, 2) で接します。接する条件を式で確かめるなら、x = 8 − 2y を xy = k に代入して 2y² − 8y + k = 0 とし、判別式が 0 になる k を求めます。64 − 8k = 0 から k = 8 で、重解は y = 2 です。等号が成り立つ点が一つだけ存在するという事実が、最大値の裏付けになります。

図2のように、直線と曲線が接する点が、積の最大を与える点です。図で位置を確かめてから式で等号の条件を確かめる順にすると、点の取り違えを防げます。

標準例題 — 同じ制約を二つの目的式で読む

正の実数 x, y が 2x + 3y = 12 を満たします。xy の最大値とそのときの x, y、そして x² + y² の最小値とそのときの x, y を求めてください。

制約は一つで、目的式が二つあります。ここでは知っている不等式を順に当てはめるのではなく、目的式ごとに固定量の使い方を変えます。

まず xy の最大値です。固定されている 2x + 3y をそのまま使い、項を 2x と 3y にそろえます。

x > 0, y > 0 より 2x > 0, 3y > 0。
2x + 3y ≥ 2√(2x・3y) = 2√(6xy)。
12 ≥ 2√(6xy) から 6 ≥ √(6xy)。
両辺は 0 以上なので二乗して 36 ≥ 6xy。
6 で割って xy ≤ 6。
等号は 2x = 3y。制約に代入して 2x = 3y = 6、x = 3, y = 2。
(3, 2) は正で 2・3 + 3・2 = 12 を満たし、xy = 6。

答えは、最大値 6、(x, y) = (3, 2) です。

次に x² + y² の最小値です。固定されているのは 2x + 3y ですが、目的式は平方和なので、コーシー・シュワルツで一次結合と平方和を結びつけます。

使う形は (2x + 3y)² ≤ (x² + y²)(2² + 3²)。二組の数は (x, y) と (2, 3) です。
左辺は 12² = 144、係数の平方和は 4 + 9 = 13。
144 ≤ 13(x² + y²)。
13 で割って x² + y² ≥ 144/13。
等号は (x, y) が (2, 3) に比例するとき。x/2 = y/3 から x = 2t, y = 3t と置けます。
制約に代入して 2・2t + 3・3t = 4t + 9t = 13t = 12、t = 12/13。
x = 24/13, y = 36/13。どちらも正です。
x² + y² = (24/13)² + (36/13)² = (576 + 1296)/169 = 1872/169 = 144/13。

答えは、最小値 144/13、(x, y) = (24/13, 36/13) です。1872/169 は 13 で約分できて 144/13 になります。

二つの答えは、制約が同じでも等号の点が違います。一つ目は (3, 2)、二つ目は (24/13, 36/13) です。相加相乗平均の等号は組にした項 2x と 3y が等しいことで、コーシーの等号は係数の組 (2, 3) と (x, y) の比がそろうことです。目的式が変われば等号を決める条件も変わるため、一度求めた点をそのまま流用することはできません。

片方の道具をもう片方の目的式に使えない理由も確かめます。x² + y² の最小値に相加相乗平均を使うと x² + y² ≥ 2xy が出ますが、xy は 6 を超えないという上からの評価しかなく、下からは 0 に近づけられます。したがって 2xy は 0 に近づき、定数による下界になりません。逆に xy の最大値にコーシーを使うと (2x + 3y)² ≤ 13(x² + y²) となり、現れるのは平方和であって積ではありません。目的式に現れる形が、選ぶ不等式を決めています。

x² + y² の最小値は一変数に直しても解けます。x = (12 − 3y)/2 を代入すると、x² + y² = (13/4)(y − 36/13)² + 144/13 となります。y の範囲は x > 0 から 0 < y < 4 で、36/13 はこの範囲に入っています。したがって最小値は 144/13 で、等号は y = 36/13 のときです。コーシーは等号の点を先に教えてくれますが、平方完成は範囲の中で最小点が実現することを直接確かめられるという違いがあります。

発展例題 — 平方和が固定された一次式の最大値

正の実数 x, y が x² + 4y² = 20 を満たすとき、3x + 2y の最大値と、そのときの x, y の値を求めてください。難しさはやや難です。

固定されているのは x² + 4y² という平方和です。目的は 3x + 2y という一次結合なので、コーシー・シュワルツで (x, 2y) と (3, 1) を組にします。

(3x + 2y)² = (x・3 + 2y・1)² ≤ (x² + 4y²)(3² + 1²)。
右辺は 20・10 = 200。
x > 0, y > 0 より 3x + 2y > 0 なので 3x + 2y ≤ √200 = 10√2。
等号は x/3 = 2y/1、つまり x = 6y。
制約に代入して 36y² + 4y² = 40y² = 20、y² = 1/2。y > 0 より y = √2/2。
x = 6・(√2/2) = 3√2。
(3√2)² + 4(√2/2)² = 18 + 2 = 20 を満たし、3・3√2 + 2・(√2/2) = 9√2 + √2 = 10√2。

答えは、最大値 10√2、(x, y) = (3√2, √2/2) です。等号の比は x と 2y の比で、x と y の比ではありません。2y = √2 なので x と 2y の比は 3 対 1 になり、係数の組 (3, 1) と一致しています。

ここで相加相乗平均を使おうとすると、3x と 2y の和が固定されていないので、積の評価からは 3x + 2y に戻れません。固定されているのが平方の和であるとき、一次結合を扱えるのはコーシーの側です。

発展例題 — 公式が届かないときは一変数に戻す

正の実数 x, y が x + y = 1 を満たすとき、(x + 1/x)(y + 1/y) の最小値を求めてください。難しさは難です。

この式は相加相乗平均の形に見えますが、組にする項の和が固定されているわけではありません。まず展開して、積 p = xy の式に直します。p の範囲だけを相加相乗平均で押さえます。

(x + 1/x)(y + 1/y) = xy + x/y + y/x + 1/(xy)。
x/y + y/x = (x² + y²)/(xy) = ((x + y)² − 2xy)/(xy) = (1 − 2p)/p = 1/p − 2。
1/(xy) = 1/p。
よって (x + 1/x)(y + 1/y) = p + (1/p − 2) + 1/p = p + 2/p − 2。
p の範囲は相加相乗平均より 1 = x + y ≥ 2√p、つまり 0 < p ≤ 1/4。等号は x = y = 1/2。
p + 2/p − 2 ≥ 25/4 を示す。差を取ると (p + 2/p − 2) − 25/4 = (4p² − 33p + 8)/(4p) = (4p − 1)(p − 8)/(4p)。
0 < p ≤ 1/4 では 4p − 1 ≤ 0、p − 8 < 0、4p > 0。積は 0 以上なので、差は 0 以上。
等号は p = 1/4、つまり x = y = 1/2 のとき。このとき (1/2 + 2)² = 25/4。

答えは、最小値 25/4 です。求めた x, y を元の式へ戻すと 2.5 の二乗で 6.25 になり、25/4 と一致します。

この問題では相加相乗平均は p の範囲を出すために一度だけ使い、コーシーは使いません。最後に効くのは p の二次式の符号で、これは一変数の比較です。二つの公式のどちらかを選べば終わる問題ばかりではないので、評価が届かないと感じたら、変数を一つに減らして差を因数分解する道を残しておきます。

よくある誤り — 向き・係数・等号を一つずつ確かめる

一つ目は、評価の向きを取り違える誤りです。2x + 3y = 12 の下で x² + y² の最小値を求めるのに、x² + y² ≥ 2xy を書き、xy の最小値は 0 だから x² + y² の最小値も 0 だと結論してしまいます。x² + y² ≥ 2xy 自体は正しい式ですが、xy はこの制約の下で下から 0 に近づけるだけで、0 にはなりません。x を 0 に近づけると y は 4 に近づき、x² + y² は 16 に近づきます。実際の最小値は 144/13 で、0 ではありません。定数で下から押さえられない評価は、最小値の根拠になりません。

二つ目は、等号の点を項の形に戻さずに決める誤りです。2x と 3y を組にして xy ≤ 6 を出したのに、等号を x = y = 12/5 と書いてしまいます。12/5 は 2x + 3y = 12 を満たしますが、xy = 144/25 で 5.76 にしかならず、6 に届きません。等号の条件は 2x = 3y であり、これを制約と連立すると (3, 2) が出ます。使った不等式の等号条件を、組にした項のまま書き写す必要があります。

三つ目は、コーシーで係数の二乗を忘れる誤りです。(2x + 3y)² ≤ (x² + y²)(2 + 3) = 5(x² + y²) と書くと、x² + y² ≥ 144/5 という答えが出ます。しかし (24/13, 36/13) を代入すると、左辺は 144、右辺は 5・144/13 = 720/13 で、144 ≤ 720/13 は成り立ちません。相手の組は係数そのものではなく、係数の二乗の和 2² + 3² = 13 です。不等式を当てはめたら等号の点を代入して式が壊れないかを確かめると、この種の誤りはその場で見つかります。

図3は、xy が最大になる点と x² + y² が最小になる点が、同じ直線上でも別の位置にあることを示したものです。xy の最大は (3, 2) で、x² + y² の最小は (24/13, 36/13) です。等号の点を目的式ごとに求め直す理由が、図の位置の違いとして見えます。

図3のように、二つの点は直線上の別の場所にあります。一方の答えを出した後でも、もう一方の目的式では等号の条件からやり直します。

練習問題

次の五問を、まず自分で解いてください。答えはこの節の後にまとめてあります。

正の実数 x, y が 3x + 5y = 30 を満たすとき、xy の最大値と、そのときの x, y の値を求めてください。
正の実数 x, y が x² + 9y² = 18 を満たすとき、x + 3y の最大値と、そのときの x, y の値を求めてください。
実数 x, y が x² + y² = 5 を満たすとき、2x − y の最大値と最小値、およびそのときの (x, y) を求めてください。
正の実数 x, y が xy = 9 を満たすとき、x + 4y の最小値と、そのときの x, y の値を求めてください。
正の実数 x, y が x² + 4y² = 16 を満たすとき、xy の最大値と、そのときの x, y の値を求めてください。

解答

固定は 3x + 5y、目的は積なので、項を 3x と 5y にそろえて相加相乗平均を使います。3x + 5y ≥ 2√(15xy) より 30 ≥ 2√(15xy)、15 ≥ √(15xy)、225 ≥ 15xy、xy ≤ 15。等号は 3x = 5y = 15、つまり x = 5, y = 3 です。(5, 3) は正で 3・5 + 5・3 = 30 を満たし、xy = 15。答えは最大値 15、(x, y) = (5, 3) です。
固定は平方和、目的は一次結合なのでコーシーを使います。(x + 3y)² ≤ (x² + 9y²)(1² + 1²) = 18・2 = 36。x, y が正なので x + 3y > 0、x + 3y ≤ 6。等号は x/1 = 3y/1、つまり x = 3y。制約に代入して 9y² + 9y² = 18、y² = 1、y = 1、x = 3。答えは最大値 6、(x, y) = (3, 1) です。
コーシーを (x, y) と (2, -1) の組で使います。(2x − y)² ≤ (x² + y²)(2² + (-1)²) = 5・5 = 25。よって -5 ≤ 2x − y ≤ 5 です。等号は x/2 = y/(-1)、つまり x = -2y。x² + y² = 5 に代入して 5y² = 5、y = 1 または y = -1 です。y = -1 のとき x = 2 で 2x − y = 5。y = 1 のとき x = -2 で 2x − y = -5。答えは最大値 5 を (x, y) = (2, -1) で、最小値 -5 を (x, y) = (-2, 1) で取ります。
固定は積、目的は和なので、相加相乗平均を x と 4y に使います。x + 4y ≥ 2√(x・4y) = 2√(4・9) = 2・6 = 12。等号は x = 4y。xy = 9 より 4y² = 9、y = 3/2、x = 6 です。答えは最小値 12、(x, y) = (6, 3/2) です。
固定は平方和ですが、目的は積です。ここではコーシーではなく、平方の項どうしに相加相乗平均を使います。x² + 4y² ≥ 2√(x²・4y²) = 4xy。16 ≥ 4xy より xy ≤ 4。等号は x² = 4y² で、x > 0 より x = 2y。x² + 4y² = 16 に代入して 4y² + 4y² = 16、y² = 2、y = √2、x = 2√2。答えは最大値 4、(x, y) = (2√2, √2) です。

五問のうち二問は条件に平方和が現れますが、二問目は目的が一次結合なのでコーシー、五問目は目的が積なので相加相乗です。条件の見た目ではなく、固定されている量と目的式の形の組で道具を選びます。

覚えておくこと

答案の最初に、固定されている量を式で書きます。
項の和が固定なら、その項の積を相加相乗平均で押さえます。
平方和が固定なら、一次結合をコーシー・シュワルツで押さえます。
等号の条件は不等式ごとに違い、制約へ代入して点の存在を確かめます。
どちらも届かないときは、一変数に戻して平方完成か差の因数分解で比べます。

つまずきの見分け方

答案を見るときは、三つの場所を順に確かめます。一つ目は、固定されている量が式で書かれているか。二つ目は、使った不等式の不等号の向きが、聞かれている最大・最小と合っているか。三つ目は、等号の点を制約へ代入した計算が残っているか、そしてその点が x > 0 や y > 0 の条件を満たすかです。

説明を聞くときは、なぜその項を組にしたのかを言葉にできるかを見ます。2x + 3y = 12 で 2x と 3y を組にする理由は、和が固定されているからです。x と y を組にすると和が固定されず、右辺に文字が残ります。コーシーを使う場面では、どの二組の数の比をそろえたのかを確かめます。係数 (2, 3) と (x, y) の比が等しいときが等号で、その点を制約に戻して初めて値が決まります。

式の変形が合っているのに答えが決まらないときは、評価の向きか、等号の点か、定義域の端のどれかで止まっています。どこで止まったかを一緒に特定できれば、次の類題では自分で同じ場所を点検できます。評価を選ぶ力は、等号の点を一つずつ確かめる手作業の中で育ちます。